精品解析：吉林省第二实验学校2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试题

吉林省第二实验学校2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 3. 如图， 、 为数轴上的两个点，点 对应的数记为 ，点 对应的数记为 ，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是 的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交 于B，C两点，点D是 上一点，点A与点D分别在 的两侧，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为________． 8. 因式分解：________． 9. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 10. 以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做 个，则根据题意，可列方程为______． 11. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 13. 年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需 名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 14. 2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”．以“四马齐驱”为创意核心，期许人们以千里马般的昂扬姿态奔赴新一年，也祝愿个人、社会与国家都能带着一往无前的气势开拓新局．现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为________； （2）若从盒子中随机摸出2张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率． 15. 图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 ， ，， 均在格点上．图①中已画出线段，图②中已画出以为半径的 ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，以线段为边，画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图②中，画出经过点的 的切线． 16. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的度数． 17. 2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在 点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在 处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：） 18. 2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 （1）________，________； （2）若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； （3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 19. 夏日来临前，某水库的蓄水量一直保持平稳不变，由于持续高温和连日无雨，水库出现干旱情况，水库的蓄水量随着时间的增加而减少，为了研究干旱持续时间x（天）与蓄水量y（万立方米）之间的关系，水库管理人员每隔一段时间进行勘测记录，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】管理人员勘测的数据如下表 干旱持续时间x（天） 10 20 25 30 蓄水量y（万立方米） 1000 800 700 600 （1）【探索发现】①如图，建立平面直角坐标系，横轴表示干旱持续时间x，纵轴表示蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （2）【结论应用】应用上述发现的规律计算： ①水库干旱前的蓄水量是多少？ ②如果蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？ 20. 综合与实践： 【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，． 【探究发现】试证明：； 【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值． 21. 如图，矩形中，，点从点 出发，以每秒个单位长度的速度向终点 运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为 秒，等边与矩形重叠部分的面积为 ． （1）当点在边上时，用含 的代数式表示的长； （2）当点落在边上时，求 的值； （3）求 与 的函数解析式，并写出 的取值范围． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于两点，与 轴交于点 ，作直线 ． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点是线段 上方的抛物线上一动点，过点作，交 于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校2025-2026学年下学期九年级中考一模数学试题 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图：从正面观察物体所得到的视图是主视图，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义解答即可得． 【详解】解：正六棱柱的主视图是， 故选：C． 2. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ） A. 垂线段最短 B. 线段可以度量 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 3. 如图，、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，点所在的象限，解题的关键是正确从数轴得到的正负． 由数轴可得，而每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴则点位于第二象限， 故选：B． 4. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法则，对各选项逐一分析判断． 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的运算法则和解集的表示方法解题． 【详解】解： 6. 如图，是的半径，分别以点O和点A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于B，C两点，点D是上一点，点A与点D分别在的两侧，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质．由作图知是线段的垂直平分线，求得和都是等边三角形，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接，，由作图知，是线段的垂直平分线， 所以，， 因为， 所以， 所以和都是等边三角形， 所以， 所以， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 中国科学院力学研究所研发的一款高超音速无人飞行器速度最高可达7马赫，即每小时飞行距离可达8570000米，数据8570000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 8. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 9. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为_____． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，根据题意求得正六边形的内角和，进而即可求得的度数． 【详解】解：由题意可得，图中的六边形都是正六边形． ∵正六边形的内角和为， ∴每一个内角为 ∴． 故答案为： 10. 以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个， 根据题意得，， 故答案为：． 11. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解答本题的关键． 待定系数法求出反比例函数解析式，把代入，即可得到结论． 【详解】解：设反比例函数表达式为． 当，时得： ． 关于的函数表达式为， 把代入，得， 故密度计浸在溶液中的高度为， 故答案为：8． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项，再进行多项式除以单项式．最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 13. 年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？ 【答案】“天问”有艘，“神舟”为艘 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，理解题意并根据等量关系列出方程是关键． 设“天问”有艘，“神舟”有艘，根据题意可列方程组，求解即可． 【详解】解：设“天问”有艘，“神舟”有艘， 根据题意，得， 解得， 答：“天问”有艘，“神舟”为艘． 14. 2026年央视春晚的主题为“骐骥驰骋，势不可挡”．以“四马齐驱”为创意核心，期许人们以千里马般的昂扬姿态奔赴新一年，也祝愿个人、社会与国家都能带着一往无前的气势开拓新局．现将分别印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片的形状、大小、质地等完全相同，即除印有的字外无其他差别． （1）若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为________； （2）若从盒子中随机摸出2张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上的是“骥”的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，摸出的这张卡片上印有“骥”的结果有1种， 从盒子中随机抽取一张卡片，摸出的这张卡片上印有“骥”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设印有“骐”“骥”“驰”“骋”的四张卡片为，，，， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”的结果是和有2种， （摸出的这两张卡片上的字可以组成“驰骋”）． 15. 图①，图②均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，，，均在格点上．图①中已画出线段，图②中已画出以为半径的，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中，以线段为边，画一个四边形，使其是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图②中，画出经过点的的切线． 【答案】（1） 四边形即为所求； （2） 直线即为所求： 【解析】 【分析】（1）以线段为边，画一个一般的即可； （2）根据切线的性质结合网格作出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，取格点，连接， ∵，，， ∵， ∴， 即所在直线为的切线， 下图中直线即为所求： 16. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分线段， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质． （1）根据矩形的性质得到，，证明，进而证明四边形是平行四边形，根据线段的垂直平分线的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）根据矩形的性质得到，进而求出，根据菱形的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴． 17. 2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在点用垂直于地面放置的测角仪测得顶端的仰角为，在处测得的仰角为两点水平距离为，测角仪高为．求全向信标台的高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】全向信标台的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了与俯角仰角有关的解直角三角形的应用问题，利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键． 根据题意得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，在中，根据三角函数的定义得到，结合即可解答． 【详解】解：根据题意，得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：全向信标台的高度约为． 18. 2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 （1）________，________； （2）若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； （3）结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 【答案】（1）； （2）该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人 （3）第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可； （3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论． 【小问1详解】 解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为， ∴第一次成绩的众数为分，即； ∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分， ∴第二次成绩的中位数为（分），即； 【小问2详解】 解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为， （人）． 答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人． 【小问3详解】 解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 19. 夏日来临前，某水库的蓄水量一直保持平稳不变，由于持续高温和连日无雨，水库出现干旱情况，水库的蓄水量随着时间的增加而减少，为了研究干旱持续时间x（天）与蓄水量y（万立方米）之间的关系，水库管理人员每隔一段时间进行勘测记录，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】管理人员勘测的数据如下表 干旱持续时间x（天） 10 20 25 30 蓄水量y（万立方米） 1000 800 700 600 （1）【探索发现】①如图，建立平面直角坐标系，横轴表示干旱持续时间x，纵轴表示蓄水量y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由． （2）【结论应用】应用上述发现的规律计算： ①水库干旱前的蓄水量是多少？ ②如果蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱警报，干旱持续多少天后将发出严重干旱警报？ 【答案】（1）①描出以表格中数据为坐标的各点如下： ②在同一条直线上，y=-20x+1200； （2）①水库干旱前的蓄水量是1200万立方米；②干旱持续40天后将发出严重干旱警报． 【解析】 【分析】（1）①根据表格数据描出各点即可； ②用待定系数法得这条直线所对应的函数表达式为y=-20x+1200； （2）①在y=-20x+1200中，令x=0可得水库干旱前的蓄水量是1200万立方米； ②由y＜400，得-20x+1200＜400，可解得干旱持续40天后将发出严重干旱警报． 【小问1详解】 解：①略 ②这些点在同一条直线上， 设经过点（10，1000）和（20，800）的直线所对应的函数表达式为y=kx+b， 则， 解得， ∴表达式为y=-20x+1200， 验证，当x=30时，y=-20×30+1200=600， ∴点（30，600）在这条直线上， ∴这条直线所对应的函数表达式为y=-20x+1200； 【小问2详解】 解：①在y=-20x+1200中，令x=0得y=1200， ∴水库干旱前的蓄水量是1200万立方米； ②若y＜400，则-20x+1200＜400， 解得x＞40， 答：干旱持续40天后将发出严重干旱警报． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能求出函数关系式． 20. 综合与实践： 【实践操作】如图1，在中，，．点是外一点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，连接，，． 【探究发现】试证明：； 【性质应用】如图2，点为正方形内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，，求出与之间的数量关系； 【拓展延伸】如图3，当时，点在的延长线上，连接，将线段绕点按逆时针向旋转，得到线段，连接，．求的值． 【答案】探究发现： 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 性质应用：； 拓展延伸： 【解析】 【分析】【探究发现】：由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，证明，得出，从而可得，再证明，即可得出； 【性质应用】：连接，由正方形的性质可得，， 又，，从而得出，，，再证明，即可得出结果； 【拓展延伸】：由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，解直角三角形得出，再证明，得出，设交于点，求出，即可得出结果 【详解】【探究发现】略 【性质应用】：解：如图2，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 又，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 【拓展延伸】：解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，设交于点， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形内角和定理、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 21. 如图，矩形中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动，作交边或边于点，且和矩形在直线同侧，以为边向右侧作等边，设点运动的时间为秒，等边与矩形重叠部分的面积为． （1）当点在边上时，用含的代数式表示的长； （2）当点落在边上时，求的值； （3）求与的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，点落在边上 （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形动点问题，计算量较大，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，三角函数，解题的关键是利用分类讨论思想分别画出图形，利用三角函数进行求解． （1）根据题意得出，再由三角函数确定，，即可求解； （2）依据题意，当点落在上时，，得到，通过求解三角形得到，进而完成求解． （3）需要分三种情况讨论，①当点在上，点在矩形内部或者边上时，全部在矩形内部，求出，即可得到答案；②当点在上，点不在矩形边上时，重叠部分的面积即与面积之差，先求出的值，列出，求解三角形得到，进而得到的面积，最终完成求解；③当点在上，利用三角形的面积公式即可完成求解． 【小问1详解】 解：∵设点运动的时间为秒，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向终点运动， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵点在边上， ∴当点F与点D重合时，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，当点落在上时， ∵为等边三角形，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵点运动速度为每秒个单位长度， ∴点落在边上时，运动了秒． 故当时，点落在边上． 【小问3详解】 解：因，故的最大值为， ①当点在上，点在矩形内部或者边上时，由（2）得，全部在矩形内部， 此时为直角三角形，，， ∵， ∴， ∴等边三角形的高为， ∴面积为， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ②当点在上，点不在矩形边上时， 此时，，， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴，， ∴等边与矩形重叠部分的面积为， 当时，达到临界值，即时，， ，此时． ③当时，点在上，点不在矩形边上时， 此时，， ∴， ∴等边与矩形重叠部分的面积为，此时． ∴与的函数解析式为 22. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． （3）设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 【答案】（1） （2）存在；最大值为；此时 （3）①；②或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）①分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出结果即可； ②根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上，得出边在点右侧，与抛物线相交，，再根据点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ①当时，点在点上方，如图3，图4， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方，如图5． 同理可得：， ， ∴不论为何值，点坐标为． ②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：； 如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得：（正值舍去）； 如图5，当时，点在抛物线上． ， 解得：（负值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $