精品解析：贵州省松桃民族中学2025--2026学年高二下学期3月月考数学试题

2026年3月高二年级月考数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，则复数的虚部可知. 【详解】因为，所以的虚部为， 故选：A. 2. 设全集{是10以内的质数}，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，根据补集概念求出答案. 【详解】因为，所以． 故选：A 3. 已知双曲线的焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由已知可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知，，则，设，则， 所以，故的离心率为. 故选：C. 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得即可求解的方程，再由即可得解. 【详解】由点是函数图象的一个对称中心得， 则，又，所以当时，取得最小值为. 故选：A． 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用函数的对称性，得在区间上单调递增，再由二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以关于点中心对称， 又在上单调递增，则在区间上也单调递增， 又当时，（），对称轴， 当时，的图象开口向下，且， 此时在区间上单调递减，不合题意， 所以，解得，所以实数的取值范围是， 所以的最小值为1. 7. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 8. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用导数求得，根据题意可得，设，利用导数求得的最大值，分析即可得. 详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 由题意，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】由导函数图象和极值的定义逐项判断. 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， ，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 10. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点的坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得抛物线的焦点的坐标，求得的值即可判断A；联立直线与抛物线由韦达定理求得，再根据焦点弦公式可求得即可判断B；过点作准线的垂线，垂足为，先求得，再利用抛物线的定义结合“三角形两边之和大于第三边”得周长即可判断C；设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义结合相似三角形知识得到，从而得到即可判断D. 【详解】A选项，直线与轴的交点为，所以焦点为，所以，所以A选项正确； B选项，当时，联立得，所以B选项错误； C选项，因为，，所以，过点作准线的垂线，垂足为，三角形周长为，所以C选项正确； D选项，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，， 根据三角形相似得，所以， 所以直线的倾斜角为，则．所以D选项正确. 故选：ACD. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 角A的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用二倍角公式及余弦定理化简可得，对于B，利用余弦定理，结合基本不等式求出的范围即可；对于C，根据，可得，结合，再建立不等式求解；对于D，根据积化和差，先化简，再代入利用正弦定理结合基本不等式求最值即可． 【详解】， 由正弦定理得， 即， ，故A错误； ， ，，故B正确； 由，则，令, 又，即， ，即， 解得，又， ； 同理，即， ，即， 解得（舍去）或， 综上，，故 所以， 故C正确； ， ，当时取等， 即的最大值为，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 曲线与直线相切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】 先求的导函数，根据切线的斜率等于切点处的导数值，求得切点坐标，代入切线方程，求得的值. 【详解】∵，∴,切线的斜率为, 设切点P(x0,y0), 令，解得,代入函数解析表达式得, ∴切点坐标为代入切线方程中得到,解得, 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的运算和导数的几何意义，关键是掌握函数在某点处的导数的几何意义是该点处切线的斜率，切点坐标,切线的斜率为,则满足：. 13. 已知等比数列的各项均为正数，且前3项和为84，，则___________． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，讨论是否符合，从而利用前项和公式与通项公式列方程求解的值，从而得的值. 【详解】设等比数列的公比为，由于，所以， 若，则，与题意矛盾，所以， 则，解得， 所以． 故答案为：. 14. 已知函数，若在上单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导知在上单调递减，由此可知在上恒成立，则，令，则．设，转化为求的最小值即可求出答案. 【详解】对求导，得． ∵在上单调递减，∴在上恒成立， 即在上恒成立． 令，则．设，则， ∴当时，；当时，， ∴当时，取得最小值，∴． 故答案为： 四、解答题（第15题13分，第16、17题每小题15分，第18、19题每小题17分） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 16. 已知数列的首项，的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可证明； （2）对进行求导，再利用错位相减法即可求出. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又，即， 所以数列是公比和首项均为2的等比数列. 【小问2详解】 由（1），所以， 所以， 所以， 设 所以， 所以， 所以， 又，所以. 17. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）方法一：先证平面CMD,得,再证，由线面垂直的判定定理可得DM⊥平面BMC，即可根据面面垂直的判定定理证出； （2）方法一：先建立空间直角坐标系，然后判断出的位置，求出平面和平面的法向量，进而求得平面与平面所成二面角的正弦值． 【详解】（1）［方法一］：【最优解】判定定理 由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM. 又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC. ［方法二］：判定定理 由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为，平面ABCD,所以平面，而平面，所以，因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以DM⊥CM.又，所以，平面，而平面，所以平面平面． ［方法三］：向量法 建立直角坐标系，如图2，设， 所以， 设平面的一个法向量为，所以，即， 取平面的一个法向量， 同理可得，平面的一个法向量，因为点在以为圆心，半径为的圆上，所以，，即，而，所以平面平面． （2）［方法一］：通性通法】向量法 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz. 当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点. 由题设得， 设是平面MAB的法向量,则 即，可取. 是平面MCD的一个法向量,因此，， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是. ［方法二］：几何法（作平行线找公共棱） 如图3，当点M与圆心O连线时，三棱锥体积最大．过点M作，易证为所求二面角的平面角．在中，，即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是． ［方法三］：【最优解】面积射影法 设平面与平面所成二面角的平面角为． 由题可得在平面上的射影图形正好是． 取和的中点分别为N和O，则可得，，所以由射影面积公式有，所以，即面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是． ［方法四］：定义法 如图4，可知平面与平面的交线l过点M，可以证明．分别取的中点O，E，联结，可证得直线平面，于是平面，所以，故是面与面所成二面角的平面角． 在中，，则，所以，即面与面所成二面角的正弦值为． 【整体点评】（1）方法一：利用面面垂直的判定定理寻找合适的线面垂直即可证出，是本题的最优解； 方法二：同方法一，只不过找的线面垂直不一样； 方法三：利用向量法，计算两个平面的法向量垂直即可，思路简单，运算较繁． （2）方法一：直接利用向量法解决无棱二面角问题，是该类型题的通性通法； 方法二：作平行线找公共棱，从而利用二面角定义找到二面角的平面角，是传统解决无棱二面角问题的方式； 方法三：面积射影法也是传统解决无棱二面角问题的方式，是本题的最优解； 方法四：同方法二，通过找到二面角的公共棱，再利用定义找到平面角，即可解出． 18. 已知椭圆的离心率为，短半轴的长为2. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，上顶点为，与直线平行的直线与椭圆相切，切点为，且切点在第二象限. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求三角形的面积. 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立的方程，求解即可； （2）先求得FA的斜率，根据平行可得切线斜率，设其方程，利用即可求解切线方程；求出切点坐标，根据点线距离求得高，两点距离求得，从而根据三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 且 又，以上二式联立, 解得， 椭圆的方程. 【小问2详解】 （ⅰ）由 (1)得，点F，A的坐标分别为，， 直线FA的斜率为， 直线FA与直线平行， 直线的斜率为2 ，设直线的方程为， 与联立消去，得， 直线与椭圆相切， ，解得 因为与直线平行的直线与椭圆相切的切点在第二象限， 所以， 所以直线的方程为. （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，方程为，即， 解得，此时，即， 而直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 又， 所以三角形的面积. . 19. 已知函数． （1）当时，证明函数在单调递增； （2）若函数在有极值，求实数a的取值范围； （3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1个 【解析】 【分析】（1）求导通过，即可求证； （2）由题意可得在有变号的根，再由的单调性，结合零点存在性定理构造不等式求解即可； （3）由切线方程求得，再通过函数的单调性即可求解； 【小问1详解】 当时，由，可得， 因，则，又因为，则， 所以函数在单调递增； 【小问2详解】 ， 因为函数在有极值，所以在有变号的根， 又因为在单调递增，则， 即，所以，解得， 故实数a的取值范围为； 【小问3详解】 因为函数在点处的切线方程为， 所以，且， 解得． 故则， 当时，，即在单调递增， 因，所以在没有零点； 当时，，即在没有零点． 综上所述，函数的零点个数为1个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月高二年级月考数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 设全集{是10以内的质数}，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线焦距与其虚轴长之比为3：2，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为奇函数，当时，，若在上单调递增，则的最小值是（ ） A B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在内是增函数 B. 在内是减函数 C. 在时取得极大值 D. 当时取得极小值 10. 抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，其中点在第一象限，则（ ） A. B. 当时， C. 若点坐标为，则周长的最小值为8 D. 当时， 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. 角A取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线与直线相切，则______. 13. 已知等比数列的各项均为正数，且前3项和为84，，则___________． 14. 已知函数，若在上单调递减，则a的取值范围是______． 四、解答题（第15题13分，第16、17题每小题15分，第18、19题每小题17分） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 16. 已知数列的首项，的前项和为，且. （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数. 17. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点． （1）证明：平面平面； （2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角正弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，短半轴的长为2. （1）求椭圆的方程； （2）若椭圆的左焦点为，上顶点为，与直线平行的直线与椭圆相切，切点为，且切点在第二象限. （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）求三角形的面积. 19. 已知函数． （1）当时，证明函数在单调递增； （2）若函数在有极值，求实数a的取值范围； （3）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $