2.3一元一次不等式与一次函数（1） 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（2026）八年级数学下册第二章《不等式与不等式组》 2.3一元一次不等式与一次函数(1）教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二 课题 一元一次不等式与一次函数（1） 课时 1 课标要求 体会一元一次不等式与一次函数之间的内在联系，理解一元一次不等式的解就是一次函数与x轴交点横坐标左边或右边的x的值的取值范围，既能“从函数到不等式”（看图像写解集）也能“从不等式到函数”（通过解不等式解决函数图像的分别问题）；体会数形结合思想和函数建模思想。 教材分析 数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，本课属于八下第一章第三节《一元一次不等式与一次函数》第一课时内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，因而务必服务于数与代数教学的远期目标，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。教科书基于学生对一元一次不等式和一次函数认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务， 学情 分析 学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数，会求一次函数的表达式和画一次函数的图像，在本章前面几节课中，又学习了一元一次不等式概念，具备了解一元一次不等式的基本技能； 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经利用一次函数和一元一次不等式解决了一些简单的现实问题，感受到了一次函数和一元一次不等式解决问题的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 核心素养目标 1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。 2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较 3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。 4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重点 理解一元一次不等式与一次函数的内在联系。 教学难点 “一次函数的图像”与“一元一次不等式的解”的相互转化。 教学 准备 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 1、一次函数的一般表达式是y=kx+b(k,b为常数，且k≠0), ，它的图像是一条直线。这条直线被x轴分成了有公共端点的两条射线，它们上面点的特征是： 端点就是直线与x轴的交点。此时函数值y=0,自变量。 此交点把直线分为两部分，即： 当函数值y＞0时，对应图像在X轴的上方的部分， 当函数值y＜0时，对应图像在X轴的下方的部分， 2、 一元一次不等式可化为:ax+b＞0或ax+b＜0或 ax+b≥0或ax+b≤0 （a≠0）。 解法步骤是：去分母，去括号，移项，合并同内项， 未知数的系数化为一。 3、作出一次函数y=2x-5的图像 ①列表；②描点；③连线 x … 0 2.5 … y=2x-5 … -5 0 … 回顾旧知，完成一次函数图像的作图。 以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，激发学生探究新知的兴趣。 三、探究 1、 观察图像回答下列问题： (1)x取何值时， y =0? x=2.5时，y=0 (2)x取哪些值时， y >0 当x > 2.5时, y > 0 (3) x取哪些值时， y <0? x<2.5时，y<0 (4)x取哪些值时，y >3? x>4时，y>3 2、 观察图像回答下列问题 (1)x取何值时,2x-5=0 2x–5=0 x=2.5 (2)x取哪些值时，2x-5>0 2x–5>0 x>2.5 (3)x取哪些值时，2x-5<0? 2x–5<0 x<2.5 (4)x取哪些值时，2x-5>3? 2x–5>3 x>4 3新知归纳（转化思想） 一次函数问题 一次不等式（方程）问题 先独立思考再互相交流，展示交流成果。 通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图像可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题 四、变式 例题1：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0? 思路一:运用函数图象解不等式. 作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得 当x<2.5时, y>0. 思路二:将函数问题转化为不等式问题. 即 解不等式-2x-5 >0 ∴当x<2.5时, y>0. 例题2：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ (5) 你是怎样求解的？与同伴交流 设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:y=4x y=3x+9 思路一:图象法 （1）何时哥哥追上弟弟？【9s时哥哥追上弟弟】 （2）何时弟弟跑在哥哥前面？【0--9s内弟弟在哥哥的前面】 （3）何时哥哥跑在弟弟前面？【9s后哥哥在弟弟的前面】 （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？【弟弟先跑过20m；哥哥先跑过100m.】 思路二:代数法 哥哥y=4x 弟弟 y=3x+9 （1）何时哥哥追上弟弟？【4x=3x+9 x=9】 （2）何时弟弟跑在哥哥前面？【4x<3x+9 x<9】 （3）何时哥哥跑在弟弟前面？【4x>3x+9 x>9】 （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ 【4x=20 x=5 ; 3x+9=20, x=11/3 ∴弟弟先跑过20m 4x=100 x=25 ; 3x+9=100, x=91/3 ∴哥哥先跑过100m】 先画出图象，然后讨论问题得出用图像或代数解决问题的思维模式。 通过完成典例分析进一步培养了学生的数形结合意识，掌握用图像法解一元一次不等式和构造不等式解决函数问题 五、尝试 基础达标： 1、 已知一次函数 y=−2x+6，当 x>−1 时，y 的取值范围是 y＜8 ；当 y<−2 时，x 的取值范围是 x＞4 ． 2、如图，直线 y=kx+b 经过点 A−1,−2 和点 B−2,0，直线 y=2x 过点 A，则不等式 2x<kx+b<0 的解集为 -2<x<-1 。    第2题 第4题 3、一次函数y=ax+b(a>0)与x轴的交点坐标为(m,0)，则一元一次不等式ax+b≤0的解集应为( A ) A. x≤m B. x≤−m C. x≥m D. x≥−m3、 4、如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−1,3)，则不 等式kx+b≥3的解集为(  D  ) A. x>−1 B. x<−1 C. x≥3 D. x≥−1 5.如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P(−2,−1)，则根据图象可知不等式ax+b>mx+n的解集是( A ) A. x>−2 B. x<−2 C. −2<x<0 D. x>−1 6.一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y =y；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有_①③④ .(只填序号) 第5题 第6题 能力提升： 7.如图，在同一直角坐标系中，函数 和 的图象交于点A(m,n).若不等式 恰好有3个非负整数解，则( D ) A.m=2 B.m=3 C.2＜m＜3 D.2＜m≤3 8.定义：点 A(x,y )为平面直角坐标系内的点，若满足 x=y，则把点 A 叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，N(−2,−2)，都是“平衡点”，当 −1≤x≤3 时，直线 y=2x+m 上有“平衡点”，则 m 的取值范围是 ( B )  ． A. 0≤m≤1 B. −3≤m≤1 C. −3≤m≤3 D. −1≤m≤0 解答提示：∵x=y,∴x=2x+m. x=-m, ∵−1≤x≤3 ，∴−1≤-m≤3,得到−3≤m≤1 拓展迁移 9.如图，直线y=−2x与直线y=kx+b (k≠0)相交于点A(a,2)，并且直线y=kx+b经过x轴上的点B(2,0)． (1)求直线y=kx+b所对应的函数解析式; (2)求两条直线与y轴围成的三角形的面积; (3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集． 解：(1)把A(a,2)代入y=−2x中，得−2a=2， ( 2=-k+b 0=2k+b )∴a=−1，∴A(−1,2) 把A(−1,2)，B(2,0)代入y=kx+b中得 ∴k= − ，b=， ∴一次函数的解析式是y=−x+； (2)设直线AB与Y轴交于点C，则C(0, ) (3)不等式(k+2)x+b≥0可以变形为kx+b≥−2x， 结合图像得到解集为：x≥−1．  学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 六、提升 知识： 1、知道一元一次不等式和一次函数可以互相 转化。 2、会用图象法解一元一次不等式，及用一元一次不等式帮助解决一次函数问题。 能力：作图象以及从图像获取有效信息的能力。 思想：分类、转化、类比、数形结合。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 一次函数问题 一次不等式（方程）问题 转化思想 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1、一次函数 y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),与x轴的交点坐标是（6,0），且已知y随x的增大而增大。请回答下列问题： X = 6 时, kx+b= 0 ? X ＞6 时, kx+b> 0 ? X ＜6 时, kx+b< 0 ? 2、 已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是（2,3） . 3、 如图，一次函数y =x+b与一次函数y =kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是( B ) A. x>0 B. x>1 C. x<1 D. x<0 4、 如图所示，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(1,2)、B(−1,0)两点，y=mx+n的图象经过A、C(3,0)两点，则不等式组0<kx+b<mx+n的解集是( C ) A. 0<x<1 B. −1<x<3 C. −1<x<1 D. 1<x<3 第3题 第4题 第5题 5.如图所示，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是(  B ) A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B. 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x>1 C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大 D. 关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是x=1，y=2 6.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象，如图，试根据图象，回答下列问题： 1)慢车比快车早出发 2 小时 2)快车追上慢车时行驶了 276 千米 3)快车比慢车早 4 小时到达B地 4)快车和慢车的速度分别是 69Km/h, 46Km/h . 5)快车追上慢车需 2 小时 能力提升： 7.如图，直线y=-x+m与y=nx+b(n≠0）的交点的横坐标为-2，有下列结论： ①当x=-2时，两个函数的值相等； ②b=4n； ③关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4； ④x＞-2是关于X的不等式-x+m＞nx+b的解集. 其中所有正确结论的序号是 ①②③ . 拓展迁移： 8. 如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(0,2) 和 点 B(−3,0)． （1）当 x<0 时，直接 写出y 的取值范围；【y＜2】 （2）当 0<y<2 时，直接写出 x 的取值范围；【-3＜x＜0】 （3）当 x≥−1 时，求 y 的取值范围． 解答提示：函数y=kx+b经过 A(0,2) ， B(−3,0)，用待定系数法求出解析式y= x+2,当x=-1,y= ，∴x≥−1 ,y≥ 9.已知直线x-2y=-k+6与直线x+3y=4k+1的交点在第四象限. （1）求k的取值范围； （2）若k为非负整数，求出直线x-2y=-k+6的所有函数表达式. 解（1）由题意，得 解得 ∴两直线的交点坐标为（k+4,k-1) ∵交点在第四象限 ， ∴-4＜K＜1 （2）若k为非负整数，K=0 所以x-2y=-k+6的解析式为： 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $