河北省保定市高碑店市2026年中考数学模拟预测试卷

2026年河北省保定市高碑店市中考数学模拟预测试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1．（3分）若m＜0，mn＞0，则点（m，n）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（3分）若m与n互为相反数，则2（m+n）﹣3＝（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1 3．（3分）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断BO是△ABC的（　　） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 4．（3分）2025年，全年全国粮食总产量约为71500万吨，比上年增长1.2%．将71500万用科学记数法表示为（　　） A．7.15×106 B．71.5×107 C．7.15×108 D．0.715×109 5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 6．（3分）能使不等式3x+1≥﹣x﹣3成立的负整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（　　） A．6x﹣y＝2 B．2x﹣y＝0 C．2x﹣3y＝0 D．3x﹣3y＝2 8．（3分）如图，已知△ABC的面积是12，AC＝6，点D是AC上的动点，点E是AB的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则AF的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（3分）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费360元，第三次花费480元，第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（　　） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是10元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了2个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 10．（3分）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形ABCDE边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（　　） A． B． C． D． 11．（3分）嘉嘉在解关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）时，不小心将一次项系数写成了﹣b，解出其中一个根是x＝1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是﹣1； 乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 12．（3分）如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，AB＝a，BC＝b．点E是AB边上一点（不含端点及中点），连接EO并延长，交CD边于点F．将矩形ABCD沿EF折叠，点A，D的对应点分别是点A'，D'，直线A'D'和直线BC相交于点H，连接EH，OH，FH，嘉嘉得出一个正确的结论：OH上EF，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（　　） A．EH＝FH B．当点A'和点C不重合时，△A'EH≌△CFH C．tan∠EHO D．当A'在直线AB上方时，点A'到直线AB距离的最大值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）计算：2　 　 ． 14．（3分）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角α为60°，且点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值为　 　 ． 15．（3分）如图，▱OABC的边OC在x轴上，连接AC，点D是AC的中点，反比例函数y的图象经过A和D两点．若▱OABC的面积为24，则k的值为　 　 ． 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与BC边交于点E，在正方形ABCD内的圆弧上取一点F，使得，连接并延长EF和AB边交于点G，则EG﹣AG的值为　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是1﹣2x． （1）当x＝﹣2时，求线段AB的长； （2）若点A在点B的右侧，求符合要求的x的最小整数值． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣7＝0． （1）当m＝9时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当m＝9时，x2+6x﹣7＝0．…第一步 移项，得x2+6x＝﹣7，…第二步 配方，得x2+6x+32＝﹣7+32，即（x+3）2＝2，…第三步 由此可得，x+3＝±，…第四步 ∴，．…第五步 请指出嘉嘉在第　 　 步出现了错误，并写出正确的解答过程； （2）若方程的两个实数根分别是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝20，求m的值． 19．（8分）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 90＜x≤100 18 B 80＜x≤90 m C 70＜x≤80 68 D 60＜x≤70 30 （1）本次调查共抽取了　 　 名学生； （2）求表中m的值和扇形统计图中x的值； （3）若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； （4）已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：60＜x≤70）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 20．（8分）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α＝22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC＝6米． （1）求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； （2）求松树EF的高度． （参考数据：tan22.，cos22.， 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（2，5）和B（4，1），直线l：y＝kx+2﹣k（k≠0）恒过定点D． （1）求定点D的坐标； （2）当直线l和线段AB有交点时，求k的取值范围； （3）若直线l和线段AB所在直线交于点C，点C的横坐标为m，请用含k的代数式表示m，并求出当m是正整数时，整数k的所有值． 22．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D和点E分别在AB和AC边上（不与端点重合），且AD＝AE，延长DE和射线BC交于点F，作DG⊥DF，与BC边交于点G，作△FDG的外接圆⊙O在BF上方的部分，连接OD． （1）若∠OFD＝30°，OD＝2，求的长． （2）求证：AB是⊙O的切线． （3）若AC＝3，BC＝4，直接写出tan∠DFG的值． 23．（11分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当﹣4≤x≤2时，y的取值范围是． （1）求抛物线的解析式． （2）求k的值． （3）将抛物线在﹣4≤x≤2之间的函数图象记作C1，将C1在直线y＝t下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作C2．设C2的最高点和最低点的纵坐标分别为y1和y2，若y1﹣y2≤10，求t的取值范围． 24．（12分）数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形ABC的边长为a，则S△ABC＝　 　 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E和点F分别在CD边和BC边上，∠EAF＝60°，连接EF，求△AEF面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD为BC边上的高，AD＝m（m为定值），求△ABC面积的最小值（用含m的代数式表示）． 2026年河北省保定市高碑店市中考数学模拟预测试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A C． B A A B D D C 题号 12 答案 D 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1．（3分）若m＜0，mn＞0，则点（m，n）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据有理数乘法的符号法则判断n的正负，再根据平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，判断点所在象限． 【解答】解：∵m＜0，mn＞0， ∴n＜0， ∴点（m，n）在第三象限． 故选：C． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 2．（3分）若m与n互为相反数，则2（m+n）﹣3＝（　　） A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【分析】根据互为相反数的两数和为0，整体代入计算即可得到结果． 【解答】解：由题意得，m+n＝0， ∴2（m+n）﹣3＝2×0﹣3＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 3．（3分）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断BO是△ABC的（　　） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可． 【解答】解：由作图的痕迹可知：点O是线段AC的中点， ∴线段BO是△ABC的中线， 故选：A． 【点评】本题主要考查了作图—复杂作图，三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 4．（3分）2025年，全年全国粮食总产量约为71500万吨，比上年增长1.2%．将71500万用科学记数法表示为（　　） A．7.15×106 B．71.5×107 C．7.15×108 D．0.715×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：71500万＝715000000＝7.15×108． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，进行判断即可． 【解答】解：根据题意可知，移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变， 故可移走②号小正方体． 故选：B． 【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键． 6．（3分）能使不等式3x+1≥﹣x﹣3成立的负整数解的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先求出不等式的解集，再找出其负整数解即可． 【解答】解：3x+1≥﹣x﹣3， 移项得，3x+x≥﹣3﹣1， 合并同类项得，4x≥﹣4， x的系数化为1得，x≥﹣1， ∴满足条件的负整数只有﹣1，共1个． 故选：A． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 7．（3分）若x，y都是正整数，且满足，则x与y的关系是（　　） A．6x﹣y＝2 B．2x﹣y＝0 C．2x﹣3y＝0 D．3x﹣3y＝2 【分析】根据同底数幂的乘法的运算进行计算即可． 【解答】解：根据同底数幂的乘法的运算可知： ， ∴6x＝y+2， ∴6x﹣y＝2． 故选：A． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键． 8．（3分）如图，已知△ABC的面积是12，AC＝6，点D是AC上的动点，点E是AB的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则AF的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】连接EF、DE、BF，由中心对称的定义得出EF＝ED，且点F、E、D在同一直线上，从而可得四边形ADBF为平行四边形，由平行四边形的性质可得AF＝BD，最后由垂线段最短并结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【解答】解：已知△ABC的面积是12，AC＝6，点D是AC上的动点，点E是AB的中点，点F和点D关于点E成中心对称，则： 如图，连接EF、DE、BF， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE， ∵点F和点D关于点E成中心对称， ∴EF＝ED，且点F、E、D在同一直线上， ∴四边形ADBF为平行四边形， ∴AF＝BD， ∵△ABC的面积是12，AC＝6，点D是AC上的动点， ∴由垂线段最短可得，当BD⊥AC时，BD的长度最小，且此时， ∴BD＝4， ∴AF的最小值为4． 故选：B． 【点评】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 9．（3分）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费360元，第三次花费480元，第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（　　） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是10元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了2个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【解答】解：∵分式方程中，360是第二次购买的总价，480是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为x﹣1，第三次购买的单价为x+2， ∵第二次购买的单价比第一次少1元，第三次购买的单价比第一次多2元， ∴x表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； 分式方程去分母可得： 360（x+2）＝480（x﹣1）， 360x+720＝480x﹣480， 120x＝1200， 解得x＝10， ∴第一次购买节能灯的单价是10元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为10﹣1＝9元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，40﹣38＝2个， ∴第二次购买数量比第一次多2个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为y个， ∵第二次和第三次购买数量相同， ∴第三次购买数量也为y个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多2元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 10．（3分）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形ABCDE边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意列出表格，然后找出符合题意的情况，利用概率公式法求解即可． 【解答】解：根据题意列表求和如下： 1 2 4 1 2 3 5 2 3 4 6 4 5 6 8 ∵点P经过两次运动后到达点D， ∴点P两次运动的数字和为3或8， 由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种， ∴点P经过两次运动后到达点D的概率是， 故选：D． 【点评】本题主要考查了概率公式，理解题意，熟练掌握列表法和概率公式是关键． 11．（3分）嘉嘉在解关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）时，不小心将一次项系数写成了﹣b，解出其中一个根是x＝1，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是﹣1； 乙：当a≠3时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（　　） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【解答】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为ax2﹣bx+3＝0（a≠0）， 将x＝1代入得a×12﹣b×1+3＝0， a﹣b+3＝0， 解得b＝a+3， 甲：∵原方程为ax2+bx+3＝0， 将x＝﹣1代入原方程得a×（﹣1）2+b×（﹣1）+3＝0， a﹣b+3＝0， 解得b＝a+3， ∴x＝﹣1是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，Δ＝b2﹣4•a•3＝b2﹣12a， Δ＝（a+3）2﹣12a ＝a2+6a+9﹣12a ＝（a﹣3）2， 当a≠3时，（a﹣3）2＞0，即Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 故选：C． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 12．（3分）如图，点O为矩形ABCD对角线的交点，AB＝a，BC＝b．点E是AB边上一点（不含端点及中点），连接EO并延长，交CD边于点F．将矩形ABCD沿EF折叠，点A，D的对应点分别是点A'，D'，直线A'D'和直线BC相交于点H，连接EH，OH，FH，嘉嘉得出一个正确的结论：OH上EF，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（　　） A．EH＝FH B．当点A'和点C不重合时，△A'EH≌△CFH C．tan∠EHO D．当A'在直线AB上方时，点A'到直线AB距离的最大值为 【分析】由矩形的性质可得OE＝OF，结合题意得出OH垂直平分EF，即可判断A；连接AC，先证明△AOE≌△COF（ASA），得出AE＝CF，由折叠的性质可得A′E＝AE，∠A′＝∠DAB＝90°，从而可得∠A′＝∠FCH＝90°，A′E＝CF，即可判断B；连接BD，证明点E、O、H、B四点共圆，得出∠EBO＝∠EHO，从而可得∠OAB＝∠EHO，最后由正切的定义计算即可判断C；连接OA′，则点A′在以点O为圆心，OA为半径的圆弧上，求出，由图形并结合垂径定理可得，当OA′⊥AB时，此时点A′距离AB最远，即可判断D． 【解答】解：∵点O为矩形ABCD对角线的交点， ∴OE＝OF， ∵OH⊥EF， ∴OH垂直平分EF， ∴EH＝FH， 故A选项正确，不符合题意； 如图1：点O为矩形ABCD对角线的交点，连接AC， ∴AO＝CO，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD＝∠ABC＝90°， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE＝CF， 由折叠的性质可得：A′E＝AE，∠A′＝∠DAB＝90°， ∴∠A′＝∠FCH＝90°，A′E＝CF， ∵EH＝FH， ∴△A′EH≌△CFH（HL）， 故B选项正确，不符合题意； 如图2，点O为矩形ABCD对角线的交点，连接BD， ∴AO＝BO， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵OH⊥EF， ∴∠EOH＝90°， ∵∠EOH+∠EBH＝180°， ∴点E、O、H、B四点共圆， ∴∠EBO＝∠EHO， ∴∠OAB＝∠EHO， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 如图3，连接OA′， 由折叠的性质可得：OA＝OA′， ∴点A′在以点O为圆心，OA为半径的圆弧上， ∵， ∴， 由图形并结合垂径定理可得，当OA′⊥AB时，此时点A′距离AB最远，此时最大距离为， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定，矩形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）计算：2　3　 ． 【分析】直接合并二次根式的系数得出答案． 【解答】解：23． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键． 14．（3分）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角α为60°，且点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值为　　 ． 【分析】连接AC，设BC交格点于点D，连接AD，由题意可得AC＝AB，D为BC的中点，从而可得∠ADB＝90°，设菱形的边长为a，由题意可得AD＝3a，，再求得AB，即可求得sin∠ABC的值． 【解答】解：如图，连接AC，设BC交格点于点D，连接AD， 由题意可得D为BC的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴AF＝AE，∠F＝∠E，CF＝BE， 在△AFC和△AEB中， ， ∴△AFC≌△AEB（SAS）， ∴AC＝AB， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， 设小菱形的边长为a，取格点G，H，连接GH交BD于点O，则GD＝a，GH⊥BD， 由题意得∠GDH＝60°， ∴△GDH是等边三角形， ∴GH＝GD＝a， ∴， 在直角三角形DOG中，由勾股定理得：， ∴AD＝3GH＝3a，， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 15．（3分）如图，▱OABC的边OC在x轴上，连接AC，点D是AC的中点，反比例函数y的图象经过A和D两点．若▱OABC的面积为24，则k的值为　8　 ． 【分析】设点、C（n，0），由平行四边形OABC的性质得，再由D是AC中点，得．将D代入反比例函数，化简得n＝3m．结合平行四边形面积，代入n＝3m后，进而求解即可． 【解答】解：设点A的坐标为，点C的坐标为（n，0）， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC且AB＝OC， ∴点B的坐标为． ∵点D是AC的中点， ∴点D的坐标为，即， ∵点D在反比例函数上， ∴， ∵k＞0， ∴， m+n＝4m， 解得n＝3m， ∵平行四边形OABC的面积＝底OC×高（A点的纵坐标）， ∴， 将n＝3m代入得，， 3k＝24， 解得k＝8， 故答案为：8． 【点评】本题以平行四边形与反比例函数为载体，通过设点坐标，利用平行四边形性质、中点坐标公式建立点D的坐标，再结合反比例函数解析式与平行四边形面积公式，将几何问题转化为代数方程求解． 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点O在正方形的内部，以O为圆心，2为半径的圆经过点D和C，与BC边交于点E，在正方形ABCD内的圆弧上取一点F，使得，连接并延长EF和AB边交于点G，则EG﹣AG的值为　2　 ． 【分析】首先，根据题意作出辅助线，然后，根据已知数据得出，∠ODH＝30°，．接着，可证得△OCE，△EOF是等边三角形，再根据在Rt△BEG中，，得出，，，最后，得出EG﹣AG＝2即可． 【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为2，连接OC，OD，OE，OF，过O作OH⊥CD于H，则OC＝OD， ∴，∠BCD＝∠B＝90°， ∵点C，D在⊙O上，半径为2，OH⊥CD， ∴， ∴， ∴∠ODH＝30°， ∴∠CED＝60°， ∵OC＝OE， ∴△OCE是等边三角形，∠COE＝60°， ∴CE＝OC＝2，． ∵EF＝CE＝OE＝OF， ∴△EOF是等边三角形，∠OEF＝60°， ∴∠BEG＝60°，EF＝2， 在Rt△BEG中，， ∴， ∴，， ∴， ∴EG﹣AG＝2． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）数轴上有A，B两点，点A表示的数是，点B表示的数是1﹣2x． （1）当x＝﹣2时，求线段AB的长； （2）若点A在点B的右侧，求符合要求的x的最小整数值． 【分析】（1）将x＝﹣2代入计算即可； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣2时， 点A表示的数是，点B表示的数是5， ∴AB＝3； （2）由题意知， 解得， ∴x的最小整数值为0． 【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握该知识点是关键． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣7＝0． （1）当m＝9时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当m＝9时，x2+6x﹣7＝0．…第一步 移项，得x2+6x＝﹣7，…第二步 配方，得x2+6x+32＝﹣7+32，即（x+3）2＝2，…第三步 由此可得，x+3＝±，…第四步 ∴，．…第五步 请指出嘉嘉在第　二　 步出现了错误，并写出正确的解答过程； （2）若方程的两个实数根分别是x1和x2，且x1+x2﹣2x1x2＝20，求m的值． 【分析】（1）根据配方法计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【解答】解：（1）在第二步出现了错误；正确的解答过程如下： 当m＝9时，x2+6x﹣7＝0， 移项得x2+6x＝7， 配方得（x+3）2＝16， 由此可得x+3＝±4， ∴x1＝1，x2＝﹣7； 故答案为：二； （2）由题意知，Δ＝（m﹣3）2﹣4×1×（﹣7）＞0， ∵x1+x2＝﹣（m﹣3）＝﹣m+3，x1x2＝﹣7， ∴﹣m+3﹣2×（﹣7）＝20， 解得m＝﹣3， ∴m＝﹣3． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程根的判别式，熟知相关计算方法是解题的关键． 19．（8分）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（大于60分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩/分 人数/人 A 90＜x≤100 18 B 80＜x≤90 m C 70＜x≤80 68 D 60＜x≤70 30 （1）本次调查共抽取了　200　 名学生； （2）求表中m的值和扇形统计图中x的值； （3）若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩大于中位数的概率； （4）已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：60＜x≤70）进行安全教育，请估计该校需要参加安全教育活动的学生人数． 【分析】（1）用C等级人数除以所占百分比即可； （2）用总人数乘以B等级所占百分比可得m，用D等级人数除以总人数可求所占百分比； （3）根据众数、中位数的定义及概率公式求解； （4）利用样本估计总体思想求解． 【解答】解：（1）∵C的认识是68人，占总人数的34%， ∴抽取学生总数为：68÷34%＝200（名）， 故答案为：200； （2）由（1）知，抽取学生总数是200名， ∴m＝200×42%＝84， ∴； （3）∵A组数据中97出现了4次，出现的次数最多， ∴众数为97； A组数据共18个，按从小到大顺序排列后，第9位、第10位分别为96，97， ∴中位数为：； ∴随机从该组数据中抽取一个成绩，该成绩大于中位数的概率为； （4）∵该校共有学生2000人， ∴（名） 答：估计该校需要参加安全教育活动的学生人数为300名． 【点评】本题考查的是概率公式，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，频数分布表，熟知以上知识是解题的关键． 20．（8分）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α＝22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC＝6米． （1）求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； （2）求松树EF的高度． （参考数据：tan22.，cos22.， 【分析】根据坡度的定义求出CD，即可得到BD的长；作辅助线构造直角三角形，根据三角函数的定义求出AM，进而得出BM的长，根据已知条件求出DE，进而得到BN的长，计算BM﹣BN即可得解． 【解答】解：（1）∵后山的坡比为3：4， ∴设DE＝3x，CD＝4x， ∴CE＝5x， 由题可得：CE＝6米， ∴5x＝6， ∴x＝1.2， ∴CD＝4.8米，DE＝3.6米， ∵BC＝6米， ∴（米）． （2）过点F作FM⊥AB，过点E作EN⊥AB， ∴ED＝BN＝3.6米，∠AFM＝α＝22.62°，EF＝MN， ∴MF＝BD＝10.8米， 在Rt△AFM中，， ∴， ∴（米）， ∵AB＝10（米）， ∴MB＝AB＝AM＝10﹣4.5＝5.5（米）， ∴MN＝MB﹣NB＝5.5﹣3.6＝1.9（米）， ∴EF＝1.9（米）． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（2，5）和B（4，1），直线l：y＝kx+2﹣k（k≠0）恒过定点D． （1）求定点D的坐标； （2）当直线l和线段AB有交点时，求k的取值范围； （3）若直线l和线段AB所在直线交于点C，点C的横坐标为m，请用含k的代数式表示m，并求出当m是正整数时，整数k的所有值． 【分析】（1）将函数解析式变形为y＝k（x﹣1）+2，可得当x＝1时，y＝2，不管k取任何不为0的值，均成立，即可得到定点D的坐标； （2）将A（2，5），B（4，1）分别代入直线l，解得k＝3，，即可得到k的取值范围是且k≠0； （3）先利用待定系数法求出线段AB所在直线的函数解析式为y＝﹣2x+9，再由点C是直线l和直线AB的交点，得到﹣2m+9＝km+2﹣k，整理得到，进而推出当m是正整数时，k+2的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 【解答】解：（1）∵y＝kx+2﹣k＝k（x﹣1）+2， 当x＝1时，y＝2，不管k取任何不为0的值，均成立， ∴定点D（1，2）； （2）当直线l经过点A（2，5）时得2k+2﹣k＝5，解得k＝3， 当直线l经过点B（4，1）时，将B（4，1）代入，得4k+2﹣k＝1，解得， ∴且k≠0； （3）设AB所在直线的函数解析式为y＝k1x+k，由条件可得： ，解得， ∴线段AB所在直线的函数解析式为y＝﹣2x+9， ∵点C是直线l和直线AB的交点， ∴﹣2m+9＝km+2﹣k， ∴， 当m是正整数时，k+2的值可以是1，5， ∴整数k的值为﹣1，3． 【点评】本题考查了两条直线相交和平行问题，熟练掌握该知识点是关键． 22．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D和点E分别在AB和AC边上（不与端点重合），且AD＝AE，延长DE和射线BC交于点F，作DG⊥DF，与BC边交于点G，作△FDG的外接圆⊙O在BF上方的部分，连接OD． （1）若∠OFD＝30°，OD＝2，求的长． （2）求证：AB是⊙O的切线． （3）若AC＝3，BC＝4，直接写出tan∠DFG的值． 【分析】（1）根据直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半可解此问； （2）首先，根据∠ACB＝90°，得∠CFE+∠CEF＝90°，再由AD＝AE，∠AED＝∠CEF，得∠CFE+∠ADE＝90°，根据OD＝OF，得∠CFE＝∠ODF，进而∠ODF+∠ADE＝90°＝∠ADO，得出结论； （3）先根据勾股定理求得AB＝5，设⊙O的半径为r，BG＝x，再根据，得，，，接着，证出△BFD∽△BDG，得，即，解得（舍去），可得，最后，得出． 【解答】（1）解：∵DG⊥DF， ∴∠FDG＝90°， ∵OD＝2， ∴FG＝2OD＝4， ∵∠OFD＝30°， ∴； （2）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°． ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE． ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CFE+∠ADE＝90°． ∵OD＝OF， ∴∠CFE＝∠ODF， ∴∠ODF+∠ADE＝90°＝∠ADO， ∴AD⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （3）解：∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴． 设⊙O的半径为r，BG＝x， ∴BF＝FG+BG＝2r+x． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵OD＝OF， ∴∠DFG＝∠ODF． ∵AB是⊙O的切线，DG⊥DF， ∴∠FDG＝∠ODB＝90°， ∴∠ODF+∠ODG＝∠ODG+∠BDG＝90°， ∴∠DFG＝∠ODF＝∠BDG． ∵∠B＝∠B， ∴△BFD∽△BDG， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴BD2＝BF•BG， ∴， ∴， 解得（舍去）． ∴． ∴． 【点评】根据已知条件利用三角函数值及相似三角形的判定与性质证出△BFD∽△BDG，得是解决本题的关键． 23．（11分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当﹣4≤x≤2时，y的取值范围是． （1）求抛物线的解析式． （2）求k的值． （3）将抛物线在﹣4≤x≤2之间的函数图象记作C1，将C1在直线y＝t下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作C2．设C2的最高点和最低点的纵坐标分别为y1和y2，若y1﹣y2≤10，求t的取值范围． 【分析】（1）由函数对称轴为直线x＝1，当﹣4≤x≤2时，y的取值范围是，可得是函数的最小值，即抛物线的顶点为，代入抛物线解析式可求得a，即可得抛物线解析式； （2）由函数对称轴为直线x＝1，可得﹣4≤x≤2时，x＝﹣4时对应的函数值为k，即可求解； （3）依据题意，分M′在直线y＝8上或上方、在直线y＝8下方两种情况分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得：是函数的最小值，即抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）由（1）可知抛物线对称轴为x＝1， ∵﹣4≤x≤2， ∴当x＝﹣4时，y取最大值k， ∴， ∴k的值为8； （3）如图，设图象C1折叠后顶点M的对应点为M′，点H是x＝﹣4图象C1上的点，图象C2为C′M′NH区域， 由（1）可知，由（2）可知H（﹣4，8），即点H在直线y＝8上， ∵点M与点M′关于直线y＝t对称， ∴， 当点M′在直线y＝8上或上方时，C2的最高点为M′，C2的最低点为N， ∴，， 解得； 当点M′在直线y＝8下方时，C2的最高点为H，C2的最低点为N， ∴8﹣t≤10，， 解得； 综上所述，． 【点评】本题考查二次函数与不等式，正确进行计算是解题关键． 24．（12分）数学兴趣小组对三角形面积的最值问题展开了如下探究： 【探究1】 （1）如图1，已知等边三角形ABC的边长为a，则S△ABC＝　　 （用含a的代数式表示）； （2）如图2，菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E和点F分别在CD边和BC边上，∠EAF＝60°，连接EF，求△AEF面积的最小值； 【探究2】 （3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD为BC边上的高，AD＝m（m为定值），求△ABC面积的最小值（用含m的代数式表示）． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一的性质作出BC边上的高，结合勾股定理求出高的长度，再计算面积； （2）连接AC，根据菱形性质证明△ADC为等边三角形，再通过角的等量代换证明△ADE与△ACF全等，得到AE＝AF，结合∠EAF＝60°判定△AEF为等边三角形，将面积最值转化为AE的长度最值，最后依据垂线段最短求出AE的最小值，进而得到△AEF面积的最小值； （3）先通过翻折变换构造正方形AEFG，设BD＝BE＝x、CD＝CG＝y，在Rt△BFC中利用勾股定理建立x、y的关系式，结合完全平方公式的非负性得到关于BC的不等式，求解得到BC的最小值后，求出△ABC面积的最小值即可． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H，如图， ∵△ABC是等边三角形，边长为a， ∴， 在Rt△ABH中，由勾股定理得， ∴， 故答案为： （2）连接AC，如图， ∵四边形ABCD是菱形，边长为6， ∴AD＝CD＝6，AB∥CD， ∵∠D＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴AD＝AC＝6，∠DAC＝∠ACD＝60°， ∵菱形中∠BCD＝180°﹣∠D＝120°， ∴， ∴∠D＝∠ACF＝60°， ∵∠EAF＝60°， ∴∠DAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠DAE＝∠CAF， 在△ADE和△ACF中， ， ∴△ADE≌△ACF（ASA）， ∴AE＝AF， 又∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴由（1）得， 要使△AEF的面积最小，只需使AE的长度最小， 根据垂线段最短，当AE⊥CD时，AE取得最小值， ∵△ADC是等边三角形，AE⊥CD， ∴在Rt△ADE中，由勾股定理得， ∴△AEF面积的最小值为； （3）∵AD为BC边上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 作△ABD关于AB对称的△ABE，作△ACD关于AC对称的△ACG，延长EB，GC交于点F，如图， 则∠EAB＝∠DAB，∠GAC＝∠DAC，AE＝AD＝AG＝m，∠AEB＝∠ADB＝90°，∠AGC＝∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAG＝∠EAB+∠BAC+∠GAC＝2∠BAC＝90°， 又∵∠E＝∠G＝90°， ∴四边形AEFG是矩形， 又∵AE＝AG＝m， ∴正方形边长为m，矩形AEFG是正方形， 设BD＝BE＝x，CD＝CG＝y，则CF＝FG﹣CG＝m﹣y，BC＝x+y，BF＝EF﹣BE＝m﹣x， 在Rt△BFC中，∠F＝90°，由勾股定理得BF2+CF2＝BC2， 即（m﹣x）2+（m﹣y）2＝（x+y）2， 展开化简得xy＝m2﹣m（x+y）， 由完全平方公式的非负性可知（x﹣y）2≥0，变形得（x+y）2≥4xy， ∴（x+y）2≥4m2﹣4m（x+y），即（x+y）2+4m（x+y）﹣4m2≥0， 当（x+y）2+4m（x+y）﹣4m2＝0时， 由求根公式得（舍去）， ∴x+y的最小值为，即BC的最小值为， 根据△ABC的面积， ∴最小值为． 【点评】本题考查四边形综合，勾股定理，等边三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/3 8:29:21；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $