2.3 导数的计算课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

第二章 导数及其应用 2.3 导数的计算 回顾：导数的几何意义 函数 y = f (x) 在 x0 处的导数 f ′(x0)，是曲线 y = f (x) 在点 (x0，f(x0)) 处的切线的斜率. 函数 y = f (x) 在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义. 导数 s′(5) 表示的是物体在第 5 秒时的瞬时速度，即物体在第 5 秒时，瞬时速度为 20 (m/s). 例1：已知一个运动物体走过的路程 s (单位：m) 与时间 t (单位：s) 的函数关系为 s = s(t) = 2t2. 求 s'(5)，并解释它的实际意义. 解：△s = s(5+△t) - s(5) = 2(5+△t)2-2×52 = 2[10△t+(△t)2]. 当 △t 趋于 0，得到导数 s′(5) = 20 (m/s). 计算函数 y = f (x) 在 x = x0处的导数的步骤 （1）通过自变量在 x = x0 处的改变量△x，确定函数值在 x0 处的改变量 △y = f (x0+△x)-f(x0). （2）确定函数y = f (x)从x0到x0+△x处的平均变化率 （3）当△x趋于0时，得到导数 解：（1）△y = f(1+△x)-f(1) 例2：求函数 y = f (x) = 在下列各点处的导数： （1）x = 1 ； （2）x = x0. 当△x趋于0时，得到导数 （2）△y = f (x0+△x)-f (x0) 当△x趋于0时，得到导数 导函数的概念： 一般地，如果一个函数 y = f (x) 在区间 (a，b) 的每一点 x 处都有导数 那么 f ′ (x) 是关于 x 的函数，称 f ′ (x) 为 y = f (x) 的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作 y′. 如：例2 中的函数 对于定义域中的每一个自变量的取值 x0，都有唯一一个导数值 与之对应，所以 是 x 的函数，即 f ′ (x) 为 y = f (x) 的导函数. 解：△y = f (x + △x) - f (x) = 3(x + △x)2 - (x + △x) - (3x2-x) = 3(△x)2-6x△x-△x. 练一练1：求 y = f (x) = 3x2 - x 的导数 f ′ (x)，并利用 f ′ (x) 求 f ′(1)，f ′(-2)，f ′(0). 当 Δx 趋于 0 时，得到导数 所以 f ′(1) = 6×1-1 = 5，f ′(-2) = 6×(-2)-1 = -13，f ′(0) = 6×0-1 = -1. 问题 1：求出下列几个常用函数的导数，并举例说明导数的意义. x y O y = c （1）函数 y = f (x) = c ( c为常数 ) 的导数； 因为 = = = 0， 所以 y´= = 0 = 0. 如图，若 y = c 表示路程关于时间的函数，则 y´= 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即一直处于静止状态. （2）函数 y = f (x) = x 的导数； 因为 = = = 1， 所以 y´= = 1 = 1. 如图，若 y = x 表示路程关于时间的函数，则 y´= 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速直线运动. x y O y = x （3）函数 y = f (x) = x2 的导数； 因为 = = = = 2x + Δx， 所以 y´= =(2x + Δx) = 2x. x y O y = x2 y´ = 2x 表示函数 y = x2 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 2x，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化； 当 x < 0 时，随着 x 的増加，|y´| 越来越小，y = x2 减少得越来越慢； 当 x > 0 时，随着 x 的增加，|y´| 越来越大，y = x2 增加得越来越快； 若 y = x2 表示路程关于时间的函数，则 y´ = 2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为2x . （4）函数 y = f (x) = x3 的导数； 因为 = = = = 3x2 + 3x·Δx + (Δx)2， 所以 y´= =[3x2 + 3x·Δx + (Δx)2] = 3x2. y´= 3x2 表示函数 y = x3 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 3x2，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. y = x3 x y O （5）函数 y = f (x) = 的导数； 因为 = = = = – ， 所以 y´= =(– ) = – . y´ = – 表示函数 y = 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 – ； 当 x < 0 时，随着 x 的増加，|y´| 越来越大，y = 减少得越来越快； 当 x > 0 时，随着 x 的增加，|y´| 越来越小，y = 增加得越来越慢. x y O y = （6）函数 y = f (x) = 的导数； 因为 = = = = ， 所以 y´= = = . y´ = 表示函数 y = 的图象上点 (x，y) 处切线的斜率为 ； 根据函数的定义域可知，x ≥ 0； 故当 x > 0 时，随着 x 的增加，|y´| 越来越小，y = 增加得越来越慢. x y O y = 函数类型 原函数 f (x) 导函数 f ´(x) 常函数 ① f (x) = C (C 为常数) f ´(x) = 0 幂函数 ② f (x) = xα (α∈Q 且 α ≠ 0) f ´(x) = αxα – 1 三角函数 ③ f (x) = sin x f ´(x) = cos x ④ f (x) = cos x f ´(x) = – sin x 指数函数 ⑤ f (x) = ax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = axln a (a > 0，且 a ≠ 1) ⑥ f (x) = ex f ´(x) = ex 对数函数 ⑦ f (x) = logax (a > 0，且 a ≠ 1) f ´(x) = (a > 0，且 a ≠ 1) ⑧ f (x) = ln x f ´(x) = 常用基本初等函数的导数公式表 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何求函数的导数？ 2.基本初等函数的导数公式？ $