精品解析：四川凉山州2026届高中毕业班第二次诊断性考试数学试题

凉山州2026届高中毕业班第二次诊断性考试 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第II卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 复数是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 【答案】B 【解析】 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 2. 向量与共线，则 的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与共线，得， 所以. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数单调性可解出集合 、，再利用并集定义即可得解. 【详解】由，可得，故， 由，可得，故， 则. 4. 的二项展开式的第项的系数是（ ） A. 10 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 则， 故的二项展开式的第项的系数为. 5. 如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到 点的距离分别为，且，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算即可得. 【详解】 ， 故隧道的长度. 6. 若正方形 的四个顶点在曲线上，则正方形 的面积的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由方程确定曲线的形状，再确定曲线上的点到原点距离最大的点，进而求出最大面积. 【详解】曲线关于 轴成轴对称，关于原点成中心对称， 当时，曲线方程为，即， 此时曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限的圆弧（含坐标轴上的点）及原点， 因此曲线是上述圆弧及其关于坐标轴、原点对称而得的图形，加上原点， 圆弧到原点距离最大值为，对应的点为， 点关于坐标轴、原点对称点为，点顺次连接得正方形， 并且是符合条件的面积最大的正方形，所以正方形 的面积的最大值为4. 7. 函数的定义域为，将曲线向左平移个单位得到函数的图象，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项求出对应后，检验是否满足即可得. 【详解】对A：若，则， 由，故A错误； 对B：若，则， 则， ， 即满足，故B正确； 对C：若，则， 由，故C错误； 对D：若，则， 由，故D错误. 8. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用 表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（ ） A. 4.8 B. 5.2 C. 5.3 D. 5.6 【答案】B 【解析】 【分析】展开可得是关于 的二次函数，利用二次函数性质计算即可得. 【详解】， 即是关于 的二次函数，则当 取时取最小值， 此时. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.） 9. 点在抛物线 上， 是 的焦点，以 为始边，为终边的角为坐标原点，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线定义可得A；设，则可利用表示出、，再利用该点在抛物线上即可得B；利用B中所得计算C；利用B中所得可求出、，再利用两点间距离公式计算即可得. 【详解】对A：由抛物线 可得其焦点，故A正确； 对B：设，由，则， ，则有， 即，解得 或（负值舍去）， 即，故B正确； 对C：由B知：，故C错误； 对D：由B知：，则，故D正确. 10. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 根据分类变量 与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（ ），可判断 与不独立 B. 已知，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 设随机变量，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用独立性检验判断A；利用互斥事件的加法公式计算判断B；利用二项分布的期望、方差公式列式求解判断C；利用标准正态分布，结合裂项求和法判断D. 【详解】对于A，由，得 与不独立，A正确； 对于B，由及，得，B正确； 对于C，随机变量，且，则，，C错误； 对于D，随机变量， ，因此，D正确. 11. 已知圆台的上，下底半径分别为，母线长为，半径为的球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ） A. 成等差数列 B. 圆台的侧面积 C. 成等比数列 D. 圆台的体积 【答案】BCD 【解析】 【分析】圆台有内切球，轴截面是有内切圆的等腰梯形，故母线长 .过梯形上底顶点作高，构成直角三角形，两直角边为 、 ，斜边为 .由勾股定理：， 展开化简得 ，即 .然后逐项分析. 【详解】由球与圆台的两个底面和侧面都相切，得圆台高 ，且截面为梯形有内切圆，如图所示:梯形 的内切圆与上底，下底和腰相切于点，易得，故. 选项A：由，得，故A错误. 选项B：圆台侧面积，代入，得，故B正确. 选项C：如上图，作出圆台的轴截面，截面图形为等腰梯形，内切圆为球的大圆，梯形高为 . 过梯形上底一端点作下底的垂线，得直角三角形： 水平直角边：，竖直直角边： ，斜边：母线. 由勾股定理：， 展开：， 化简得：，成等比数列，正确. 选项D：圆台的体积，而， 故，D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则点到平面 的距离__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量坐标公式计算出、可求出平面 法向量，再利用空间中点到平面距离公式计算即可得. 【详解】，， 设平面 的法向量为， 则，取，则,，故， 则. 13. 若数列满足，则前6项的平均数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用递推公式求出的通项公式，然后得到答案. 【详解】令，则，即是公差为2的等差数列， 由得， 故， 于是， 所以，，， ，， ， 故前6项的平均数. 14. 已知，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用，，将转化为 的函数，利用导数分析其单调性，得到其取值范围. 【详解】由，，得，所以. . 令，则. 因为，所以，所以，即， 即 恒成立，所以是减函数. 所以. 所以的取值范围为. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 设函数，且 ，曲线在点处的切线方程为 . （1）求 的值； （2）求的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据切线的几何意义表示出切线斜率，进而可以求a的值； （2）根据导数得到函数的单调性，进而求出函数极值. 【小问1详解】 由，得， 求导得， 曲线在点处的切线斜率. 已知切线方程为 ，故斜率为， 则， 解得，即； 【小问2详解】 由（1）知，定义域为 . 求导得， 令，得， 当时，，单调递减； 当 时，，单调递增. 故在处取得极小值， 极小值为，无极大值. 16. 袋子中有若干个大小相同的小球，其中3个白球，个黑球. （1）每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.若第1次摸到白球的概率为，求在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； （2）将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为，若，求 的最大值. 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）由古典概率公式求出 ，再利用条件概率公式求解. （2）利用对立事件的概率公式，结合组合计数问题列出不等式求解. 【小问1详解】 由第1次摸到白球的概率为，得，解得， 所以在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率. 【小问2详解】 从 个位置中选3个放白球，共种， 三个白球都不相邻：先排 个黑球，产生 个空隙，选3个空隙放白球，共种， 因此三个白球都不相邻的概率为，而， 则，而，整理得，解得，又 所以 的最大值为4. 17. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆 的右顶点，为椭圆 的上顶点，坐标原点到直线的距离为. （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线交椭圆 于两点.求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系结合条件计算即得； （2）联立直线与曲线方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，再利用弦长公式与点到直线距离公式可表示出面积，最后利用换元法与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由为椭圆的右焦点，则 ， 由，，则， 由，化简得， 由，则， 化简得， 故 或，由，故 ，则 ， 即椭圆 的标准方程为； 【小问2详解】 设、，联立， 消去 可得， ，则， ，， 则 ， 点到直线的距离， 则， 令，则， ， 当且仅当 时，等号成立， 故的面积的最大值为. 18. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 . （1）求证： ； （2）若. ①求 ； ②证明：. 【答案】（1）证明：由正弦定理可得 ， 即有 ， 则 或， 若 ，则 ； 若，则 ，舍去； 故 ； （2）①； ②证明：令，由，则，， 则 ， 令，则 ，令， 则 ，故在上单调递减， 又 ， ， 由零点存在性定理可得，即. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得； （2）①借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得 、 、 ，再利用三角形内角和与两角和的正弦公式计算即可得；②令，利用三角恒等变换公式可得 ，构造函数 ，利用导数研究其单调性，最后由零点的存在性定理计算即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由，则， 由 ，则， 由，则，解得，， 故 ； ②略 19. 如图，在三棱柱中，，，二面角的平面角为，点在平面 上的射影为点. （1）若四边形是矩形，求 ； （2）若，. ①若，求直线 与平面 所成角的最大值； ②当点在其轨迹上运动时，点的轨迹是离心率为的圆锥曲线，记数列的前项和为，若，求的最小值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明点落在直线 上，再求角. （2）①建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出二面角的余弦值和线面角的正弦值，再结合不等式的性质可求线面角的最大值.②先判断的轨迹为椭圆，求出离心率后结合不等式放缩和裂项相消法求最小值. 【小问1详解】 取中点，中点，连接，如下图： 因为为矩形，则，且. 由，可得，则， 且.而，且平面，则 平面. 而 平面 ，则平面 平面. 因为，，则，所以点平面， 则在平面 上的射影落在直线 上，所以. 【小问2详解】 ①设为中点连接 ，则 ， 过作直线平面 ，以所在直线分别为 轴， 建立空间直角坐标系 ，如图所示： 则，，，设， 则，，， ，，由， 得，即. 设直线 与平面 所成角为 ，则. 设平面 的法向量为， 则，故，取， 因为二面角的平面角为且平面 的法向量为， 故即， ①若，则，故， 设与平面 所成的角为 ，则 ， 而，故，当且仅当时等号成立，故. ②由①可得，故， 故的坐标满足：且， 表示圆柱，而表示如图所示的平面， 两者的截面为椭圆，其短轴长为，长轴长为， 故离心率为，所以， ， 当时，， 当时，，矛盾； 当 时，， 因为， 所以， 故最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凉山州2026届高中毕业班第二次诊断性考试 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题），第II卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确. 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 复数是实数，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. D. 0或1 2. 向量与共线，则的值为（ ） A. -4 B. 4 C. 9 D. -9 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 的二项展开式的第项的系数是（ ） A. 10 B. C. 5 D. 5. 如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 若正方形的四个顶点在曲线上，则正方形的面积的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 7. 函数的定义域为，将曲线向左平移个单位得到函数的图象，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 8. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（ ） A. 4.8 B. 5.2 C. 5.3 D. 5.6 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.） 9. 点在抛物线 上，是的焦点，以 为始边，为终边的角为坐标原点，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 10. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 根据分类变量 与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验（ ），可判断 与不独立 B. 已知，则 C. 已知随机变量，若，则 D. 设随机变量，若，则 11. 已知圆台的上，下底半径分别为，母线长为，半径为的球 与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ） A. 成等差数列 B. 圆台的侧面积 C. 成等比数列 D. 圆台的体积 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若，则点到平面 的距离__________. 13. 若数列满足，则前6项的平均数__________. 14. 已知，则的取值范围为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 设函数，且 ，曲线在点处的切线方程为 . （1）求的值； （2）求的极值. 16. 袋子中有若干个大小相同的小球，其中3个白球，个黑球. （1）每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.若第1次摸到白球的概率为，求在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； （2）将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为，若，求的最大值. 17. 已知为椭圆的右焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆的上顶点，坐标原点 到直线的距离为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点.求的面积的最大值. 18. 在中，角 的对边分别为 ，已知 . （1）求证： ； （2）若. ①求 ； ②证明：. 19. 如图，在三棱柱中，，，二面角的平面角为，点在平面 上的射影为点. （1）若四边形是矩形，求 ； （2）若，. ①若，求直线 与平面 所成角的最大值； ②当点在其轨迹上运动时，点的轨迹是离心率为的圆锥曲线，记数列的前项和为，若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $