第14章 统计（复习课件）数学苏教版必修第二册

单元复习课件 第十四章 统计 苏教版必修第二册·高一 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握统计核心知识：理解数据收集、整理、描述与分析的基本流程，明确抽样方法的适用场景与本质内涵，能区分不同统计图表的功能与特点。 2.深化统计运算理解：熟练运用统计量进行数据特征分析，掌握频率分布表与频率分布直方图的绘制方法，能灵活处理数据的化简、统计量计算与分布特征描述问题。 3.探究统计的性质与应用：掌握用样本估计总体的思想方法，能结合样本数据推断总体的集中趋势与离散程度；用统计知识解决生活中涉及数据收集、分析与决策的问题。 4.培养数学思维与数据素养：在学习过程中，通过对比、归纳、数形结合等方法总结统计知识的内在逻辑，提升数据处理、分析判断与基于数据做出合理决策的综合能力。 单元学习目标 实际问题 总体 总体数据 样本 样本观测数据 总体的取值规律 总体的百分位数 总体的平均值、 中位数、众数 总体标准差、 方差、极差 样本频率分布 样本的百分位数 样本的平均数、中位数、众数 样本标准差、 方差、极差 决策与建议 抽样 估计 估计 估计 估计 普查 单元知识图谱 一、普查和抽样调查 普查 抽样调查 概念 普查是为了掌握调查对象 的整体情况，对全体调查 对象进行研究的一种调查 方式. 从全体调查对象中,按照一定的方法抽取一部 分对象作为代表进行调查分析,并以此推断全 体调查对象的状况.这种抽取一部分对象的调 查方式叫作抽样调查，简称抽查. 优点 所取得的资料更加全面、 系统. 1.迅速、及时； 2.节约人力、物力和财力; 3.由于调查对象少，因此可以更详细地了解每 个被调查个体的信息. 考点串讲 一、普查和抽样调查 普查 抽样调查 缺点 耗费大量的人力、物力和 财力. 获取的信息不够全面、系统. 适用范 围 1.调查对象很少； 2.要获取翔实、系统和全面 的信息. 1.大批量检验； 2.破坏性试验； 3.不必要普查等. 考点串讲 二、统计分析 1 相关概念 总体 一般地，在获取数据时，把所考察对象（某一项指标的数据）的 全体叫作总体. 个体 把组成总体的每一个考察对象叫作个体. 样本 从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本.这个过程称为 抽样. 样本容量 样本中个体的数目叫作样本容量. 特别提醒 样本容量的大小不取决于总体中个体数的多少，而取决于研究对象的变化 程度（总体中个体之间的差异度）、所允许的误差大小（即样本的精度要求）和要 求推断的置信程度（即把握大小、可信程度）. 考点串讲 2 统计分析的基本步骤 3 统计分析的基本思想 抽取具有较好代表性的样本，由样本数据的特征、规律估计总体的状况.如图. 二、统计分析 考点串讲 1 抽签法的概念 把总体中的 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放入一个不透明的密闭 容器中，并充分搅拌，（确保每个号签被抽到的机会相等）每次从容器中随机取出 一个号签，连续不放回地抽取 次，记下取出的号签编号，从总体中取出与号签编号 相同的个体，就得到一个容量为 的样本.这种抽样方法称为抽签法. （用抽签法能使每个个体被抽中的概率相等） 知识剖析 （1）对个体编号时，也可以利用已有的编号.例如，从全班学生中抽取样 本时，可以利用学生的学号、座位号等. （2）制作号签时，所使用的工具（如纸条、小球等）的形状、大小、材质等要 完全一样，以确保每个号签被抽到的可能性相等. . . . . 三、抽签法 考点串讲 1 随机数表与随机数表法的概念 制作一个表，这个表由0，1,2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中任 一位置出现任一数字的概率相同，且不同位置的数字之间是独立的.这样的表称为随 机数表，其中的每个数都称为“随机数”.于是，我们只要按一定的规则从随机数表中 选取号码就可以了，这种抽样方法叫作随机数表法. 四、随机数表法 考点串讲 2 用随机数表法抽取样本的步骤 四、随机数表法 考点串讲 3 随机数表法的特点 优点 简单易行.它很好地解决了用抽签法时，当总体中的个体数较多时制签不便 的问题. 缺点 当总体中的个体数很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取样 本仍不方便. 特别提醒 （1）随机数表中的数是统计工作者用计算机生成的随机数，保证了表中 的每个位置上的数字是等可能出现的.因此利用随机数表法抽取样本保证了每个个体 被抽到的可能性相等. （2）用随机数表法抽样时，可以任选一个数作为初始值，读数的方向是任意的， 可以向左，也可以向右、向上、向下等. 四、随机数表法 考点串讲 辨析比较 抽签法与随机数表法 方法 相同点 不同点 抽签法 都要求被抽取样本的总体中个体 数有限; 都是从总体中逐个进行抽取，都 是“不放回”抽样. 适用于总体中的个体数相对较少 的情况. 随机数表法 适用于总体中的个体数较多、样 本量较小的情况. 四、随机数表法 考点串讲 1 简单随机抽样的概念 一般地，从个体数为的总体中逐步不放回地取出 个（等价于一次性随机抽取 个）个体作为样本 ，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽 样方法称为简单随机抽样. 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样. . . . . 五、简单随机抽样 考点串讲 2 适用条件 当总体中的个体之间差异程度较小和样本容量较小时，通常采用这种方法． 知识剖析 简单随机抽样的特点 （1）被抽取样本的总体个数是有限的.这样便于通过随机抽取的样本对总体进 行分析. （2）它是一种不放回抽样（在抽样中,每次抽出个体后不再将它放回总体）.由 于抽取的样本没有重复的个体且效率较高，因此在实践中多采用不放回抽样. （3）它是一种等可能抽取.在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同 （与第几次抽取无关），这样保证了抽样的公平性. . . . . . . . . 五、简单随机抽样 考点串讲 1 分层抽样的概念 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体 情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后 按各个部分在总体中所占的比实施抽样，（层内样本的差异尽可能小,层与层之间的 差异要尽可能大）这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”. . . . . . . 六、分层抽样 考点串讲 2 分层抽样的步骤 六、分层抽样 考点串讲 3 分层抽样的特点 （1）适用于由差异明显的几部分（即层）组成的总体； （2）分成的各层互不重叠； （3）每个个体被抽到的可能性相等; （4）分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用 不同的随机抽样方法. 六、分层抽样 考点串讲 4 随机样本 为了使样本相对总体具有很好的代表性,就必须使得总体中每个个体被抽取的概 率相等.如果一个样本是按这种规则抽取的,那么称这个样本为随机样本. 简单随机抽样和分层抽样这2种抽样方法所获取的样本都为随机样本,它们的特 点和适用范围可归纳如下表所示. 类别 特点 相互联系 适用范围 共同点 简单随机 抽样 从总体中逐个抽 取 总体中的个体数相对 较少 抽样过程中 每个个体被 抽到的可能 性相同 分层抽样 将总体分成几 层，按各层的个 体数之比抽取 各层抽样时， 可以采用简单 随机抽样 总体由差异明显的几 部分组成 六、分层抽样 考点串讲 扇形统计图 折线统计图 频数直方图 特点 用整个圆表示总体，扇形统 计图中，每一个扇形的圆心 角以及弧长都与这一部分表 示的数据大小成正比. 用一个单位长度表 示一定的数量，用 折线的起伏表示数 量的增减变化. 一条轴上显示的是所关注 的数据分组，另一条轴上 对应的是在对应组内的数 据的数量. 作用 能够直观地反映各个类别在 总体中所占的比例. 可以看出变化趋势. 既能够反映分布状况，又 可以表示变化趋势. 七、扇形统计图、折线统计图、频数直方图 考点串讲 扇形统计图 折线统计图 频数直方图 图例 某班学生上学方式统计图 _______________________________ 某班学生上学方式 统计图 _______________________________________ 40个企业年度销售收入频 数直方图 __________________________________________ 续表 七、扇形统计图、折线统计图、频数直方图 考点串讲 1 频率分布直方图的概念 把横轴均分成若干段，每一段对应的 长度称为组距，然后以此段为底作矩形， 它的高等于该组的 ，这样得出一系列 的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频 率，这些矩形就构成了直方图（如图）. 我们将这种直方图称为频率分布直方图． 知识剖析 （1）频率分布直方图中各矩形的面积之和为1.（链接教材P242练习T2） （2）频率分布直方图中，注意纵轴表示的不是频率，而是频率与组距之比． . . . . 七、频率分布直方图 考点串讲 知识剖析1.全距、组距、组数有如下关系： （1）若为整数，则 组数； （2）若不为整数，则组数.表示不大于的最大整数 2.组数与样本容量有关，一般地，样本容量越大，分的组数也就越多.当样本容 量在120以内时，通常分成 组. 3.为方便起见，往往按等距分组，或者除了第一段和最后一段，其他各段按等 距分组.分组时，可以先确定组距，也可以先确定组数. 七、频率分布直方图 考点串讲 2 绘制频率分布直方图的步骤 第一步:计算全距 全距为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步:确定组距和组数 组距是指每个小组的两个端点之间的距离. 七、频率分布直方图 第三步:分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步:列表 计算各小组的频率（频率 ），作出频率分布表，表格形式如下： 分组 频数 频率 考点串讲 3 频率分布表与频率分布直方图的特征 总体分布情况可以通过样本分布情况来估计，频率分布是总体分布的一种近似， 频率分布表和频率分布直方图有以下特征. （1）频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数有关，分组数的 变化会引起频率分布表和频率分布直方图的结构变化. （2）随机性.频率分布表和频率分布直方图由样本决定，因此它们会随着样本 的改变而改变. （3）规律性.若固定分组数,随着样本容量的增加,频率分布表中各个频率会稳定 在某个值附近,从而频率分布直方图中的各个矩形的高度也会稳定在特定的值附近. 七、频率分布直方图 考点串讲 1 平均数、众数、中位数 数字 特征 概念 特征 平均 数 称为,, ,这 个 数据的平均数,一般记为 . 平均数代表性较好，是反映数据集中趋 势最常用的统计量.平均数反映一组数据 的平均水平，任何一个样本数据的改变 一般都会引起平均数的改变.但在某些情 况下，平均数也易受到一些极端值的影 响而偏离一般情况. 八、用样本估计总体的集中趋势参数 考点串讲 数字 特征 概念 特征 众数 将一组数据中出现次数最多的数 据叫作该组数据的众数． 众数的大小只与这组数据中的部分数据 有关.众数作为一组数据的代表，可靠性 较差，出现次数最多的数据很多时候不 能反映一组数据的中心值. 续表 八、用样本估计总体的集中趋势参数 考点串讲 数字 特征 概念 特征 中位 数 将一组数据按照从小到大的顺序 排成一列，如果数据的个数为奇 数，那么排在正中间的数据就是 这组数据的中位数；如果数据的 个数为偶数，那么，排在正中间 的两个数据的平均数即为这组数 据的中位数． 在一组数据中，有一半的数据不大于中 位数，而另一半的数据则不小于中位 数，中位数反映了一组数据的中心的情 况.中位数不受极端值的影响. 续表 八、用样本估计总体的集中趋势参数 考点串讲 知识剖析 1.一般地,我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体均值,又称总体平 均数.它通常可以代表总体的水平.在进行统计分析时,我们经常用样本平均数估计总 体均值. 2.平均数、众数、中位数都是刻画数据集中趋势的度量值. 3.一组数据的平均数、中位数都是唯一的，但众数不唯一. （可以有一个，也可以有多个） 4.一组数据的众数一定是原数据中的数，平均数和中位数则不一定.#1.4 . . . . . . 八、用样本估计总体的集中趋势参数 考点串讲 2 利用频率计算平均数 一般地，若取值为,, ,的频率分别为,, , ,则其平均数为 . 3 分层抽样数据的平均数计算 如果将总体分为层，第层抽取的样本为,, ,,第层的样本量为 ， 样本平均数为,,2, ,,记 ,则所有数据的样本平均数为 . 八、用样本估计总体的集中趋势参数 考点串讲 九、用样本估计总体的离散程度参数 1 极差、方差、标准差 数字特 征 概念 特征 极差 一组数据的最大值与最小 值的差称为极差. 极差反映了一组数据变化的最大幅度，它对一 组数据中的极端值非常敏感.极差只考虑了两个 极端值，而没有考虑中间的数据.因此很多时 候，将极差作为数据的离散程度的估计量，可 靠性较差. 考点串讲 数字特 征 概念 特征 方差 设一组样本数据， ， ，，其平均数为 ， 则称 为 这个样本的方差，简称为 样本方差. 方差刻画的是数据偏离平均数的离散程度.方差 越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越 集中；反之，方差越大，表明各个样本数据在 样本平均数的两边越分散． 九、用样本估计总体的离散程度参数 考点串讲 数字特 征 概念 特征 标准 差 方差的算术平方根 为样本 的标准差,简称为样本标准 差. 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.与 标准差相比，方差有两个弊端：一是与原始数 据的单位不同，二是平方后可能夸大了离差的 程度. 续表 九、用样本估计总体的离散程度参数 考点串讲 2 利用频率计算方差 一般地，若取值为,, ,的频率分别为,, , ,则其方差为 . 3 分层抽样数据的方差计算 一般地，如果总体分为层，第层抽取的样本为,， ，,第 层的样本 量为，样本平均数为,样本方差为,,2, ,.记 ,那么，所有数据的 样本方差为 . 九、用样本估计总体的离散程度参数 考点串讲 十、用频率分布直方图估计总体分布 1 频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形底边的某个（些）点的横 坐标可作为这组数据的众数.一般用最高矩形底边中点的横坐标来近似代替. 考点串讲 2 频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义可知，在样本中，有 的数据小于或等于中位数，也有 的数据大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直 方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. 频率分布直方图中，每个矩形的面积代表这组数据的频率.利用频率分布直方图 求中位数的方法如下: （1）把每个矩形的面积从左加起，加到最接近但没超过0.5时，用0.5 减去之前 加得的数值;（2）用（1）中所得的数值除以下一个矩形的高；（3）用（2）中所得 的数值加上下一组数中的最小值就得到了中位数. 十、用频率分布直方图估计总体分布 考点串讲 3 频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘 积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个矩形底边中点的横坐标 与矩形面积的乘积之和近似代替. 特别提醒 因为样本数据的频率分布直方图只是直观地表明样本数据分布的形状，并 且从直方图本身得不出原始的数据内容，所以由频率分布直方图得到的众数、中位 数、平均数均为近似值，往往与实际数据不一样，但是它们能粗略地估计众数、中 位数和平均数. 十、用频率分布直方图估计总体分布 考点串讲 十一、百分位数 1 百分位数的概念 一般地，一组数据的百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于，且至少有的数据大于或等于 . 百分位数也称为第百分位数或 分位数. 如果将样本数据从小到大排列成一行，那么百分位数 所处位置如图所示. 中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数 和75百分位数称为四分位数.其中，25百分位数也称为下四分 位数，75百分位数也称为上四分位数. 考点串讲 2 百分位数的计算步骤 通常，我们按如下方法计算有个数据的大样本的 百分位数: 十一、百分位数 考点串讲 十二、平均数与方差的计算方法 1 平均数的计算方法 （1）定义法：当所给数据,, , 比较小，且比较分散时，一般选用公式 来计算. （2）新数据法：当所给的一组数据都在某一常数 的附近波动时，一般选用简 单化公式，其中常数 通常取接近于这组数据的平均数的较“整”的数，先 计算，则 .#2 考点串讲 （3）频数平均数法：在给定的数据中，已知数据出现的频数，或者有些数据重 复出现，则一般选用（其中为数据出现的频数， ）来计算 平均数. （4）频率平均数法：当所给数据,, ,出现的频率分别为,, , 时， 一般选用 来计算.#4 十二、平均数与方差的计算方法 考点串讲 2 方差的计算方法 （1）定义法： . （2）简化法： . （3）在个数中，出现次，出现次， ，出现 次，则 （其中 ）. （4）新数据法：当所给的一组数据都在某一常数的附近波动时,（常数 通常 取接近于这组数据的平均数的较“整”的数）新数据 ,两组数据的方差相同. 十二、平均数与方差的计算方法 考点串讲 3 具有线性关系的数据的平均数和方差 已知数据,, ,的平均数和方差分别为和 . 若数据,, ,与,, ,之间满足关系，则,, , 的平 均数为，方差为，标准差为 . 特别地，若，则,, ,的平均数为,方差为,标准差为 ； 若，则,, ,的平均数为,方差为,标准差为 . . . . . 十二、平均数与方差的计算方法 考点串讲 题型一、对普查和抽样调查的理解 下列调查方式，你认为最合适的是( ) A A.了解北京市每天的流动人口数，采用抽样调查的方式 B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查的方式 C.了解北京市居民国庆假期期间的出行方式，采用普查的方式 D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查的方式 题型剖析 【解析】对于A,了解北京市每天的流动人口数，调查对象太多，应采用抽样调查的 方式，故A正确； 对于B，旅客上飞机前的安检，事关安全，应采用普查的方式，故B错误； 对于C，了解北京市居民国庆假期期间的出行方式，调查对象太多，应采用抽样调查 的方式，故C错误； 对于D，日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，检测具有破坏性，应采用抽样调 查的方式，故D错误. 题型一、对普查和抽样调查的理解 题型剖析 判断是否采用普查获取有关信息 1.分析调查对象的性质，判断是否必须了解每一个个体的相关信息. 2.确定总体个数，以此来判断采取普查是否可行. 判断是否采用抽样调查获取有关信息 1.分析调查目的，确定是需要了解每个个体的情况还是总体的情况.若只是关心总体 的某项指标，一般采用抽样调查. 2.确定调查是否具有破坏性，若有一定的破坏性，则采用抽样调查. 题型一、对普查和抽样调查的理解 题型剖析 下列调查方式中，不合适的是( ) C A.春节联欢晚会的收视率，采用抽样调查的方式 B.了解某渔场中青鱼的平均质量，采用抽样调查的方式 C.了解某批次手机的使用寿命，采用普查的方式 D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查，采用普查的方式 【解析】对于A，收视率若采用普查，则工作量太大，因此宜采用抽样调查的方式. 对于B，没有必要采用普查的方式，因此采用抽样调查合适. 对于C，了解手机的使用寿命的过程会有破坏性，因此采用普查的方式不合适. 对于D，企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查必须要普查，否则工人的 工作服会不合身. 题型一、对普查和抽样调查的理解 变式训练 ［教材改编P234例2］ 现要完成下列3项抽样调查.①我校共有320名教职工， 其中教师270名，行政人员20名，后勤人员30名．为了了解教职工对学校在校务公开 方面的意见，拟抽取一个容量为32的样本.②某公司决定从公司内的800名员工中抽 取25名调查他们对目前工作的满意程度.③从高二年级24个班级中抽取3个班进行卫 生检查．较为合理的抽样方法是( ) C A.①简单随机抽样，②分层抽样，③分层抽样 B.①简单随机抽样，②分层抽样，③简单随机抽样 C.①分层抽样，②简单随机抽样，③简单随机抽样 D.①分层抽样，②分层抽样，③简单随机抽样 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 【解析】在①中，三个不同层次的人员差异明显，应该用分层抽样；在②中，应该采 用简单随机抽样中的随机数表法；在③中，抽查数量较少，应该用简单随机抽样． 抽样的基本方法的选取原则 1.看总体是否由差异明显的几部分组成.若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单 随机抽样. 2.看总体容量和样本容量的大小.当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大， 样本容量较小时，采用随机数表法. 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员，采用下面两种选法: 选法一：将这40名学生从进行编号，相应地制作 的40个号签 （除编号外，其他完全相同）,把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中 抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生入选. 选法二：将39个白球与1个红球（球除颜色外，其他完全相同）混合放在一个暗箱中 搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为啦啦队成员. 试问：这两种选法是否都是抽签法？为什么？这两种选法有何异同？ 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 【解析】选法一满足抽签法的特征，是抽签法.选法二不是抽签法，因为抽签法要求 所有的号签编号互不相同，而选法二中的39个白球无法相互区分.这两种选法相同之 处在于每名学生被选中的可能性都相等，均为 . 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60 袋进行检验，利用随机数表法抽取样本时，先将500袋牛奶按000，001， ，499进 行编号，使用随机数表中各个5位数组的后3位，（注意本题设置的读数规则）选定 第7行第5组数开始，取出047作为抽取的号码，随后抽到的5袋牛奶的号码分别是 （下面摘取了某随机数表第7行至第9行）_________________________. 84421 75331 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 025，016，105，185，395 . . 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 【解析】从第7行第5组数开始向右读5位数组，（而非从第5列开始读）凡后3位不在 中的数跳过去不取，前面已经取过的也跳过去不取，从而047后抽到的5个 编号为025，016，105，185，395. . . 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 ［教材改编P234 T1］ 某单位共有老年、中年、青年职工430人,其中有青年职工 160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍,为了解职工的身体状况,现采用分层抽样的 方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为____. 18 【解析】设该单位老年职工人数为,由题意得,解得 . 则样本中的老年职工人数为 . 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 (2025·江苏省镇江市实验高级中学调研)某高中针对学生发展要求，开设了富有 地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人， 按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 剪纸 其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，为了了解学生对这 两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸” 社团的学生中应抽取___人． 6 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 【解析】 第一步：求出总体中“剪纸”社团人数 因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总 人数的，故“剪纸”社团的人数为 . 第二步：根据各年级人数比例及抽样比，求解样本中的相关数量 因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为 ， 所以“剪纸”社团中高二年级人数为 . 由题意知，抽样比为 ，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为 . 题型二、合理选取抽样方法获取样本 题型剖析 ［教材改编P266 T2］ (2025·甘肃省民乐县第一中学期中)某学校高一、高二、高三 共有学生3 500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一 学生人数多300，现在按 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则抽取高一学生 的人数为( ) A A.8 B.11 C.16 D.10 【解析】设高一有人，则高三有人，高二有 人， 高一、高二、高三共有学生3 500人， ， . 按 的抽样比用分层抽样的方法抽取样本， 抽取高一学生的人数为 ． 题型二、合理选取抽样方法获取样本 变式训练 题型三、频率分布直方图的相关计算 从某小学随机抽取100名学生,将他们 的身高（单位:厘米）数据绘制成频率分布 直方图（如图 14.3-5所示），由图中数据 可知_______.若要从身高在 , , 三组内的学生中,用分 层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从 身高在 内的学生中选取的人数应 为___. 3 题型剖析 【解析】第一步：求 的值. 因为频率分布直方图中各矩形的面积之和为1（频率之和为1，即各小矩形面积之和 为1.），所以 （求频率之和时,切勿忘记乘以组距.） ，解得 . 第二步：依据样本容量求出三组内的学生总数及身高在 内的人数. 由频率分布直方图可知身高在,, 三组内的学生总数为 ，其中身高在 内的学生人数为10. 第三步：利用抽样比求解. 所以从身高在内的学生中选取的人数为 . （ 抽样比） . . . . . . 题型三、频率分布直方图的相关计算 题型剖析 中小学生的视力状况受到社会的关注.某市有关 部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名学生，对 他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关 数据绘制成频率分布直方图，如图14.3-6所示，从左 至右五个小组的频率之比为 ，则抽取的 400名高一学生中视力在 范围内的学生有___人. 50 【解析】由图可知，第五小组的频率为 ,所以第一小组的频率为 . 所以抽取的400名高一学生中视力在范围内的学生有 （人）. . . 题型三、频率分布直方图的相关计算 题型剖析 某工厂对一批产品进行了抽样检测.图 是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数 据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范 围是，样本数据分组为， ， 100）,, ,已知样 本中产品净重小于100克的个数是36，则样本 中净重大于或等于98克并且小于104克的产品 的个数是( ) A A.90 B.75 C.60 D.45 题型三、频率分布直方图的相关计算 变式训练 【解析】因为样本中产品净重小于100克的频率为 ，频数为 36，所以样本总数为 . 又样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为 ，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104 克的产品的个数为 .故选A． 题型三、频率分布直方图的相关计算 变式训练 题型四、频率分布直方图综合应用 (全国Ⅰ卷改编)某家庭记录了使用了节水龙头50天的日用水量数据（单位： ， 得到频数分布表如下： 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 频数 1 5 13 10 16 5 （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图; （2）估计该家庭使用节水龙头一年后，日用水量小于 的天数.（一年按365天 计算，结果保留整数） 题型剖析 （1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图; 【解析】作出频率分布直方图如图所示. 题型四、频率分布直方图综合应用 题型剖析 （2）估计该家庭使用节水龙头一年后，日用水量小于 的天数.（一年按365天 计算，结果保留整数） 【解析】根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于 的频率为 0.05（0.05是[0.3,0.4]区间长度的一半） , 因此该家庭使用节水龙头一年后日用水量小于 的天数估计为 . . . 题型四、频率分布直方图综合应用 题型剖析 1.[多选题] (2025·山东省淄博中学月考)供电部门对某社区100位居民6月份人均用电 情况进行统计后，按人均用电量单位：分为 ， ， 五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则有 关这100位居民，下列说法正确的是( ) ACD A.6月份人均用电量人数最多的一组有40人 B.6月份人均用电量在 内的有30人 C.6月份人均用电量不低于 的有50人 D.在这100位居民中用比例分配的分层随机抽 样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用 电量在 一组的人数为3 题型四、频率分布直方图综合应用 题型剖析 【解析】根据频率分布直方图知，6月份人均用电量人数最多的一组是 ，有 （人），故A正确； 6月份人均用电量在内的人数为 ，故B错误； 6月份人均用电量不低于的频率是 ，有 （人），故C正确； 用电量在内的有 （人），所以在这100位居民中用比例 分配的分层随机抽样方法抽取10位居民协助收费，抽到的居民用电量在 一组 的人数为，故D正确．故选 . 题型四、频率分布直方图综合应用 题型剖析 2.［多选题］ (2025·四川省成都市月考)某保险公司 为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全 保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险;戊，重大疾 病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保 险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如图 （1）（2）（3）所示的统计图例： 用该样本估计总体，以下四个选项中正确的是 ( ) AC A.54周岁及以上参保人数最少 B. 周岁人群参保总费用最少 C.丁险种更受参保人青睐 D.30周岁及以上的人群约占参保人群 题型四、频率分布直方图综合应用 变式训练 【解析】由扇形图可得，54周岁及以上参保人数最少，故A正确; 30周岁及以上的人群约占参保人群的 ，故D错误； 由折线图可知， 周岁人群人均参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少 的，故其总费不一定最少，故B错误； 由条形图可知，丁险种参保比例最高，故C正确. 故选 ． 题型四、频率分布直方图综合应用 变式训练 题型五、数字特征的计算及应用 (2025·湖南省长沙市雅礼教育集团月考)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次 骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是( ) C A.甲同学：中位数为3，极差为2 B.乙同学：平均数为3，众数为4 C.丙同学：25百分位数为3，众数为5 D.丁同学：平均数为3，中位数为4 【解析】对A，若出现6，且极差为2，则最小数为4，则中位数不可能为3，故A错误； 对B，因为平均数为3，所以5个数总和为15，若要出现6，且众数为4， ，则剩余2个数之和为1，显然不可能，故B错误； 对C，因为 ，大于1.25的比邻整数为2，则可取5次点数为1,3,5,5,6，满 足题意，故C正确； 对D，平均数为3，所以5个数总和为15，若要出现6，且中位数为4，则剩余3个数之 和为5，则剩余3个数都比4小，那么中位数不可能是4，矛盾，故D错误. 题型剖析 1.［多选题］某校对高一学生进行了体能测试，在该校高一年级随机选取了两个班， 记这两个班分别为甲班、乙班,并在这两个班各随机抽取10名学生的体能成绩 （单位：分，满分100分）作为样本进行分析．如表是两个班被随机选出的学生的体 能分数统计表，则下列说法错误的是( ) 甲 75 79 82 84 86 87 90 91 93 98 乙 73 81 81 83 87 88 95 96 97 99 ABC A.甲、乙两个班的体能分数的极差相等 B.甲、乙两个班的体能分数的平均数相等 C.乙班的体能分数的众数为87 D.甲、乙两个班体能分数的中位数中，乙班的中位数较大 题型五、数字特征的计算及应用 题型剖析 【解析】对于A，甲班体能分数的极差为 ，乙班体能分数的极差为 ，故甲班体能分数和乙班体能分数的极差不相等，故A错误； 对于B，甲班体能分数的平均数为 ,乙班体能分数的平 均数为 ， 甲、乙两个班的体能分数的平均数不相等，故B错误； 对于C，乙班的体能分数的众数为81，故C错误； 对于D，甲、乙两个班体能分数的中位数分别为， ， 甲、乙两个班体能分数的中位数中，乙班的中位数较大，故D正确． 题型五、数字特征的计算及应用 题型剖析 一组数据中的每一个数据都乘2，再都减80，得一组新数据，若求得新数据的 平均数是，方差是 ，则原来数据的平均数和方差分别是( ) A A., B., C., D., 思路点拨 设出原来的数据，根据平均数、方差的定义列式，注意对比变化前后的 数据的列式；也可以根据平均数、方差的性质求解. 题型五、数字特征的计算及应用 题型剖析 【解析】设原来的数据为,,, ，,则新数据为, , , , , 所以新数据的平均数为 ， 即 ，则原来数据的平均数为 .新数据的方差为 , 即 , 则原来数据的方差为 . 题型五、数字特征的计算及应用 题型剖析 (2025·山东省济南市平阴县实验高级中学段考)某次趣味运动会，设置了教师足球 射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和 方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的 平均值为2，则女教师进球数的方差为( ) B A.15 B.16 C.17 D.18 【解析】设参加射门比赛的男教师人数为 ，则全部参赛教师进球数的平均数为 ，解得 ，即参赛的男女教师各有30人.设女教师进球数的方差 为，依题意可得，解得 . 题型五、数字特征的计算及应用 变式训练 题型六、频率分布直方图中数字特征 某年级举办了一场百米测试，该年级120名学生在此次 测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分 成5组：，， .得到 如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个 小矩形的面积之比为1 ，那么成绩的70百分位数 约为_____. 【解析】设成绩的70百分位数为 ， 因为，，所以 ，则由 ,得 ， 故成绩的70百分位数约为16.5． 16.5 题型剖析 (2023·全国甲卷节选)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白 鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲 养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白 鼠体重的增加量（单位： ）.试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5 题型六、频率分布直方图中数字特征 题型剖析 （1）计算试验组的平均数； 【解析】试验组的平均数为 . （2）求40只小白鼠体重的增加量的中位数. 【解析】将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个 和第21个数据分别为23.2和 ，则40只小白鼠体重的增加量的中位数为 . 题型六、频率分布直方图中数字特征 题型剖析 (2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻， 得到各块稻田的亩产量（单位: ）并整理得下表: 亩产量 频数 6 12 18 亩产量 频数 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是( ) C A.100块稻田亩产量的中位数小于 B.100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过 C.100块稻田亩产量的极差介于至 之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于至 之间 题型六、频率分布直方图中数字特征 题型剖析 【解析】对于A,根据频数分布表可知, ,所以亩产量的中位数不 小于 ,A错误； 对于B，亩产量不低于的频数为，所以低于 的稻田占 比为 ，B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为 ， C正确； 对于D，由频数分布表可得，亩产量的平均值为 ， D错误.（【另解】由表知，亩产量小于1 000的数据远少于大于1 000的数据，所以 100块稻田亩产量的平均值大于 ，所以D不正确） 题型六、频率分布直方图中数字特征 题型剖析 变式探源(全国甲卷)为了解某地农村经济情况， 对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户 家庭年收入的调查数据整理得到如图14.4-7所示 的频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( ) C A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为 B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为 C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 题型六、频率分布直方图中数字特征 题型剖析 【解析】对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5万元的农户比率约 为 ，故A结论正确； 对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低于10.5万元的农户比率约为 ，故B结论正确； 对于C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为 （万元），故C结论错误；（由于C选项计算量较大，可以先计算D选项，使用排除 法做题） 对于D,根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率 约为 ，故D结论正确. 题型六、频率分布直方图中数字特征 题型剖析 1.以下问题不适合用普查的是( ) C A.调查某班学生每周课前预习的时间 B.调查某中学在职教师的身体健康状况 C.调查全国中小学生课外阅读情况 D.调查某校篮球队员的身高 【解析】对于A，调查某班学生每周课前预习的时间，总体个数较少，适合用普查； 对于B，调查某中学在职教师的身体健康状况，总体个数较少，适合用普查；对于C， 调查全国中小学生课外阅读情况，总体个数多，不适合用普查；对于D，调查某校 篮球队员的身高，总体个数较少，适合用普查．故选C． 针对训练 2.下列抽样中，适合用抽签法的是( ) B A.从某厂生产的3 000件产品中随机抽取600件产品进行质量检验 B.从某厂生产的2箱（每箱15件）产品中随机抽取6件产品进行质量检验 C.从某厂生产的3 000件产品中随机抽取10件产品进行质量检验 D.从某厂生产的100箱（每箱15件）产品中随机抽取6件产品进行质量检验 【解析】A,C,D中总体容量都较大，不适合用抽签法，故选B. 针对训练 3.总体由编号为01，02，03， ，50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个 体，下面提供随机数表的第5行到第7行： 9312 4779 5737 8918 4550 3994 5573 9229 6111 6098 4965 7350 9847 3030 9837 3770 2310 4476 9146 0679 2662 2062 0522 9234 若从表中第6行第6列开始向右依次读取，则抽取的第3个个体的编号是( ) B A.09 B.03 C.35 D.37 【解析】利用随机数表从第6行第6列开始向右读取，依次为09，84（去除），96 （去除），57（去除），35，09（重复，去除），84（去除），73（去除），03， 所以抽取的第3个个体的编号是03． 针对训练 4.(2025·福建省福州市期末)某校高一年级共有10个班，编号为 ，现用抽签法从 中抽取3个班进行调查，每次抽取一个号码，共抽3次，设高一（5）班第一次被抽到 的可能性为,第二次被抽到的可能性为 ，则( ) D A., B., C., D. , 【解析】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽 到，故高一（5）班在每次抽取中被抽到的可能性都是 . 针对训练 5.(2025·天津市西青区当城中学期初)某班的全体学生参加 英语测试，成绩的频率分布直方图如图14.3-1，数据的分 组依次为［20，40），［40，60），［60，80）， .若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是 ( ) B A.45 B.50 C.55 D.60 【解析】成绩在和内的频率分别是, , 则低于60分的频率是0.3. 设该班学生的总人数为，则,故 . 针对训练 6.某班组织了针对全班学生关于“你最喜欢的一项体育活动” 的问卷调查后，绘制出频数直方图（如图14.3-2所示）， 由图可知，下列结论正确的是( ) C A.最喜欢篮球的人数最多 B.最喜欢羽毛球的人数是最喜欢乒乓球人数的两倍 C.全班共有50名学生 D.最喜欢田径的人数占总人数的 针对训练 【解析】由题图知，最喜欢足球的人数是20，人数最多，故选项A错误； 最喜欢羽毛球的人数是8，最喜欢乒乓球的人数是6， ，故选项B错误； 全班学生总人数为 ，故选项C正确； 最喜欢田径的人数是4，占总人数的百分比为 ，故选项D错误． 针对训练 7.(2025·湖北省武汉市月考)为了解某校学生的视力情况,随机 抽查了该校的100名学生,得到如图所示的频率分布直 方图.由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数和为40, 后6组的频数和为87.设最大频率为 ,视力在4.5到5.2之间的学 生人数为,则， 的值分别为( ) A A.，96 B.，83 C.，78 D. ，83 【解析】由频率分布直方图知组距为0.1.由前4组的频数和为40,后6组的频数和为87， 知第 4组的频数为 ，即视力在4.6到4.7之间的频数最大，为27,故 最大频率.视力在4.5到5.2之间的频率为 ,故视力在4.5 到5.2之间的学生人数 . 针对训练 8.(2025·浙江省宁波市九校期末)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评 定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7 个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ) A A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 【解析】设9位评委的评分按从小到大排列为，，，， ，， .则原始中 位数为,去掉最低分,最高分后剩余，，， ，,中位数仍为 ,故A正确； 平均数受极端值影响较大,故前后平均数不一定相同,B不正确,而方差与平均数相关，因 此C也不正确；原极差,后来极差 ,所以极差可能变小,D不正确. 针对训练 9.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 至 之间,频率分布直方图如图所示. （1）频率分布直方图中 _________; （2）在这些用户中，用电量落在区间 内的户数为____. 针对训练 （1）频率分布直方图中 _________; 【解析】根据频率和为1，得 ,解得 . （2）在这些用户中，用电量落在区间 内的户数为____. 70 【解析】根据频率分布直方图知，用电量落在区间 内的频率为 ，故用电量落在区间 内的户数为 . 针对训练 14.用分层抽样的方法从某校高一年级学生的 数学期末成绩（满分为100分，成绩都是整数） 中抽取一个容量为100的样本，其中男生成绩 数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男 生成绩样本数据分为 ， ，， 组，绘 制得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计男生成绩样本数据的80百分位数； 【解析】由频率分布直方图可知，在内的成绩占比为，在 内的 成绩占比为，因此80百分位数一定位于 内． 因为 ,所以估计男生成绩样本数据的80百分位数为84． 针对训练 （2）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和 ，女生成绩样本数据 的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差． 【解析】设男生成绩样本数据的平均数为，方差为 ，女生成绩样本数据的平均数 为，方差为,并设总样本的平均数为，方差为 ． 则 . . 所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148. 针对训练 本章介绍了获取数据的常用方法，并通过实例，研究了如何利用样本对总体的分布规律、集中趋势、离散程度等特性进行估计和预测。要准确估计总体，必须合理地选择样本，我们学习的是最常用的两种抽样方法．获取样本数据后，将其用频率分布表、频率分布直方图表示后，蕴含于数据之中的规律就会得到直观的揭示． 课堂总结 感谢聆听! $