精品解析：山东省枣庄市驿城区2025-2026学年度第二学期第一次质量监测八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，此选项符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，原选项错误，不符合题意； 故选：． 2. 如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识；先求出正五边形每一个内角的度数等于，根据“两直线平行，同位角相等”可得，进而根据三角形内角和等于求出的度数即可． 【详解】解：如图， ∵正五边形内角和， ∴， ∵， ∴． ∴在中，， 故选：C． 3. 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质，根据角平分线的性质及平行线的性质得，则可得，再根据即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， ， 故选C． 4. 年月日，我国神舟二十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，充分展现了我国强大的科技实力．为弘扬航天精神、厚植爱国情怀，某校举办“逐梦航天，强国有我”航天知识竞赛，本次竞赛共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答均扣分．若得分不低于分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道， 答对一题得分，答错或不答均扣分， 实际得分为答对得分减去扣的分数，即， 要求得分不低于分，“不低于”表示大于等于， 可列不等式，选项符合题意． 5. 如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 若不等式组无解，则m的值可能（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，由不等式组无解得出是解题的关键．解不等式组可得，，由不等式组无解可得，求出m的范围即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ， ， 故选：． 7. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可． 【详解】设一个球的体积为，根据题意，得 ， 解得， 观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是． 故选：C． 8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集． 【详解】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 故选D． 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； B．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； C．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意； D．逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意． 故选：D． 10. 如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点O作，，，根据角平分线的性质得，再根据，即可判断． 【详解】解：过点O作，，，如图所示， ∵点是的三条角平分线的交点， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题：每小题3分，共18分． 11. “减去小于的倍”用不等式表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列一元一次不等式，理解题意，将文字描述转化为数学表达式是关键． “减去”表示为，“的倍”表示为，“小于”用连接，因此不等式为． 【详解】解：“减去”表示为， “的倍”表示为， “小于”用连接， 因此不等式为． 故答案为：． 12. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再根据，即可求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解： ①-②，得 ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，二元一次方程组的解，熟悉相关性质是解答本题的关键． 14. 等腰，，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，若，则的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．由于点的位置不确定，需分点在线段上和点在的延长线上两种情况讨论． 【详解】①当点E在线段上时，如图1所示． ∵是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴在中，． ∵点在上， ∴． ②当点在的延长线上时，如图2所示． ∵是的垂直平分线， ∴． 又∵， ∴在中，． ∴． ③当点在线段的延长线上时，如图， 同理可得， ∵， ∴； ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴，与矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 15. 运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 16. 已知，在中，，是边上的一点．请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．如图1，若于点，且，则的长为______． B．如图2，若，则的长为______． 【答案】 ①. A或B ②. ③. 6 【解析】 【分析】选择A：利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解； 选择B：过点B作于点E，由等腰三角形的性质得，由勾股定理建立方程求得，即可求解． 【详解】解：选择A： ∵，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴； 选择B：如图，过点B作于点E， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，合并同类项，得 第三步 两边都除以，得 第四步 所以，原不等式的解集为． （1）任务一：上述求解过程中，从第______步发生错误，具体错误是______； （2）任务二：解不等式． 【答案】（1）四，两边都除以时，不等号的方向没有改变 （2） 【解析】 【分析】（1）根据解不等式的步骤以及不等式的性质逐项判断即可； （2）根据解不等式的步骤求解即可． 【小问1详解】 解：经分析第四步错误，具体错误是两边都除以时，不等号的方向没有改变． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 18. 解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上，表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确地解不等式是解题的关键． 先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以，原不等式组的解集为：． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可. （1）由题意得，根据是的角平分线即可求解； （2）求出，得到；求出．．推出．即可求解； 【小问1详解】 解：， ． 由作图可知，是的角平分线， ． 【小问2详解】 解：在中，由三角形内角和定理得， ， ， 在中，， ． ． ． ． ， ． 20. 如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． （1）求证：为直角三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， . 21. 阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： （1）判断方程是不是不等式组的“子方程”． （2）若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】（1）不是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组． （1）先分别求出一元一次方程的解，一元一次不等式组的解，再根据“子方程”判断即可； （2）将m当作常数，求出一元一次方程的解，再求出一元一次不等式的解，再根据“子方程”的定义得关于m的不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 不在范围内， 不是不等式组的“子方程”； 【小问2详解】 解：解方程，得， ， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集为， 方程是不等式组的“子方程”， ， 解得． 22. 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：点为的中点； （2）若，的周长为，求的长； 【答案】（1） 证明：垂直平分， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， 点为的中点． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）由垂直平分线的性质，得，结合题意证为等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一，即可求证； （2）根据，，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的周长为， ， ，， ， ． 23. 2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买1台型机器人，2台型机器人，共需50万元；买3台型机器人，4台型机器人，共需120万元． 素材二：型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；型机器人每台每天可分拣快递1.2万件．公司用不超过360万元购买、两种型号智能机器人共20台．快递公司每天要完成至少25.2万件快递分拣． 问题解决： （1）任务1：求、两种型号智能机器人的单价； （2）任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用万元与购买型号智能机器人（，且为整数）台之间的函数关系，并利用该函数性质帮助快递公司选择哪种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； （2）购买型号智能机器人4台，购买型号智能机器人16台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是320万元． 【解析】 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，根据买1台型机器人，2台型机器人，共需50万元；买3台型机器人，4台型机器人，共需120万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买智能机器人所花费的费用为万元，购买型号智能机器人（，且为整数）台，根据题意列出函数关系式和不等式组，根据一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：，解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为20万元、15万元； 【小问2详解】 解：设购买智能机器人所花费的费用为万元，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， 又，解得：， ，， 随的增大而增大， 当，取得最小值320（万元）， 购买型号智能机器人（台）， 即购买型号智能机器人4台，购买型号智能机器人16台，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是320万元． 24. 已知． （1）如图，平分，平分，与交于点．若，求的度数． （2）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点，试判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图，的两外角平分线相交于点．若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键． （）由平分，平分，则，，即有，通过三角形内角和定理可得，最后通过三角形内角和定理即可求解； （）由平分，平分，则，，又，，则有，然后整理即可； （）由平分，平分，则，，根据外角性质可得，，所以，，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期第一次质量监测 八年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将透明直尺叠放在正五边形上，若正五边形有两个顶点恰好落在直尺的边上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E．已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 4. 年月日，我国神舟二十二号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，充分展现了我国强大的科技实力．为弘扬航天精神、厚植爱国情怀，某校举办“逐梦航天，强国有我”航天知识竞赛，本次竞赛共有道题，规定每答对一题得分，答错或不答均扣分．若得分不低于分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对道题，则有（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 若不等式组无解，则m的值可能（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 7. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 10. 如图，是的三条角平分线的交点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共18分． 11. “减去小于的倍”用不等式表示为________． 12. 在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 13. 已知关于x，y的二元一次方程组满足，则a的取值范围是____． 14. 等腰，，线段的垂直平分线交于点，交直线于点，若，则的度数是________． 15. 运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 16. 已知，在中，，是边上的一点．请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．如图1，若于点，且，则的长为______． B．如图2，若，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务 解不等式． 解：去分母，得 第一步 去括号，得 第二步 移项，合并同类项，得 第三步 两边都除以，得 第四步 所以，原不等式的解集为． （1）任务一：上述求解过程中，从第______步发生错误，具体错误是______； （2）任务二：解不等式． 18. 解不等式组：，并将该不等式组的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，在中，，以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． （1）求证：为直角三角形； （2）若，，求的长． 21. 阅读与思考 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的“子方程”． 例如：的解为，，的解集为，发现在的范围内，所以一元一次方程是一元一次不等式组的“子方程”． 问题解决： （1）判断方程是不是不等式组的“子方程”． （2）若方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围． 22. 如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：点为的中点； （2）若，的周长为，求的长； 23. 2026年央视马年春晚舞台上，多款国产机器人集体亮相，用硬核科技点亮新春团圆夜，展现“中国智造”的强大实力与创新活力，某快递企业为提高工作效率，计划购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 素材一：买1台型机器人，2台型机器人，共需50万元；买3台型机器人，4台型机器人，共需120万元． 素材二：型机器人每台每天可分拣快递1.5万件；型机器人每台每天可分拣快递1.2万件．公司用不超过360万元购买、两种型号智能机器人共20台．快递公司每天要完成至少25.2万件快递分拣． 问题解决： （1）任务1：求、两种型号智能机器人的单价； （2）任务2：求出快递公司购买智能机器人所花费用万元与购买型号智能机器人（，且为整数）台之间的函数关系，并利用该函数性质帮助快递公司选择哪种购买方案，能使每天完成分拣快递任务而且购买智能机器人所花费的费用最少，最少费用是多少？ 24. 已知． （1）如图，平分，平分，与交于点．若，求的度数． （2）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点，试判断与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图，的两外角平分线相交于点．若，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $