精品解析：江苏省宿迁市泗阳县两校2023-2024学年高二下学期第二次学情调研（5月月考）数学试题

江苏省宿迁市泗阳县两校2023-2024学年高二下学期第二次学情调研（5月月考）数学试题 一、单选题 1. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ） A. 60 B. 80 C. D. 3. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 4. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 5. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ） A. 0.23 B. 0.47 C. 0.53 D. 0.77 8. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 10. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 13. 若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时，______． 14. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________． 四、解答题 15. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 16. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 17. 已知的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项． （1）求的值； （2）求该展开式中的常数项． （3）求其展开式中系数最大的项. 18. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元． （1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列； （2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？ 19. 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望； （2）记n次抛掷得分恰为分的概率为，求的前n项和； （3）投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为，当取最大值时，求n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省宿迁市泗阳县两校2023-2024学年高二下学期第二次学情调研（5月月考）数学试题 一、单选题 1. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 2. 已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ） A. 60 B. 80 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. 【详解】当时，，解得， 则的展开式第项， 令，解得，所以， 故选：B 3. 某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 故选:. 4. 现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ） A. 120 B. 60 C. 30 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 5. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 6. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行把线到面的距离转化为点到面的距离，根据点到面的距离公式可得结果. 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 7. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ） A. 0.23 B. 0.47 C. 0.53 D. 0.77 【答案】D 【解析】 【分析】根据全概率公式进行分析求解即可. 【详解】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%， 记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则，且两两互斥， 所以， 又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%， 记事件为“选到绑带式口罩”，则 所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为. 故选：D. 8. 人工智能领域让贝叶斯公式：站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果. 【详解】记“视频是AI合成”为事件，记“鉴定结果为AI”为事件B， 则， 由贝叶斯公式得：， 故选：C． 二、多选题 9. 下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C. 两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D. 直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【详解】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，则下列描述不正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可判断AC、求导数后结合赋值法可判断D，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【详解】， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 把函数两边同时对求导数，可得， 再令，可得，，可得， 故,故D错误． 故选：ACD． 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A：，， 所以，故A错误； 对于B：，，∴， ，故B正确； 对于C：，，∴，故C正确. 对于D：， ，∴，∴， ∴，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 13. 若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时，______． 【答案】3或4 【解析】 【分析】先求得的表达式，利用列不等式组的方法来求得使取得最大值时的值. 【详解】依题意， 依题意， ， ，， 所以、不是的最大项， 当时，由， 整理得，即， 整理得，， 所以当为3或4时，取得最大值. 故答案为：3或4 14. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________． 【答案】17.8## 【解析】 【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出. 【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布 ， 最大时，即最大， 超几何分布最大项问题，利用比值求最大项 设 则 令 故当时，严格增加， 当时，严格下降， 即时取最大值， 此题中， 根据超几何分布的期望公式可得， 故答案为：17.8 四、解答题 15. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 16. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 17. 已知的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项． （1）求的值； （2）求该展开式中的常数项． （3）求其展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3）1792 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）利用展开式的通项公式，可求常数项； （3）利用展开式的通项公式，可求系数最大的项. 【小问1详解】 因为展开式中只有第五项的二项式系数最大， 所以，展开式共有9项，所以， 解得； 【小问2详解】 通项公式为，， 当时，则，所以展开式的常数项为； 【小问3详解】 因为，， 所以时，系数为负， 所以时，系数是， 可得系数分别为，，，， 所以当时，系数最大，最大的项是. 18. 杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元． （1）甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开．当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用X表示甲购买的次数，求X的分布列； （2）为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？ 【答案】（1） （2）买个 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验概率计算公式、排列组合数的计算公式求得的分布列. （2）根据甲一次性购买的吉祥物盲盒的个数进行分类讨论，通过计算各种情况下的总费用来求得正确答案. 【小问1详解】 由题意可知所有可能取值为， , 所以的分布列如下： 【小问2详解】 设甲一次性购买个吉祥物盲盒，集齐三款吉祥物需要的总费用为. 依题意，可取. 方案1：不购买盲盒时，则需要直接购买三款吉祥物，总费用元. 方案2：购买个盲盒时，则需要直接购买另外两款吉祥物， 总费用元. 方案3：购买个盲盒时， 当个盲盒打开后款式不同，则只需直接购买剩下一款吉祥物， 总费用，， 当个盲盒打开后款式相同，则需要直接购买另外款吉祥物， 总费用， 所以元. 方案4：购买个盲盒时， 当个盲盒打开后款式各不相同，则总费用，， 当个盲盒打开后恰有款相同，则需要直接购买剩下一款吉祥物， 则总费用， 当个盲盒打开后款式全部相同，则需要直接购买另外两款吉祥物， 总费用， 所以元. 对比个方案可知，第个方案总费用的期望值最小， 故应该一次性购买个吉祥物盲盒. 19. 投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为5或6时得2分，掷得的点数为1，2，3，4时得1分，独立地重复掷一枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分． （1）设投掷2次骰子，最终得分为X，求随机变量X的分布列与期望； （2）记n次抛掷得分恰为分的概率为，求的前n项和； （3）投掷骰子100次，记得分恰为n分的概率为，当取最大值时，求n的值． 【答案】（1）分布列见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的取值求出相应的概率即可； （2）由n次抛掷得分恰为分，可得只有1次抛掷得2分，进而利用独立重复实验的概率可得，从而利用错位相减法可求； （3）设得1分的次数为x，则得2分的次数为，因此抛掷100次所得总分为，进而由利用独立重复实验的概率可得，当取最大值时，要满足，从而利用组合数的性质即可求解. 【小问1详解】 得2分的概率为，得1分的概率为. X的可能取值为2，3，4， ，， X的分布列为 X 2 3 4 P 数学期望． 【小问2详解】 因为n次抛掷得分恰为分，则只有1次抛掷得2分， 于是， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以． 【小问3详解】 设得1分的次数为x，则得2分的次数为， 因此抛掷100次所得总分为， 此时， 假定取最大值，必有， 于是，即， 整理得， 解得，而，则，则， 所以当取最大值时，． 【点睛】关键点睛：本题考查了随机变量的分布列和期望，也考查了数列在概率中的相关应用，需要熟练应用独立重复事件的性质、错位相减法与在二项式中求系数最大（小）的项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $