精品解析：甘肃武威第十六中学2025-2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试卷

2025-2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试卷 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 4. 在某个时期内汽油价格受国际油价影响总体呈上升趋势．某地92号汽油一月初价格是6.7元/升，三月初价格是7.8元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．点为直线上一点，且横坐标为，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 如图，已知，点D在边上，以为直径的与边相切于点，若，（ ） A. 5 B. C. D. 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是，若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 9. 冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（ ） A. 着陆坡的水平宽度米 B. 点的坐标为 C. D. 当的最大值为10米时， 10. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 12. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 13. 如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 14. 2025年世界泳联跳水世界杯总决赛在国家游泳中心“水立方”举办．在男子双人10米跳台决赛中，共有来自中国、美国、英国、加拿大的4对选手参赛．赛后，跳水爱好者小赵计划从这4对选手中随机抽取2对的比赛录像进行回看，那么小赵恰好选中中国和英国这2对选手的概率是______． 15. 如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 16. 如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点B、C，若的面积为6，则A点坐标为______． 17. 如图，在扇形中，，，交于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是___________． 18. 如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 三、解答题（共66分） 19. 计算及解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 20. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求，的值； （2）若一次函数的图象与轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积． 21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 22. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D． （1）求的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 24. 我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 25. 阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从E点出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑的高．（参考数据：，）     26. 如图，是的外接圆，是的直径，是的切线，切点为F，，连接交于E，连接． （1）证明：平分； （2）作的平分线交于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若，，求的半径． 27. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； （3）如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试卷 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ． 3. 如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 4. 在某个时期内汽油价格受国际油价影响总体呈上升趋势．某地92号汽油一月初价格是6.7元/升，三月初价格是7.8元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意得． 5. 如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．点为直线上一点，且横坐标为，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数与坐标轴交点求解，图形的平移规律，线段与抛物线的位置关系，根据一元二次方程根的情况求解一元二次方程的系数． 首先得到直线和抛物线与坐标轴的交点坐标，根据点的坐标和线段的平移规律，分线段向上和向下两种情况讨论，得到线段与抛物线有唯一交点时点对应点的纵坐标的取值范围． 【详解】解：∵点为直线上一点，且横坐标为， ∴点的纵坐标， ∴点的坐标为， ∵直线和抛物线与轴和轴均交于，两点， ∴解方程，得：， 此时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当线段沿轴向上平移时， 当时，抛物线， ∴当线段交抛物线于点时， ∴此时点的坐标由平移到，相当于向上平移了个单位长度， ∴此时点的坐标为点向上平移个单位长度，即此时点的坐标为， ∴当点对应点的纵坐标的取值范围为时，线段与抛物线有唯一交点， 当线段沿轴向下平移时，设线段所在直线的表达式为， ∵当抛物线和直线有唯一交点时， ∴列方程为，即有唯一解时， 此时，解得：， ∴此时线段所在直线的表达式为， ∴此时线段与轴交点坐标为，即， ∴当的取值范围为或时，线段与抛物线有唯一交点． 故选：． 6. 如图，已知，点D在边上，以为直径的与边相切于点，若，（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据切线的性质得到，设半径为，则，根据勾股定理求出，求出以及，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点， 与相切， ， ， 设半径为，则， 在中，， 解得， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 7. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是． 8. 如图所示，已知菱形，点在轴上，直线经过点，菱形的面积是，若反比例函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设A的坐标为，根据勾股定理求出，根据面积公式求出的值，即可得出B的坐标，代入求出即可． 【详解】解：过于， ∵直线经过点， ∴设的坐标为， 在 中，由勾股定理得：， ∵ 四边形是菱形， ∴， ∴点的坐标为， ∵菱形的面积等于， ∴菱形的面积 =， ∴， 解得：， ∵在第一象限， ∴， ∵点的坐标为 ， 代入 得：. 9. 冬奥会空中技巧项目的场地如图（图1是实景照片，图2是截面示意图）．一名运动员在某次训练的技术分析如图（图3所示抛物线是运动员的空中实际路线的一段，图4是该段抛物线在以着陆坡的最低点所在水平直线为轴、起跳点所在直线为轴建立的平面直角坐标系中的示意图）【注：的长为25米，，．】，在本次训练时，运动员的着陆点恰好在着陆坡的最低点处，设抛物线的函数表达式为，平行于轴的直线与抛物线、着陆坡分别交于点，，则下列所作技术分析正确的是（ ） A. 着陆坡的水平宽度米 B. 点的坐标为 C. D. 当的最大值为10米时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形的应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出，，解三角函数得到以及求出，即选项A和选项B错误；抛物线的函数表达式为，将代入，化简得到，即可得到选项C正确；设着陆坡所在直线的表达式为，求出一次函数解析式，得到，化简得，对于二次函数，其对称轴为，当时，有最大值，将代入，即，根据的最大值为10米，得到，即可得到选项D错误． 【详解】解：， ， 故， 解得，， 在中，， ， ， 米，故A错误； 在中，， ， 米，故，故B错误； 抛物线的函数表达式为， 将代入， 故， 化简得， ，故C正确； 设 设着陆坡所在直线的表达式为， 将代入， ， 解得，， ， ， ， 则， ， 对于二次函数，其对称轴为， 当时，有最大值，将代入， 即， ∵的最大值为10米， 即， 解得，故D错误； 10. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇地发现点是的黄金分割点，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴． 二、填空题（共24分） 11. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 12. 如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到，连接．若是等腰三角形，则的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设，由旋转的性质可知，，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可． 【详解】解：设，则， 由旋转的性质可知，，， ①当时，是等腰三角形，则， 在中，， ， ， 解得； ②当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得（负值舍去）， ③当时，过点E作于点F，如图 ∵，， ∴， 同理可得， ∴， 即， 解得，不符合题意，舍去； 综上可知，的长为或． 13. 如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 ①. 3 ②. 11 【解析】 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 14. 2025年世界泳联跳水世界杯总决赛在国家游泳中心“水立方”举办．在男子双人10米跳台决赛中，共有来自中国、美国、英国、加拿大的4对选手参赛．赛后，跳水爱好者小赵计划从这4对选手中随机抽取2对的比赛录像进行回看，那么小赵恰好选中中国和英国这2对选手的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表求出所有等可能结果数和恰好选中中国和英国这2对选手的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：列表： 中 美 英 加 中 美中 英中 加中 美 中美 英美 加美 英 中英 美英 加英 加 中加 美加 英加 共有12种等可能结果，其中恰好选中中国和英国这2对选手的结果是2种， ∴恰好选中中国和英国这2对选手的概率是． 15. 如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】作关于的对称点，连接，，，，．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】作关于的对称点，连接，，，，． 则， ∴时， 当共线时，取得最小值时， 点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 【点睛】最短路径问题常见的一种方法是利用轴对称将两条线段的和化折为直． 16. 如图，已知点A是一次函数图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，反比例函数的图像过点B、C，若的面积为6，则A点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作轴于点，交于点，可证明，设，则，设，则，，根据反比例函数的图象过点，，列方程，化简可得，结合的面积为，可得，进而求出a的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点，交于点， ∵轴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且为斜边， ∴ ∴， 设，则， 设，则，， ∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在扇形中，，，交于点，过点作，若，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理、扇形面积公式，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 在中，，则、、，利用勾股定理求出和的值，利用计算即可． 【详解】解：， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得： ， 即． 18. 如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，灵活运用“同一时刻物高与影长成比例”的原理是解题的关键．根据平行光线照射下，垂直于地面的物体与其投影构成相似三角形，可得到，进而利用相似三角形对应边成比例的性质，求出小树的投影的长度． 【详解】解：，，点、、、在同一直线上， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算及解不等式： （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． （1）代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 不等式两边乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 20. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求，的值； （2）若一次函数的图象与轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积． 【答案】（1）， （2）2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出，然后根据三角形的面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：把 ，两点坐标代入， 得，， 解得：，； 【小问2详解】 解：由（1）得，，即， 把代入，得， 解得； ∴ ∴图象与坐标轴围成三角形面积为． 21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ，， ，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）18 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可； （2）利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：四边形是菱形，，， ，，， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 【点睛】此题考查平行四边形的性质和判定问题，解题的关键是根据平行四边形的判定解答即可． 22. 如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到，，推出，从而证明； （2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得​． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质可知， ∵，， ∴在中，． 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点．点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D． （1）求的值及正比例函数的表达式； （2）若，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式； （2）根据，求出点B的横坐标，代入得到坐标，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在上， 解得, ∴ ∵点在上， 解得， ∴正比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：设,则， ， ，解得， ， 点到直线的距离为， ． 24. 我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动．为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图： （1）本次共抽取了________名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若该校共有1500名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在航天知识科普竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名同学中，随机抽取2人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）400， 补全条形统计图如图所示： （2）600名 （3） 【解析】 【分析】（1）由C等级的人数除以其所占的百分比可得抽取人数，再由总人数减去已知等级人数求得D等级人数，进而补全条形统计图即可； （2）用该校总人数乘以样本中B等级所占比例即可解答； （3）画树状图得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为（名）， 等级D的人数为（名）； 【小问2详解】 解：（名） 答：竞赛成绩为B等级的学生人数为600名； 【小问3详解】 解：树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有2种， ∴P（甲乙两人同时被选中）． 25. 阳光明媚的一天，小明与同学计划测量学校周围一栋古建筑的高度，由于古建筑底部不可到达，他们在古建筑的影子顶端C处，直立一个长为2米的标杆，经测量，同一时刻标杆的影子米，接下来他们沿着方向从E点出发走了9米到达点F处（即米），利用无人机测得米，并用无人机在G处测得B点的俯角为，，，，点B、C、E、F在一条直线上，求古建筑的高．（参考数据：，）     【答案】古建筑的高为12米 【解析】 【分析】在中利用三角函数关系求出，从而得到的长，再利用太阳光是平行光线，证明，利用对应边的比例关系即可求出答案． 【详解】解：在中，米，，， ∴（米）， ∴（米）， ∵太阳光线是平行光线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴米． 答：古建筑的高为12米． 26. 如图，是的外接圆，是的直径，是的切线，切点为F，，连接交于E，连接． （1）证明：平分； （2）作的平分线交于点D；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （3）在（2）的条件下，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示：     是的切线， ， ∵， ， ， ， 平分； （2） 如图：即是的角平分线； （3）的半径为． 【解析】 【分析】（1）首先连接，由是的切线，切点为F，，易证得，然后由垂径定理，求得平分； （2）根据角平分线的作法，作出的角平分线即可； （3）易证得是等腰三角形，即可求得的长，，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长，继而求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，，且，， ， ， 公共角，， ， ∴， ， 是的直径， ， ∴， ∴的半径为． 27. 如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； （3）如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时，的面积最大 （3）或 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； 【小问3详解】 解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $