福建莆田第四中学2025-2026学年下学期高一年段数学第一次月考考试试卷

莆田四中2025-2026学年下学期高一年段数学科第一次月考 考试试卷 命题人：林琴 审核人：吴亚玉 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1. 已知向量是单位向量，且，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 2. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 3. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 12 7. 已知，，，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的四边形中，是等边三角形，是边的中线延长线上一点，，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为锐角，则实数的范围为 D. 当时，在上的投影向量的坐标为 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论不正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在钝角中，为锐角，则不等式恒成立 C. 若，的平分线交于点，，则的最小值为 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 11. 已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（ ） A. 当时，直线过边的中点 B. 若时，与的面积之比为 C. 若，且，则 D. 若，且，则满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知两个单位向量的夹角为，且向量，则______． 13. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________. 14. 在中,已知,,,为线段上的点,且,则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 已知点，，. （1）若A，B，C三点共线，求； （2）若，求. 16. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 17. 如图，在中，D，E分别为边AB，BC上的点，且，AE与CD交于点P，记，，． （1）求的值，并用，表示，； （2）若，，，求的余弦值． 18. “惊蛰植梦，以春为名，赠高三一场繁华”，莆田四中科技处开展劳动教育之毕业花种植活动，该种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点M，N分别沿两条道路分布（且异于点B），为了提升观赏性，区域中修建观赏通道． （1），， ①求观赏通道的长； ②若，求折线段通道最大值（即最大）； （2）若且的面积为6，求观赏通道的最小值． 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且． （1）判断的形状； （2）若的周长为，求的最小值； （3）若，求实数t的最小值． 莆田四中2025-2026学年下学期高一年段数学科第一次月考 考试试卷 命题人：林琴 审核人：吴亚玉 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 【12题答案】 【答案】0 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 【15题答案】 【答案】（1）； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1），， （2） 【18题答案】 【答案】（1）①；② （2） 【19题答案】 【答案】（1）为直角三角形 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $