2.2一元一次不等式讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统梳理定义（整式、单未知数、一次、系数非0）、解法步骤（去分母至系数化为1，强调乘除负数变号）、特殊解（整数解等）、与方程综合及实际应用（审设列解验答），构建从基础概念到综合应用的学习支架。 资料通过对比表格明晰与一元一次方程的异同培养数学眼光，设计错解复原题型引导学生分析错误培养推理意识，结合党史知识竞赛等实际问题提升应用意识。课中辅助教师教学，课后助力学生回顾练习，有效查漏补缺。

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第二章 不等式与不等式组 2.2一元一次不等式 知识梳理 知识点1：一元一次不等式的定义 1.定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做 一元一次不等式。 2.标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0(a≠0，a、b为常数)。 3判定关键：同时满足“整式、单未知数、一次、系数非0”四个条件，缺一不可。 知识点2：一元一次不等式的解法 1基本依据：不等式的基本性质（注意：不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向要改变）。 2.一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（步骤可根据不等式特点灵活调整）。 3.解集的数轴表示： 大于(>)、大于等于(ax+b>0):向右画；小于(<)、小于等于（≤）：向左画； 含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号(>、<)用空心圆圈。 知识点3：一元一次不等式的特殊解 1.定义：在不等式的解集中，符合特定条件的解（如整数解、正整数解、负整数解、非负整数解等）。 2.求法：先求出不等式的解集，再根据条件筛选出符合要求的特殊解。 知识点4：一元一次不等式与方程（组）的综合 1.方程解代入不等式：先解出方程的解，将解代入不等式，求解字母参数的取值范围。 2.方程组解结合不等式：先解方程组（用含参数的式子表示解），将解代入不等式，求解参数范围。 第1页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 知识点5：一元一次不等式的实际应用 1解题步骤：审（找不等关系）→设（设未知数，不含不等词汇）→列（列一元一次不等式）→解（解不等 式)→验（检验解集是否符合实际）→答（补全不等词汇）。 2.关键关键词：将“至少、最多、不小于、不大于、超过、不超过”转化为对应不等号（≥、≤、≥、≤、 >、≤)。 对比表格：一元一次不等式与一元一次方程 对比 一元一次不等式 一元一次方程 维度 式子 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 特点 表示 关系 不等关系(>、<、≥、≤) 相等关系(=) 解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 步骤 (乘除负数变号) 化为1（无需变号） 解的 无数个解（解集） 唯一解 个数 解的 x>a/k≥a/k<a/8≤a 8=a 形式 题型分析 题型一一元一次不等式的判定 例题 1.下列各式中，是一元一次不等式的是() A.2x-3>0 B.5>-2 C.3x-2>y+1 D.3y+5=y 【答案】A 巩固训练 第2页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 1.下列不等式是一元一次不等式的是() A.4>-1 B.-2a2+3b>5C.3x>9 D.3x-2y≤-1 【答案】c 2.下列各式：①+2>5：②a+6:③5≥2x-1;④x-1:⑤r+253.其中是一元一次不等式的有() 3 5 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】A ③⑤ 3.下列各武中，①x<5:②xx-5)<5,③<5，④2x+y<5+y:回a-2<5;©x≤ 3 是一元一次不等式的有 (填序号) 【答案】①④⑤ 题型二利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题 1.若(a-2025)-2024>1是关于x的一元一次不等式，则a= 【答案】-2025 巩固训练 1.已知x-2+1>0是关于x的一元一次不等式，则k=」 【答案】3 2.若(m-1)xm-4+3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【答案】3 3.已知关于x的不等式(m一-1)x4<2025是一元一次不等式，那么m= 【答案】-1 【详解】解：由题意可得：m=1且m-1≠0，解得：m=-1: 第3页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 题型三求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 例题 1解不等式并把解表示到数轴上： (1)1-2x<31-x; -5-4-3-2-1012345→ 2)x+2≥1-x 3 6 5432012345 【答案】(1)x<2,解集在数轴上表示见解析： (2)x≥-1，解集在数轴上表示见解析. 【详解】(1)解：1-2x<31-x) 1-2x<3-3x -2x+3x<3-1 x<2, .解集在数轴上表示如图， 54内201多345→ 2解：326 x+2、1-x 2(x+2)21-x 2x+4≥1-x 2x+x≥1-4 第4页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 3x2-3 x≥-1， ∴.解集在数轴上表示如图， -5-4-3-2-1012345 巩固训练 1解不等式，并将解集在数轴上表示出来. (1)2(x+1)≤3x-1: (2学≥3(x-1)-4. 【答案】(1x≥3，数轴见解析.(2x≤3，数轴见解析. 【详解】(1)解：去括号，得2x+2≤3x-1, 移项，得2x-3x≤-1-2， 合并同类项，得-x≤一3， 系数化为1，得x≥3， 数轴如下： 43210134 (2)解：去分母，得x+1≥6(8-1)-8， 去括号，得x+1≥6x-6-8, 移项，得x-6x≥-6-8-1， 合并同类项，得-5x≥-15， 系数化为1，得x≤3， 第5页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 数轴如下： -5-4-3-2-1012345→ 2.解不等式：4x+5<2x+2 1 并把解集在数轴上表示出来. -5-4-3-2-1012345 【答案】x<-2;数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的一般步骤，是解题 的关键.先去括号，然后移项，合并同类项，再将系数化为1，最后将解集表示在数轴上即可. 【详解】解：4x+5<2x+。 2 去括号得：4x+5<2x+1, 移项，合并同类项得：2x<-4, 系数化为1得：x<-2, 将解集表示在数轴上，如图所示： -5-4-3-2-1012345 3.解不等式2+号<1，并将其解集在数轴上表示出来。 -4-3-2-101234> 【答案】x<一1；数轴见解析 【详解】解：2+号<1 第6页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 4+(8-1)<2,4+8-1<2解得x<-1 解集在数轴上表示如下： -4-3-2-101234 题型四求一元一次不等式的整数解 例题 1.不等式-x+1>一2的正整数解为 【答案】1,2,3,4 【详解】解：解不等式-x+1>-2, 两边同时减去1得一 x>-3 两边同时除以-（负数），不等号方向改变，得x<5,正整数解为1,2,3,4. 巩固训练 1.关于x的不等式2-1<的非负整数解为 【答案】01,2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查求不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出非负整数解即可. 【详解】解：：1x 1 -1<3 2 .3x-6<2, 3x<8, 3 第7页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ :不等式x-1<,的非负整数解为0,12： 1 3 故答案为：0,1,2 2.不等式 2+1<3x-2的负整数解的和等于 2 2 【答案】-3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解.先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到非负整数解 【详解】解：9+1<3 3x-2 2 2， 去分母，得：x-9+2<3x-2, 移项、合并，得：-2x<5, 5 系数化为1，得：x> 2’ “.不等式的负整数解有-1，-2这2个， :负整数解的和等于-1-2=-3， 故答案为：-3. 3.己知不等式6(x-1)<5(x-2)+8. (1)求它的非负整数解： (2)若该不等式的最大整数解是方程2x一ax=3的解，求a的值. 【答案】(1x=0或x=1或x=2或x=3(2)a=1 【详解】(1)解：去括号，得6x-6<5x-10+8,移项、合并同类项，得x<4, :它的非负整数解为x=0或x=1或x=2或x=3. (2)解：由(1)可知该不等式的最大整数解为x=3.把x=3代入方程2x-x=3,得6-3a=3, 第8页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 解得a=1 题型五一元一次不等式求解中错解复原问题 例题 上下面是我解不等式号3公华的过程： 3 3(x-3)+3≥2(x+1),第一步 3x-9+3≥2x+2,第二步 3x-2x≥2+9-3，第三步 x≥8，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第_步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来. 【答案】(I)一 (2)x≥-7，数轴表示见解析 【详解】(1)解：观察解题过程可知，航航的解题过程从第一步开始出现错误的，原因是去分母时不等式 左边的数字3没有乘以6， 故答案为：一； 2期：3公 3 去分母得：3(x-3)+18≥2(x+1), 去括号得：3x-9+1822x+2, 移项得：3x-2x≥2+9-18， 第9页共23页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 合并同类项得：x≥-7， 数轴表示如下所示： -7-6-5-4-3-2-1012345→ 巩固训练 1下面是小明解一元一次不等式了1一兰的过程，滨认真阀读并完收相脑的任务。 解：去分母，得3x≥1-28+x…第一步 去括号，得3x≥1-16-2x…第二步 移项，得3x+2x≤1-16.第三步 合并同类项，得5x≤-15…第四步 两边都除以5，得x≤-3…第五步 (1)小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为一，此步骤的依据 是 (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上. 54-32-101234 【答案】(1)一；3x≥6-2(8+x):不等式的性质2 (2过程见解析，数轴见解析 【详解】(1)解：去分母时，常数项漏乘最小公倍数，故小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步 正确的结果为3x26-28+x,此步骤的依据是不等式的性质2， 故答案为：一；3x26-2(8+x；不等式的性质2； 第10页共23页将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第二章 不等式与不等式组 2.2一元一次不等式 知识梳理 知识点1：一元一次不等式的定义 1.定义：不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做 一元一次不等式。 2.标准形式：ax+b>0、ax+b<0、ax+b≥0、ax+b≤0(a≠0，a、b为常数)。 3判定关键：同时满足“整式、单未知数、一次、系数非0”四个条件，缺一不可。 知识点2：一元一次不等式的解法 1基本依据：不等式的基本性质（注意：不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向要改变）。 2.一般步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（步骤可根据不等式特点灵活调整）。 3.解集的数轴表示： 大于(>)、大于等于(ax+b>0):向右画；小于(<)、小于等于（≤）：向左画； 含等号（≥、≤）用实心圆点，不含等号(>、<)用空心圆圈。 知识点3：一元一次不等式的特殊解 1.定义：在不等式的解集中，符合特定条件的解（如整数解、正整数解、负整数解、非负整数解等）。 2.求法：先求出不等式的解集，再根据条件筛选出符合要求的特殊解。 知识点4：一元一次不等式与方程（组）的综合 1.方程解代入不等式：先解出方程的解，将解代入不等式，求解字母参数的取值范围。 2.方程组解结合不等式：先解方程组（用含参数的式子表示解），将解代入不等式，求解参数范围。 第1页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 知识点5：一元一次不等式的实际应用 1解题步骤：审（找不等关系）→设（设未知数，不含不等词汇）→列（列一元一次不等式）→解（解不等 式)→验（检验解集是否符合实际）→答（补全不等词汇）。 2.关键关键词：将“至少、最多、不小于、不大于、超过、不超过”转化为对应不等号（≥、≤、≥、≤、 >、≤)。 对比表格：一元一次不等式与一元一次方程 对比 一元一次不等式 一元一次方程 维度 式子 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 左右均为整式，含一个未知数，未知数一次 特点 表示 关系 不等关系(>、<、≥、≤) 相等关系(=) 解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1去分母、去括号、移项、合并同类项、系数 步骤 (乘除负数变号) 化为1（无需变号） 解的 无数个解（解集） 唯一解 个数 解的 x>a/k≥a/k<a/x≤a x=a 形式 题型分析 题型一一元一次不等式的判定 例题 1.下列各式中，是一元一次不等式的是() A.2x-3>0 B.5>-2 C.3x-2>y+1 D.3y+5=y 巩固训练 1.下列不等式是一元一次不等式的是() 第2页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ A.4>-1 B.-2a2+3b>5C.3x>9 D.3x-2y≤-1 2下列各式：①r产+2>5：②a+6:@背≥2，国-1：回x+2s3.其中是一元一次不等式的有) 3 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3下列各式中，①<5：②r-列5：国<5：国2x+y<5+:同a-2<5:@x≤号 是一元一次不等式的有」 (填序号) 题型二利用一元一次不等式的定义求参数的值 例题 1.若(a-2025)料2024>1是关于x的一元一次不等式，则a= 巩固训练 1.已知x-2+1>0是关于x的一元一次不等式，则k= 2.若(m-1)xm-3+3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 3.己知关于x的不等式(m-1x网<2025是一元一次不等式，那么m= 题型三求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集 例题 1.解不等式并把解表示到数轴上： (1)1-2x<31-x: @ 6 -5-4-3-2-1012345→ 5432012345 第3页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 巩固训练 1解不等式，并将解集在数轴上表示出来. (1)2(x+1)≤3x-1; (2)≥3(x-1)-4. 2,解不等式：4x+5<2x+2, 并把解集在数轴上表示出来. -5-4-3-2-1012345 3.解不等式2+号<1，并将其解集在数轴上表示出来. -432-101234→ 第4页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 题型四求一元一次不等式的整数解 例题 1.不等式-x+1>-2的正整数解为 巩固训练 1 1 1关于x的不等式。x-1<二的非负整数解为 3 2.不等式二9+1<3x-2的负整数解的和等于 2 3.已知不等式6(x-1)<5(x-2)+8. (1)求它的非负整数解； (2)若该不等式的最大整数解是方程2x一ax=3的解，求a的值. 第5页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 题型五一元一次不等式求解中错解复原问题 例题 上下面是就能解不等式号+32号的过程： 3 3(x-3)+3≥2(x+1),第一步 3x-9+3≥2x+2,第二步 3x-2x≥2+9-3，第三步 x≥8，第四步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题 (1)航航的解题过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个不等式的正确解法，并将解集在数轴上表示出来. 巩固训练 第6页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 1下面是小明解一元一次不等式宁1-8“的过程，请认真阅读并完成扫应的任务。 3 解：去分母，得3x≥1-2(8+x…第步 去括号，得3x≥1-16-2x…第二步 移项，得3x+2x≤1-16第三步 合并同类项，得5x≤-15第四步 两边都除以5，得x≤-3…第五步 (1)小明的解答过程是从第 一步开始出错的，这一步正确的结果为一，此步骤的依据 是 (2)请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上. -5-4-3-2-1012345 2.下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务. 解不等式： 2x-1、3x-2-1 3 2 解：2(2x-1)>3(3x-2)-6第一步 4x-2>9x-6-6第二步 4x-9x>-6-6+2.第三步 -5x>-10.第四步 x>2第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 (填运算律)进行变形的；②第步开 始出错，这一步错误的原因是。 第7页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来. 题型六一元一次方程的应用 例题 1某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，竞赛共有25道题， 满分100分，每答对一题得4分，答错扣1分，不答得0分. (1)若小明只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则小明答对了多少道题？ (2)若规定参赛者每道题都必须作答，且总得分大于或等于95分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至 少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？ 巩固训练 1.老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元.老 师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规.设老师买了x副圆规，可列不等式为 第8页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ (只列式不计算) 2.小明准备用零花钱购买一个学生R眼镜，他已经存有60元，从现在起计划每月平均存25元.他想购买 的这款眼镜至少需要480元，如果存钱x个月，不等式可列为 3.学校决定购买A,B两种型号电脑，若购买A型电脑3台，B型电脑8台共需40000元；若购买A型电脑 14台，B型电脑4台共需80000元 (1)求A,B两种型号电脑每台多少元？ (2)若用不超过160000元去购买A,B两种型号电脑共45台，则最多可购买A型电脑多少台？ 课后巩固 第9页共14页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 1.下列各式中，是一元一次不等式的是() A.x2>0 B.2x-1 C.2y<8 D. 1-3x>0 2.不等式6-2x<0的解集在数轴上表示为() 012少 C.10123→ D.10123 3.若关于x的方程x-5=-3a的解为正数，则a的取值范围是() A.a>0 B.a<0 C.a>5 3 D.a< 3 4.若不等式4x-1<-2x+一一的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是() -2-10123 A.1 B.3 C.5 D.7 5.一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A地需要不到5小时.己知水流速度是每小时 2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为( ) A.3(x+2)>5(x-2) B.3(x+2)>5(x-2) C.3(x+2)<5(x-2) D.3(x-2)<5(x+2) 6.用不等式表示"2与m的3倍的和是正数”： 7.若关于x的不等式3x-a≤-1的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值是 3-2-10123→ 8.两个实数a,b,规定a⊕b=a+b-ab,则不等式2©(2x-1)<1的解集为 9。解下列不等式：2“+。<1，并求出满足不等式的非负整数解 36 第10页共14页