第15章 概率（复习课件）数学苏教版必修第二册

单元复习课件 第十五章 概率 苏教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握概率核心知识：理解随机事件、基本事件、样本空间等核心概念，明确概率的统计定义与古典概型的本质内涵，区分必然事件、不可能事件与随机事件。 2.深化概率运算理解：熟练运用古典概型公式计算随机事件的概率，掌握互斥事件、对立事件的概率加法公式，能处理事件的分解、概率计算与简单概率模型的应用问题。 3.探究概率的性质与应用：掌握随机事件的独立性判定方法，能结合概率公式判断事件的独立性；理解几何概型的基本思想，能运用概率知识解决实际生活中的问题。 4.培养数学思维与概率素养：在学习过程中，通过对比、归纳、数形结合等方法总结概率知识的内在逻辑，提升从随机现象中发现规律、分析推断与理性决策的综合能力。 单元学习目标 随机现象，随机试验 样本点，样本空间 随机事件 事件的关系与运算 事件的独立性 事件的概率 古典概型 概率的基本性质 频率的稳定性 随机模拟试验 频率估计概率 概率的计算 应用概率解决实际问题 单元知识图谱 一、随机事件 1 随机事件 一般地，我们将样本空间的子集称为随机事件,简称事件.事件一般用,, 等大 写英文字母表示.当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件.（事件的发 生：当一个试验的结果是的一个元素时，称事件 发生了） 2 必然事件与不可能事件 （全集）是必然事件, （空集）是不可能事件. 考点串讲 3 事件的表述 一个事件的完整表述分为两部分,前一部分为试验的条件,后一部分为试验的结果. 例如,事件 “抛掷一枚硬币,结果正面向上”,有时可省略表述为“抛掷一枚硬币,正面向上”. 特别提醒 （1）必然事件与不可能事件不具有随机性．为了方便统一处理，将必然 事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形．这样，每个事件都是样本空间 的一个子集． （2）事件与基本事件的区别：基本事件是只包含一个样本点的事件，而事件是 包含一个样本点或多个样本点的事件.事件可以由多个基本事件组成. （3）事件的条件改变时，事件的性质也可能发生变化，如“常温常压下，水会 沸腾”是不可能事件，但“标准大气压下 时，水会沸腾”是必然事件. 一、随机事件 考点串讲 自然语言 符号语言 图形语言 包含 “事件发生必导致事件 发生”，这时, 我们称事件包含事件或事件 包含 于事件 或 并（和） “事件与至少有一个发生即为事件 发生”，这时,我们称是与 的并， 也称是与 的和 或 交（积） “事件与同时发生即为事件 发 生”，这时,我们称是与的交,也称 是与 的积 或 二、事件的包含关系与运算 考点串讲 知识剖析（1）是的子事件，其含义是发生一定发生；发生 不一定发生. （2）并事件包含三种情况：①事件发生，事件不发生;②事件 不发 生，事件发生；③事件， 都发生. （3）判断事件关系的导图:#1.3 二、事件的包含关系与运算 考点串讲 （1）概率可以用来量化一个事件在一次试验中发生的可能性的大小，将事件记 为，用表示事件发生的概率，则满足如下基本性质: . （2）对于必然事件 和不可能事件 ，显然, .这是概率满足 的第二个基本性质. 三、概率的基本性质 考点串讲 1 定义 我们将满足下述条件的随机试验的概率模型称为古典概型. （1）样本空间 只含有有限个样本点; （2）每个基本事件的发生都是等可能的.（在一次试验中，每个基本事件发生 的可能性都相同，这时称这些基本事件为等可能基本事件） 四、古典概型 考点串讲 2 古典概型的判断标准 一个随机试验是否能归结为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特 征——有限性与等可能性.因此，并不是所有的试验都能归结为古典概型.下列三类试 验都不是古典概型： （1）样本空间中样本点个数有限,但每个基本事件的发生非等可能； （2）样本空间中样本点个数无限，但每个基本事件的发生等可能； （3）样本空间中样本点个数无限，且每个基本事件的发生非等可能. 四、古典概型 考点串讲 3 古典概型的概率公式 在古典概型中，如果样本空间,, ,（其中, 为样本点的个数）,那 么每一个基本事件发生的概率都是.如果事件由其中 个等可能 基本事件组合而成，即中包含个样本点，那么事件发生的概率为 . 一般地，若用表示事件包含的样本点个数，则 .#1.1 四、古典概型 考点串讲 一般地,对于给定的随机事件，在相同条件下,随着试验次数的增加,事件 发生 的频率会在随机事件发生的概率 的附近摆动并趋于稳定.因此，若随机事件 在次试验中发生了次,则当试验次数 很大时,可以用事件发生的频率来估计事 件的概率,即 .#1 五、频率的稳定性 考点串讲 辨析比较#1.1 区别 联系 频率 频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且随着试验次数的改变而改变，与试验次数有关．例如，同一个人掷硬币5次，6次……得到正面朝上的频率可能是不同的． 频率是概率的近似值.随着试验次数的增加，频率通常会稳定在概率附近．在实际问题中，通常随机事 件的概率是未知的，常用频率作为概率的估计值． 概率 概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的稳定值，与每次试验无关，与试验的次数无关．例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该硬币出现正面朝上的概率是 ，与做多少次试验无关． 五、频率的稳定性 考点串讲 1 定义 互斥事件 对立事件 概念 若 ，即事件与 不可 能同时发生.这时，我们称， 为互斥事件. 若 ，并且 ，即互斥事 件， 中必有一个发生.这时，我们称 ，为对立事件，记作或 . 联 系 对立事件必为互斥事件，但反之不然. 对立事件是必有一个发生的互斥事 件. 六、互斥事件与对立事件 考点串讲 2 概率的加法公式 如果事件,互斥，那么事件发生的概率，等于事件, 分别发生的概率的 和，即 . 这是概率满足的第三个基本性质（亦称概率的加法公式）. 3 互斥事件的推广 互斥事件可以推广到个事件的情形如果事件，， ， 中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件，， ， 两两互斥. 如果事件,, , 两两互斥,那么 . . . 六、互斥事件与对立事件 考点串讲 知识剖析 （1）一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的. （2）事件与事件互斥表示事件与事件不可能同时发生，即与 两个事件 同时发生的概率 . （3）事件与事件互斥包含三种情况：①事件发生,不发生;②事件 不发生, 发生;③事件不发生, 也不发生. （4）若事件，互为对立事件，则 为必然事件.#1.1.3 六、互斥事件与对立事件 考点串讲 4 随机事件概率的其他常用性质 随机事件的概率还具有以下常用性质： （1） ;（对立事件的概率计算公式） （2）当时， ; （3）当,不互斥时， . 六、互斥事件与对立事件 考点串讲 知识延伸 与，与 间的关系 由于样本空间是一个集合，因此在处理事件间的关系与运算时，要能恰当地利 用集合的关系与运算.从补集的角度我们知道 ， .在概率论中，，都表示事件与 同时都不 发生;，都表示事件与不同时发生，即至少有一个不发生. 与 ，与 都是对立事件. 六、互斥事件与对立事件 考点串讲 1 定义 一般地，对于两个随机事件,,如果,那么称, 为相互独立 事件.（或者说，事件发生与否不影响事件 发生的概率） 知识剖析 （1）［教材链接P295思考］若事件与相互独立，则与,与，与 也相互独立．#1.1 考点串讲 证明 因为事件与相互独立,所以 , 从而,所以与 相互独立; ,所以 与 相互独立; ,所 以与 相互独立. （2）事件, 独立与否有时很难从直观上作出判断,唯有经过概率之间的关系才 可以作出理性而准确的判断.#1.1.2 考点串讲 2 独立事件的推广 独立事件可以推广到个事件的情形.一般地，如果事件,, , 相互独立，那么 互斥事件与相互独立事件的概率公式 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对其他事件发 生的概率没有影响. 两个或多个事件不可能同时发生. 概率公式 若事件与 相互独立，则 . 若事件与 互斥，则 . 考点串讲 三个事件两两独立 事件,,两两独立，即事件,, 中任意两个事件之间相互独立，即 ,, .但未必有 . 反之，若，也未必有 , , .（【教材链接】见教材第298页第5题） 三个事件相互独立 当三个事件,,同时满足, , ，且时，称事件,, 相互独立. （四个条件缺一不可） 考点串讲 题型一、事件类型的判断 ［教材改编P278 T2］ 指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪 些是随机事件. （1）中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军; （2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯; （3）若,则 ; （4）抛一颗质地均匀的骰子两次，朝上面的数字之和大于12. 【解析】由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件; （3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上的 数字之和最大是12，不可能大于12，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件. 题型剖析 ［多选题］ (2025·广东省佛山市乐从中学质检)已知非空集合,满足 , 以下四个命题中正确的是( ) ACD A.若任取,则是必然事件 B.若任取,则 是不可能事件 C.若任取,则是随机事件 D.若任取,则 是必然事件 【解析】非空集合,所以集合是集合的真子集，若,则,时， 可能属于,也可能不属于，时，,A,C,D正确；若,则, , 故B错误. 题型一、事件类型的判断 变式训练 将一颗骰子先后抛掷两次，试验的样本点用表示，其中 表示第一次抛掷 出现的点数, 表示第二次抛掷出现的点数. （1）求样本空间中的样本点个数； （2）用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 名师点评 “掷骰子”是概率问题中最为常见的模型，一般为掷一颗或两颗质地均匀的 骰子，其对应的样本空间的样本点的个数分别为6和36，掌握其样本空间的情况是解 决概率问题的基础.本题与教材第278页【习题15.1】第3题均是基于掷骰子模型设置 的问题. 题型二、样本空间 题型剖析 （1）求样本空间中的样本点个数； 【解析】（列举法） 试验的样本空间,,,, , ,,,,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,,,,,,,, , ,共36个样本点. （2）用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 【解析】“出现的点数之和大于8”可用集合表示为,,,,, , ,,, . 题型二、样本空间 题型剖析 ［教材改编P278 T4&T5］ 袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的 小球，按下列要求分别进行试验. （1）从中任取一个球； （2）从中任取两个球； 【解析】（1）样本空间 红，白，黄，黑},样本点的个数为4. （2）一次取两个球，若记（红,白）代表一次取出红球、 （由于是任取两个球，与顺序无关，即（红，白）和（白，红）意义相同，都代表 同一个样本点，故只写出一个即可） 白球各一个，则样本空间 （红,白）,（红，黄）,（红，黑）,（白,黄）， （白,黑）,（黄，黑） ，样本点的个数为6. 题型二、样本空间 题型剖析 (2025·天津市第二南开学校月考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛. （1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数. （2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为,,,,, .现从这6名运动员 中随机抽取2人参加双打比赛. （ⅰ）用集合的形式写出试验的样本空间; （ⅱ）设事件为“编号为和 的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的 集合表示. 题型二、样本空间 变式训练 （1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数. 【解析】甲、乙、丙三个乒乓球协会运动员总人数为 ,则应从甲协 会抽取 （人）， 从乙协会抽取 （人）， 从丙协会抽取 （人）. 故应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2. 题型二、样本空间 变式训练 （2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为,,,,, .现从这6名运动员 中随机抽取2人参加双打比赛. （ⅰ）用集合的形式写出试验的样本空间; 【解析】样本空间,,,,,, , ,,,,,,, . （ⅱ）设事件为“编号为和 的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的 集合表示. 【解析】事件,,,,,, , , . 题型二、样本空间 变式训练 “抛掷一颗骰子，结果向上的点数是奇数”记为事件 ，“抛掷一颗骰子，结果向 上的 点数大于2”记为事件试分别写出样本空间 ，，，， . 【解析】依题意知，；；,4，5, . 表示“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是奇数或大于2”，则 . AB表示“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是大于2的奇数”，则 . 题型三、事件的运算 题型剖析 盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件 个球中有1个红 球、2个白球，事件个球中有2个红球、1个白球，事件 个球中至少有1 个红球，事件 个球中既有红球又有白球}. （1）事件与， 是什么样的运算关系？ 【解析】对于事件 ，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故 . （2）事件与 的交事件是什么事件？ 【解析】对于事件 ，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3 个红球，故 . 题型三、事件的运算 题型剖析 (2025·广东省佛山市第三中学质检)抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件 ， “向上的点数是2或3”为事件 ，则( ) C A. B. C.表示向上的点数是1或2或3 D. 表示向上的点数是1或2或3 【解析】对于A，事件不包含事件 ，故A错误； 对于B，事件与事件 不相等，故B错误； 对于C， 表示向上的点数是1或2或3，故C正确； 对于D， 表示向上的点数是2，故D错误．故选C． 题型三、事件的运算 变式训练 判断下列试验是否为古典概型： （1）在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽； 【解析】这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，但“发芽” 与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该 试验不是古典概型. （2）口袋中有2个红球，2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出 红球. 【解析】每次取出一个球后，仍放回袋中，再取一个球.显然，对于有放回抽样，依 次取出的球可以重复，且取球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此 该试验不是古典概型. 题型四、古典概型的计算 题型剖析 ［教材改编P281例3］若掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于_ __. 【解析】掷两颗骰子所出现的不同结果数是36，事件“点数之和为6”所包含的样本点 有，，，，,共5个.故事件“点数之和为6”的概率是 . 某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三 人恰好选择同一款套餐的概率为( ) C A. B. C. D. 【解析】设两款优惠套餐分别为, ,甲、乙、丙三位同学各从中 任选一款套餐，结果如图所示.可得三人恰好选择同一款 套餐的概率为 . 题型四、古典概型的计算 题型剖析 (2025·江苏省南通市质检)口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： （1）从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； 【解析】无放回地取球.任意摸出两个小球（可以理解为两个小球一起摸出，无顺序 之分）的样本空间为（红，白），（红，黄），（白，黄） ，所以摸出的是红球 和白球的概率为 . （2）从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率. 【解析】有放回地取球（有顺序之分）.样本空间为 （红，红），（红，白）， （红，黄），（白，白），（白，红），（白，黄），（黄，红），（黄，白）， （黄，黄） ，而事件“摸出一红一白”包括（红，白），（白，红）2个样本点，所 以两次摸出的球是一红一白的概率为 . . . . . 题型四、古典概型的计算 变式训练 某校为了诊断高三学生在市“一模”考试 中文科数学的状况，随机抽取了50名学生的 市“一模”文科数学成绩进行分析，将这些成 绩分为九组，第一组为 ，第二组为 ， ，第九组为 ，并绘制 了如图所示的频率分布直方图． （1）试求出 的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数； （2）现从成绩在 中的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰 好有一人的成绩在 中的概率是多少？ 题型五、古典概型的综合应用 题型剖析 （1）试求出 的值并估计该校文科数学成绩的众数和中位数； 【解析】 , 解得 . 由频率分布直方图得区间对应的人数最多，所以众数为 .设中位 数为，则,解得 ，所以中 位数为 . 题型五、古典概型的综合应用 题型剖析 （2）现从成绩在 中的同学中随机抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰 好有一人的成绩在 中的概率是多少？ 【解析】成绩在中的同学有 （人）， 分别记为,,,,,,成绩在中的同学有 （人）， 假设为, ,从6人中抽取2人共有15种结果（列举略），其中抽取的2人中恰好有一 人的成绩在中的结果有,,,,, , ,,共8种.因此所求概率为 . 思路点拨 （1）根据所有频率和为1求 的值，根据每组中间值以及频率确定众数， 根据频率为0.5求中位数；（2）先确定成绩在 中的同学人数以及成绩在 中的同学人数，再利用古典概型概率公式求解. 题型五、古典概型的综合应用 题型剖析 (2025·浙江省宁波中学月考)把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一 次出现的点数为，第二次出现的点数为.试就方程组 解的情况，解 答下列各题： （1）求方程组只有一组解的概率； （2）求方程组只有正数解的概率. 题型五、古典概型的综合应用 题型剖析 （1）求方程组只有一组解的概率； 【解析】方程组只有一组解，需满足，即.而满足 的样本点有 ，，，共3个，（由于 所包含的情况较多，因此考虑从求 所包含的样本点这一角度出发进行求解,即运用正难则反思想） 故满足 的样本点有33个. 所以方程组只有一组解的概率为 . . . . . 题型五、古典概型的综合应用 题型剖析 （2）求方程组只有正数解的概率. 【解析】由方程组可得 方程组只有正数解，需满足且 分两种情况： 当时，得 当时，得 易得包含的样本点有13个,分别为，，，，，， ， ，，，，， .因此所求的概率为 . 题型五、古典概型的综合应用 题型剖析 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数.设, 分别是将此枚骰子先 后抛掷两次向上的点数，则式子 成立的概率为__. 【解析】样本点共有（个），即 ,“向上的点数相等”包含的 样本点为,,,,,,所以式子成立的概率是 . 题型五、古典概型的综合应用 题型剖析 (2025·河南省封丘县第一中学开学考试)某市 组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展 主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动.为了 让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200 位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的 频率分布直方图如图所示. （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； （2）现用分层抽样的方法从年龄在和 两组市民中一共抽取6人，再从 这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 题型五、古典概型的综合应用 变式训练 （1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）； 【解析】由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为 . 题型五、古典概型的综合应用 变式训练 （2）现用分层抽样的方法从年龄在和 两组市民中一共抽取6人，再从 这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率. 【解析】样本中年龄在的频率为，年龄在 的频率 为 ， 则从年龄在的市民中抽取（人），分别记作，，， ， 年龄在的市民中抽取（人），分别记作， ， 从这6人中随机抽取2人进行电话回访，样本空间为，，，，， ， ，，，，，，，， ，共15个样本点， 其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的样本点有，，，，， ， ， ，共8个， 所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率为 . 题型五、古典概型的综合应用 变式训练 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,事件表示“只订甲报”,事件 表示“至少订 一种报纸”,事件表示“至多订一种报纸”,事件表示“不订甲报”,事件 表示“一种报纸 也不订”.判断下列每组事件是否为互斥事件,如果是,再判断它们是否为对立事件. （1）与；（2）与;（3）与;（4）与;（5）与 . 题型六、互斥事件、对立事件的判断 题型剖析 【解析】（定义法）（1）由于事件 “至多订一种报纸”中可能只订甲报,即 事件与事件有可能同时发生,故与 不是互斥事件. （2）事件 “至少订一种报纸”中有3种可能:“只订甲报” “只订乙报”“订甲、乙两种 报”.事件 “至多订一种报纸”中有3种可能:“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”. 事件与事件可能同时发生,故与 不是互斥事件. （3）事件“至少订一种报纸”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,也就是说事件 发生,事件也可能发生,故与 不是互斥事件. （4）事件“至少订一种报纸”与事件 “一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故事 件与是互斥事件.由于事件和事件必有一个发生,故与 也是对立事件. （5）事件“只订甲报”与事件“一种报纸也不订”不可能同时发生,故与 是互斥事 件.但与不是必有一个发生，比如“只订乙报”，故与 不是对立事件. 题型六、互斥事件、对立事件的判断 题型剖析 【解析】（集合法） 令“只订甲报”为①，“只订乙报”为②，“订甲、乙两种报”为③， “一种报纸也不订”为④，则样本空间，②，③，④ . （1），,②,，,所以与 不是互斥事件. （2）,②,，,②,所以与 不是互斥事件. （3）,，,所以与 不是互斥事件. （4）， , ，所以与 是对立事件. （5） ，但, ，所以与 是互斥事件，但不是对立事件. 题型六、互斥事件、对立事件的判断 题型剖析 [多选题]一名男生和两名女生， 在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆， 每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是( ) ABD A.“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立 事件 B.“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件 C.“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件 D.“女生周六去参观博物馆”与“女生 周日去参观博物馆”是互斥事件 题型六、互斥事件、对立事件的判断 题型剖析 【解析】一名男生和两名女生， 在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆， 每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆的样本空间， ， ，，， . 对于选项A，“周六至少有一名女生去参观博物馆”包含，， ， ，个样本点，而“周六只有一名男生去参观博物馆”包含 个样 本点，故是对立事件，即A正确； 对于选项B，“周六只有一人去参观博物馆”包含，， 个样本点， 而“周日只有一人去参观博物馆”包含，， 个样本点，故是对 立事件，即B正确； 题型六、互斥事件、对立事件的判断 题型剖析 对于选项C，“周六只有一人去参观博物馆”包含，， 个样本点， 而“周日有两人去参观博物馆”包含，， 个样本点，两者不是 互斥事件，故C错误； 对于选项D，因每人只去一天，故“女生周六去参观博物馆”与 “女生 周日去参观 博物馆”是互斥事件，故D正确． 故选 . 题型六、互斥事件、对立事件的判断 题型剖析 (2025·四川省南充市白塔中学月考)把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、 乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是 ( ) C A.既不互斥也不对立 B.既互斥又对立 C.互斥但不对立 D.对立 【解析】把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张， 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生（即为互斥事件），但能同时 不发生（不对立，对立事件中，必有一个发生，所以不对立）. 所以事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是互斥但不对立． 故选C． 题型六、互斥事件、对立事件的判断 变式训练 [教材改编P290例2］某射手在一次射击中，命中10环、9环、8环的概率分别 是，， ，则该射手在一次射击中命中不够8环的概率为( ) D A.0.9 B.0.3 C.0.6 D.0.4 【解析】设“该射手在一次射击中命中不够8环”为事件,则事件的对立事件 是“该 射手在一次射击中命中不小于8环”. 事件 包括命中10环、9环、8环，这三个事件是互斥的， ， ,即该射手在一次射击中命中不够8环的概率为0.4. 题型六、互斥事件、对立事件的判断 变式训练 (2025·上海市桃浦中学月考)袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球. 从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或绿球 的概率也为 ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别为多少. 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 【解析】记“得到红球”为事件,“得到黑球”为事件,“得到黄球”为事件 ,“得到绿球” 为事件,事件,,, 彼此互斥，（取一球，一次只能取得一种颜色的球） 则由题意可知， ①, ②, ③. 由事件和事件 是对立事件可得 ， 即 ④. 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 ［多选题］中国男子篮球职业联赛（CBA）中，某男篮运动员在最近几次比赛中 的得分情况如下表： 得分情况 投中两分球的次数 投中三分球的次数 没投中 投篮次数 55 18 27 记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件 ，没投中为事 件 ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( ) AC A. B. C. D. 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 【解析】,用频率估计概率, ，故A正确； ， ,故C正确; 事件，，互斥，所以 ，故B错误； ，故D错误． 故选 ． 【解析】,用频率估计概率, ，故A正确； ， ,故C正确; 事件，，互斥，所以 ，故B错误； ，故D错误． 故选 ． 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 (2025·甘肃省武安市第一中学月考)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、 戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有 （甲，乙，丙）,（甲，乙，丁）,（甲，乙，戊）,（甲，丙，丁）,（甲，丙，戊）, （甲，丁，戊）, （乙，丙，丁）,（乙，丙，戊）,（乙，丁，戊）, （丙，丁， 戊），共10种，其中“甲与乙均未被录用”只有（丙，丁，戊）这1种，概率为 ，故 其对立事件“甲或乙被录用”的概率为 . 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 [多选题]设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲 袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件 “从甲袋中任取1球是红球”， 记事件 “从乙袋中任取1球是白球”，则( ) A. B. C. D. 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 【解析】甲袋中有2个红球和1个白球，因此从甲袋中任取1球是红球的概率为 ，故A正确.设甲袋中的红球为,,白球为，乙袋中的红球为，白球为， ，则从甲袋中 取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球的样本空间为,, , ,,,,,,,, ,共12个样本 点.其中事件 表示从甲袋中取一个红球放入乙袋，再从乙袋中取一个白球，因此 ,,,,包含4个样本点，所以 ，故 C错误.事件 表示从甲袋中取一个白球放入乙袋，再从乙袋中取一个白球，因此 ,,,包含3个样本点，所以 ，故D正确. ，故B正确. 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 (2025·广东省卓越联盟联考)设,是一个随机试验中的两个事件，且 , ,，则 ___． 【解析】由概率的性质得 ， 所以 ， 又，所以 ， 所以 ． 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 求复杂事件的概率的方法 对于复杂事件的概率计算，通常将复杂的事件通过分析，拆分为若干个两两互斥的 事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式的推广 求其概率.而当复杂事件包含 的两两互斥事件较多时，则考虑利用对立事件的概率公式求解. 题型七、通过事件运算求解概率 题型剖析 题型八、独立事件的判断 判断下列各对事件是不是相互独立事件． （1）甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选 1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； 【解析】“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一 事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件． （2）一个布袋里有外形相同的3个白球，2个红球，“从中任意取1个球是白球”与“取 出的球不放回，再从中任意取1个球是红球”． 【解析】不放回地取球，前者的发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件. 题型剖析 (2025·吉林省长春市第六中学月考)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生 女孩是等可能的，令一个家庭中既有男孩又有女孩， 一个家庭中最多有 一个女孩}．对下述两种情形，讨论与 的独立性： （1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩. 题型八、独立事件的判断 题型剖析 【解析】有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为 （男，男）， （男，女），（女，男），（女，女），共有4个样本点，由等可能性知概率均为 . 这时（男，女），（女，男）， （男，男），（男，女），（女，男） ，（男，女），（女，男），于是，， ． 由此可知 ， 所以事件， 不相互独立． （1）家庭中有两个小孩； 题型八、独立事件的判断 题型剖析 （2）家庭中有三个小孩. 【解析】有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为 （男，男，男）， （男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男， 女），（女，女，男），（女，女，女） ，共有8个样本点，由等可能性知概率均 为 .这时中含有6个样本点（此处不再一一列举），中含有4个样本点， 中含有3个 样本点，于是，， . 显然有 成立. 所以事件与 是相互独立的. 题型八、独立事件的判断 题型剖析 (2024·上海春季)有四个礼盒，前三个里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第 四个礼盒里面上述三种礼品都装的有，现从中任选一个礼盒.设事件 为“所选礼盒中 有中国结”，事件为“所选礼盒中有记事本”，事件 为“所选礼盒中有笔袋”，则下列 说法中正确的是( ) B A.事件与事件互斥 B.事件与事件 相互独立 C.事件与事件互斥 D.事件与事件 相互独立 题型八、独立事件的判断 变式训练 【解析】由于第四个礼盒中既有中国结,又有记事本,若抽到第四个礼盒，则事件 和 事件就同时发生了，因此事件与事件 不是互斥事件,故A错误; 由于，，，因此事件与事件 相互独 立,故B正确; 由于第四个礼盒中既有中国结,又有记事本,还有笔袋，若抽到第四个礼盒，则事件 和事件就同时发生了，因此事件与事件 不是互斥事件,故C错误; 由于，，，因此事件 与事 件 不是相互独立的，故D错误. 综上，选B. 题型八、独立事件的判断 变式训练 1.［多选题］ 给出下列四个命题，其中错误的命题为( ) ABC A.“一元二次方程有实数解”是必然事件 B.“飞机晚点”是不可能事件 C.“冬天会下雪”是必然事件 D.“购买的体育彩票中奖”是随机事件 【解析】一元二次方程不一定有实数解，则“一元二次方程有实数解”是随机事件， 故A命题错误． “飞机晚点”是随机事件，故B命题错误． “冬天会下雪”是随机事件，故C命题错误． “购买的体育彩票中奖”是随机事件，故D命题正确．故选 ． 针对训练 2.［多选题］ 下列事件是随机事件的是( ) CD A.当时， B.在 上有解 C.关于的方程 在实数集内有解 D.当时， 【解析】由对数函数的单调性可知，当时， ，所以A是必然事件；因 为的解为或，所以B是必然事件；当时，关于 的方程 在实数集内无解，当时，关于的方程 在实数集内有解， 所以C为随机事件；当时，或 均有可能发生，所以D为随机事件. 针对训练 3.[多选题](2025·山东省邹城市第一中学月考)已知事件，，且 ， ，则下列结论正确的是( ) A.如果，那么， B.如果与互斥，那么， C.如果与相互独立，那么 D.如果与相互独立，那么， 针对训练 【解析】如果，那么，， 正确； 如果与互斥，那么 ， ， 正确； 如果与相互独立，那么， 错误； 如果与相互独立，那么 ， ， 正确． 故选 ． 针对训练 4.甲、乙两人下一局棋，甲获胜的概率为，甲不输的概率为 ，则甲、乙下 成平局的概率为( ) A A. B. C. D. 【解析】甲不输包含甲获胜或者平局两种互斥情况，故甲、乙下成平局的概率为 .故选A. 针对训练 5.在一次数学考试（满分150分）中，某班学生的成绩（单位：分）在130及以上的 频率是，在内的频率是,在内的频率是,在 内的频 率是,90以下的频率是 ，若认为成绩在110及以上为优秀，则从该班学生中随机 抽取一人，其成绩优秀的概率是( ) B A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.5 【解析】根据互斥事件的概率加法公式，易得所求事件的概率为 . 针对训练 6.[多选题](2025·四川省南充市嘉陵第一中学月考), 两组各有2名男生、2名女生， 从,两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛，甲表示事件“从 组中选出的男生是 小明”，乙表示事件“从组中选出的是1名男生”，丙表示事件“从, 两组中选出的是 2名男生”，丁表示事件“从, 两组中选出的是1名男生和1名女生”，则( ) BCD A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.甲与乙相互独立 D.乙与丁相互独立 针对训练 【解析】事件甲发生的概率（甲）,事件乙发生的概率（乙） ，事件丙 发生的概率（丙），事件丁发生的概率 （丁） ,而（甲丙）,（甲） （丙） （甲丙），故甲与丙不相互独立;（甲丁）,而（甲） （丁）（甲丁）,故甲与丁相互独立;（甲乙）（甲） （乙）,故甲与乙相互独立;（乙丁）（乙） （丁）,故乙与丁相互 独立.故选 . 针对训练 7.(2025·湖北省襄阳市第五中学开学考试)排球比赛一般采用五局三胜制，第一局比 赛用抽签的方式，等可能地决定首先发球的球队，在每局比赛中，发球方赢得此球 后可获得下一球的发球权，否则交换发球权．甲、乙两队进行排球比赛，若甲队发 球，则甲队赢得此球的概率为;若乙队发球，则甲队赢得此球的概率为 ．则在第一 局比赛中甲队获得第三个球的发球权的概率为( ) C A. B. C. D. 针对训练 【解析】甲乙两队获得第一个球的发球权的概率均为 ，若甲队获得第三个球的发球 权，则第二球甲必胜. 当甲发第一个球时，有“甲队胜，甲队胜”和“乙队胜，甲队胜”两种情况，概率为 ； 当乙队发第一个球时，有“甲队胜，甲队胜”和“乙队胜,甲队胜”两种情况，概率为 . 所以甲队在第一局比赛中获得第三个球的发球权的概率为 .故选C. 针对训练 8.(2025·四川省广安市月考)甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和 ， 两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率： 【解析】设事件为甲独立地破译出密码，事件 为乙独立地破译出密码，则 ， ， （1）两人都能破译； 【解析】两人都能破译的概率为 ． （2）恰有一人能破译． 【解析】恰有一人能破译的概率为 . 针对训练 9.某购物中心为了了解使用新推出的某购物卡的顾客 的年龄分布情况，随机调查了100位到购物中心购物的 顾客的年龄（单位：岁），整理后画出频率分布直方 图如图所示，年龄落在区间, , 内的频率之比为 . （1）求顾客年龄落在区间 内的频率; （2）拟利用分层抽样从年龄在, 内的顾客中选取6人召开一个座谈会， 现从这6人中选出2人，试写出从这6人中选出2人的样本空间，并写出这两人在不同 年龄组的样本点. 针对训练 （1）求顾客年龄落在区间 内的频率; 【解析】设年龄落在区间内的频率为,则年龄落在区间, 内的 频率分别为和 . 依题意得, ,解得 ,所以年龄落在区间 内的频率为0.05. 针对训练 （2）拟利用分层抽样从年龄在, 内的顾客中选取6人召开一个座谈会， 现从这6人中选出2人，试写出从这6人中选出2人的样本空间，并写出这两人在不同 年龄组的样本点. 【解析】根据题意得，需从年龄在, 内的顾客中分别抽取4人和2人， 设从年龄在内的顾客中抽取的4人分别为,,,,从年龄在 内的顾客 中抽取的2人分别为,,则从这6人中选出2人的样本空间为,, , ,,,,,,,,,,, . 设“这两人在不同年龄组”为事件,事件包含的样本点有:,,, , ,,, . 针对训练 本章引入样本点和样本空间的概念，把随机事件定义为样本空间的子集，研究了随机事件的关系和运算．通过古典概型、频率的稳定性，研究随机事件发生的概率，在此基础上研究概率的基本性质、互斥事件、独立事件，并利用其简化某些概率计算． 课堂总结 感谢聆听! $