2.3 导数的计算 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第3节 导数的计算 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、会用导数的定义求简单函数在某点处的导数． 2、会求函数的导数. 3、掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用. 1、掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用. 1、会用导数的定义求简单函数在某点处的导数． 2、掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用. 2 新 知 引 入 1、什么叫作导数？ 当x1趋于x0，即△x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x）在点x0处的导数,通常用符号f'(x0)表示, 记作： 2、导数的几何意义是什么？ 函数y=f(x)在xo处的导数f'(xo),是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))处的切线的斜率. 新 知 引 入 3、计算函数y=f(x)在x=xo处的导数的步骤： (1)通过自变量在x=x0处的改变量△x,确定函数值在x0处的改变量 ____________________________________. (2)确定函数y=f(x)从x0到x0+△x处的平均变化率 ____________________________________. (3)当△x趋于0时，得到导数 ____________________________________. △y =f(x0+△x)-f(x0) = 新 知 引 入 引例：求函数y=f(x)= + x在下列各点处的导数: (1) x=l； (2) x=2； （3）x=3. 解： （1）f＇(1)===(=-1 （2）f＇(2)===(= （3）f＇(3)===(= 显然，这种重复性的计算过于繁琐，能否快速的计算导数呢？ 新 知 引 入 引例：求函数y=f(x)= + x在下列各点处的导数: (1) x=l； (2) x=2； （3）x=3. 解：假设（x0,y0）是函数f(x)= + x上任意一点，我们来求出f＇(x0). f＇(x0) = = = =( = +1 ∴ f＇(1)=-1 , f＇(2)= , f＇(3)= 学 习 新 知 引例中的函数f(x)= 对于定义域中的每一个自变量的取值x0,都有唯一一个导数值f'(x0)= - +1与之对应，所以f'(x)= - +1是x的函数. 一般地，如果一个函数y=f(x)在区间（a，b）的每一点x处都有导数, 那么f'(x)是关于x的函数，称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数，有时也将导数记作y'. 导函数 注意：1、 2、 求f＇(x0)时，要先求f＇(x)，再把x=x0代入到f＇(x)中。 “f＇(x0)”表示“导函数f＇(x)在x=x0时的导数值”； “[f(x0)]＇”表示“函数y=f(x0)（常值函数）的导数值”。 典 例 引 路 例1、 求 y=f(x)=3x2-x 的导数f'(x)，并求f'(1),f'(-2),f'(0). 解：△y = = . = 3△x+6x-1. 当△x趋于0时，得到导数 == 6x-1. 可得= 5, = -13, = -1. 同 步 练 习 练1、 求 y=f(x)=3x2+x 的导数f'(x)，并求f'(2),f'(-2),f'(3). 解：△y = = . = 3△x+6x+1. 当△x趋于0时，得到导数 = = 6x+1 可得= 13, = -11, = 19. 学 习 新 知 我们通过导数的定义可以求出一些简单函数的导数，如何系统地求函数的导数要用到进一步的知识，中学阶段不作系统讨论，对我们而言，重要的是理解导数概念及其实际意义，并利用它们去思考、分析和解决一些问题. 为了解决可能遇到的导数计算问题，下面给出了一个简单的导数公式表，列出了学过的基本初等函数的导数.以后，遇到求这些函数导数的问题时，可以直接查表. 学 习 新 知 函 数 导 数 函 数 导 数 y=c(c是常数） y=sinx y=xα(α是常数） y=cosx y=ax(a＞0,a≠1) y=tanx y=logax(a＞0,a≠1) 导数公式表 y＇=0 y＇=αxα-1 y＇=axlnx 特别的（ex)＇=ex y＇= 特别的（lnx)＇= y＇=cosx y＇=-sinx y＇= 典 例 引 路 例2、求下列函数的导数： y=2026 解：y＇=0 解：y＇=0 解：y＇=0 （1） （2） （3） y=sin y=lg5 同 步 练 习 练2、求下列函数的导数： y=1000 y=x0 解：y＇=0 解：y＇=0 解：y＇=0 y=cos （1） （2） （3） 典 例 引 路 例3、求下列函数的导数： （1） （2） （3） (4) y = x12 y = y = y = 解：y＇=12x11 解：y＇= = 解：y＇= (x-5)＇ = - 5x-6 解：y＇=()＇= - 同 步 练 习 练3、求下列函数的导数： （1） （2） （3） (4) y = y= y= y = 解：y＇=()＇= - 解：y＇=()＇= 解：y＇=()＇= 解：y＇=()＇= 典 例 引 路 例4、求下列函数的导数： （1） （2） （3） (4) y=10x y=()x y=ex y=()x 解：y＇= 10xln10 解：y＇=()xln = -()xln10 解：y＇= ex 解：y＇= ()xln = --x 同 步 练 习 练4、求下列函数的导数： （1） （2） （3） y=4x (4) y=5x y=()x y=()x 解：y＇= 4xln4 解：y＇= 5xln5 解：y＇= ()xln = -()xln2 解：y＇= ()xln = -()xln3 典 例 引 路 例5、求下列函数的导数： （1） （2） （3） y=log2x y=x y=lnx 解：y＇= 解：y＇= = - 解：y＇= 同 步 练 习 练5、求下列函数的导数： （1） （2） （3） y=log3x y=x y=lgx 解：y＇= 解：y＇= = - 解：y＇= 典 例 引 路 例6、求下列函数的导数： （1） （2） y=cos( - x) y=2cos2 -1 解：∵ y = cos ( - x) = sinx ∴ y＇=cosx 解：∵ y = 2cos2 -1 = cosx ∴ y＇= - sinx 同 步 练 习 练6、求下列函数的导数： （1） （2） y=(sin + cos )2-1 y=1-2sin2 解：∵ y=(sin + cos )2 -1 = sinx ∴ y＇= cosx 解：∵ y=1-2sin2 = cosx ∴ y＇= - sinx 典 例 引 路 例7、已知函数f(x)=x2. (1)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； (2)求曲线y=f(x)过点(2,0)的切线方程. 解：（1）函数f(x)=x2，求导得f＇(x)=2x， 则f＇(2)=4,，而f(2)=4， 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-4=4(x-2)，即y=4x-4. （2）设所求切线的切点为(x0,x02)，切线斜率为f＇(x0)=2x0， 切线方程为y-x02=2x0(x-x0)， 而切线过点(2,0)，则0-x02=2x0(2-x0)，解得x0=0或x0=4， 当x0=0时，切线方程为y=0； 当x0=4时，切线方程为y-16=8(x-4)，即y=8x-16， 所以满足题意的切线方程为y=0或y=8x-16. 同 步 练 习 练7、已知函数f(x)=x3. (1)求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(-1,-1)且与曲线y=f(x)相切的直线的切点坐标. 解：（1）因为f(x)=x3，求导得f＇(x)=3x2，故f＇(1)=3， 因此，曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1)，即y=3x-2. （2）设切点坐标为(t,t3)，则曲线y=f(x)在点(t,t3)处的切线的斜率为3t2，故所求切线方程为y-t3=3t2(x-t)， 将点(-1,-1)的坐标代入切线方程得-1-t3=3t2(-1-t)， 整理可得2t3+3t2-1=0，即(2t-1)(t+1)2=0，解得 t= 或 t=-1 故所求切点的坐标为( , )或（-1，-1）。 同 步 练 习 全 课 总 结 一、导数的概念 二、导数公式 函 数 导 数 函 数 导 数 y=c(c是常数） y=sinx y=xα(α是常数） y=cosx y=ax(a＞0,a≠1) y=tanx y=logax(a＞0,a≠1) y＇=0 y＇=αxα-1 y＇=axlnx 特别的（ex)＇=ex y＇= 特别的（lnx)＇= y＇=cosx y＇=-sinx y＇= THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $