三角函数的性质综合应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合 专项训练 考点目录 三角恒等变换与三角函数的性质综合 三角函数的图像与三角函数的性质综合 考点一 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1．（25-26高一下·四川眉山·开学考试）已知函数的最大值为. (1)求函数的最小正周期和常数的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求使成立的的取值集合. 例2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知，若关于的方程在区间上恰有两个不同实根，求的取值范围． 例3．（25-26高一下·浙江·月考）已知函数，其中． (1)若的最小正周期为， ①求的单调递增区间； ②求时的值域． (2)若函数在区间上没有最值，求的取值范围． 例4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的最小值． 变式1．（25-26高一下·河南商丘·月考）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值． 变式2．（25-26高一下·广东中山·月考）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)求在上的解集． 变式3．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知函数． (1)求函数的周期、单调增区间、对称中心； (2)当时，求函数的值域； (3)当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围． 变式4．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，求的值； (3)若的图象与直线在区间上恰有两个点，其横坐标分别为，求的取值范围以及的值. 考点二 三角函数的图像与三角函数的性质综合 例1．（25-26高三上·重庆·月考）如图是函数，一个周期内的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变；再将所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式; (2)在△ABC中， 若， AB=2， BC=3， 求AC. 例2．（25-26高三上·北京·月考）已知函数的一部分图像如图所示. 其中 点是图像与轴的交点，点横坐标，且. (1)求的解析式： (2)将的图像向左平移个单位得到的图像，令函数 ，求的单调递减区间，和在上的值域. 例3．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 例4．（24-25高一下·山东东营·期末）已知函数的部分图像，如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的单调递增区间. 变式1．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数（，，）的部分图像如图． (1)根据图像求函数解析式． (2)写出的解集． (3)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 变式2．（24-25高一下·辽宁沈阳·月考）已知函数的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域. (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数在上的单调减区间. 变式3．（24-25高一下·湖北·月考）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)将函数的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图像，若时，的图像与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为，，且，求的值. 变式4．（24-25高一下·四川眉山·月考）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的解析式与单调递增区间； (3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合 专项训练 考点目录 三角恒等变换与三角函数的性质综合 三角函数的图像与三角函数的性质综合 考点 三角恒等变换与三角函数的性质综合 例1.(2526高下-调川眉山开学考试)已知函数=x+君引(-君 +cosx+a的最大值为l. (I)求函数f(x)的最小正周期和常数a的值； (2)求函数∫(x)的单调递减区间； (3)求使f(x≥0成立的x的取值集合 【答案】(1)最小正周期为2π；a=-1 +2a+2kez 3)x|2kπ≤x≤ .k e +cosx+a -sin xcos+cos xsin+sin xcos-cos xsin+cosx+a 【详解】(1) 6 6 6 6 =√3sinx+cosx+a -2sin(xtta 6 此时函数f(x)的最小正周期T=2不=2元， 1 因为sinx+刀》 的最大值为1，且函数f(x)的最大值为1，所以2×1+a=1, 6 解得a=-1 (2)由1)可知f=2imx+君1， 由5+2m≤x+s3+2ka,keZ, 62 解特骨+2m≤x≤+2太eZ, 3 所以函或八的单调觉减区面为[眉2点经+2版]ke2 (3)由f(x20,得2sinx+ 元-120， 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 即mr+}分所以后+2红s+gs+2a.ke2. 6 66 解得2≤r≤2+2m,keZ, 3 因此，满足f(x≥0的x的取值集合为x2a≤x≤2+2k,k∈Z 3 例2.（2026重庆沙坪坝模拟预测)已知函数八y=s血2x+s如2x+写）】 (1)求函数∫(x)的最小正周期及对称中心坐标； ②已知a>0,若关丁的方程-亭=0在区间@可上治有两个不同实极，求m的取值花用。 【答案】（①）T=元， km_π，0，keZ 212 【详解】(1)f(x)=sin2x+sin 3 =。sin2x+ 2 cos2x=V5sim2x+） 2 6 八y的最小正周期为T=2 =兀； 2 令2x+元=km,解得x=-工 6 212’ 所以的对称中心坐标为任吾0小ke2。 (2)fx)=2 sm2r+ 令1=2x+元，xe0,m,则1e[只，2m+ 6 6 6 1 所以sint=。在 2 2m+ 6 上恰有两个解 6 所以5开≤2m+元< 6 +<13红，解得≤m<π. 66 所以m的取值范围 13.x. y=sint y-2 OTπ 5π 13元 -16 6 6 3.2526商-下浙证月考)已知函数f)-25cos%-2sn受co2+2-5,其巾e>0. 2 2 (1)若∫(x)的最小正周期为刀， 2 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 ①求f(x)的单调递增区间； ②求x∈0,2 时∫(x)的值域. 3π5π (2)若函数f(x)在区间 22 上没有最值，求O的取值范围. ,k∈Z;②[0,3+2) a[gl 【详解】(1)f)=2W5cos2or-2 sin cos0x+2-V5=V51+cos0)对-sin ox+2-5 2 2 2 coi+2c2. 因为)的最小正周期为T=元，所以2红=，解得0=2. 0 所以fx)=2cos2x++2 6 ①令2km-元≤2x+元≤2m,解得-7≤r≤m-k∈Z. 6 12 12 所以的单调湿塔区同为红-沿如司e2 7π ②当x∈0， 时，2x+7 2 6 66 则0≤2cos 2x++2<5+2. 6 故所求函数的值域为[0，√3+2) (2)因为x∈ 3π5π 2’2 可得@x+元∈3π0+x5π0元 626’26 令1=r+, 则函数f(x)=2 cos @x+ +2在区间 3π5π 6 2’2 上没有最值， 即函数y=cost在区间 3π0，π5π0，π 2 十 6’26 上无最值， 因为函数y=cost的单调区间为kπ，kπ+π，keZ, [3π0+亚≥km 、2k1 0 则满足 2 6 ,k∈Z,解得 5π 2 2+ska+ ez 0≤ 6 53 2k,1 因为ω>0，所以应满足 53>0 2弘+1>21∈Z,解得- 5<kss.kez, 6 3 5339 所以k=0或k=1, 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 当k=0时，0<@≤写：当k=1时，号 15 综上，实数o的取恤寇[B 例4.(2026陕西榆林·模拟预测)已知函数f(x)=sinx-cosx(x∈R). ()求函数y [+ 的最小正周期； ②求函数y=八+到在[吗到引上的最小值， 【答案】(1)刀 2)-1+ 2 【详解】(I)函数f(x)=sinx-cosx(xER), 所以f+引sin+》-cosx+}eosx+snx, =(cosx+sin x)2=cos2x+sin2x+2sin xcosx=1+sin 2x, 所以函数y 的最小正周期为=x. a数=+nom+引o+引 =(sin x-cosx).v2sinx=v2sin2x-v2sin x cosx= (1-cos2x)_sin2x 2 √2 2 2 当x[0时，2x+[g 444 改当2x+孕受时，印x=爱时，函数y=/(+取得鼓小馆为1： 2 变式1.(25-26高一下·河南商丘月考)已知函数fx)=3sin2x+cos2x+V3sin2x-2. (1)求f(x)的单调递增区间； ②当r时，求f田的恤碳 6)已知0为锐角，且0)-25，求f20)的值。 13 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 【答案】)-石 +ka,I+km,，keZ 3 a[-15 器 【详解】(1)fx)=3sim2x+cos2x+V5sin2x-2=3.1-cos2x+1+cos2x+5sin2x-2=5sin2x-cos2x 2 2 令+2版s2x-≤5+2版→看+a≤s背m, 6=2 3 所以f(x)的单调递增区间为 +km,+k,keZ: 6 3 2》当re0时，所以2r-e引 6L63 所以sin2 所以f(x的值域为[-l,5]: (3)因为0∈ 则f19)=2 1 13 分sima=丽 由于0ma 故a∈0，匹 2v5 （6， 所以cosa= 13 所以sin2a= 4v5 11 cos2a= 13 13 故f(20)=2sin4 6 +cos2a. 2 213 变式2.(25-26高一下广东中山月考)已知函数f(x)=2 sinxcosx+23cos2x-V3, (I)求函数f(x)的最小正周期： ②若函数y=f八-a在0引上拾有两个零点X,。,求-的取值范围： (3)求f(x>1在(0，π上的解集. 【答案】（①）刀 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 【详解】1)f到-2 sin xcosx+25cosx-5=sn2x+5cos2r=2sn2r+写}， 则函数f(x)的最小正周期为， (2)因为函数y=fx)-a在0， 上恰有两个零点， 所=x[0 与y=a函数图象有两个不同的交点， 因为xe0,2' ππ4π 所以2x+5∈ 3L33 π4π 所以y=2sint,t∈ 3'3 与y=a函数图象有两个不同的交点， 画出y=2sint,t∈ π4π 33 如图： 3 4π 0 3 由图可知，2+骨+2%+号=且2+骨受（不纺设<为 则马+名 且0sx<话 6 k-的g值花国为0牙引： 3)由/=2sm2x>1,即sm2x+} 得+2<2x+及<5匹+2m,keZ,得-+m<x<+m,kZ, 36 12 4 当k=0时-12 r：当=1时 5π <x< 12 4 放>1在0上的解引晋 11π 变式3.2526商一下-江苏苏州月考)已知函数f=2sm（2x-君+2smx0-君) (1)求函数∫(x)的周期、单调增区间、对称中心； ②当x∈[，]时，求函数x的值域， 63 (3)当x∈(0，m时，方程∫x)=-1有3个不同的实数根，求实数m的取值范围. 6 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 【答案】0)周期T=:单调蜡区间为名+红子+太eZ:对称中心 (12*22 kez π+，1 6 「，71 【详解】(1)先化简函数： f-2sn2x-君}2m0ow-君-2n2xm8w2xsn8}2sm cos xcos+sin xsin 6 6 6 6 6 =2 2-sin 2x-1co co2+2sim.cosinsin c0sin coin 1 -3sin 2x-cos2 .1-c0s2x -sin 2x+ 2 2 3v 0s21 3 -sin 2x- sin 2xcos 2 （2 所以函数f()的周期T-2 =兀， 2 由2x -+2+2axe[+a号+e. -E 2 L6 π 所以单调增区间为6+标3十大∈2. 。11 磺坐标为2xTk伍3x及+，kE乙，纵坐标为y3sn中 6 22' π，km1 所以对称中心为2+22 keZ. π2π ∫x=2+keZ x=kπ，k∈Z 所以当有3个实数根时，依次为：=管，元， 5π 3； 当有4个实数根，此时x=2π为临界点， 由条件可知m临界点为开区间，为满足条件，可知m∈ 变式4.(24-25高一下江苏常州月考)已知函数f(x)= 2 sin2+ (1)求(x)的单调递增区间； 1 求cos2x的值； 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 (3)若∫(x的图象与直线y=a在区间0，二π上恰有两个点，其横坐标分别为x,x2,求a的取值范围以及x,+x,的 6 值 【答案】号+eZ 6 (2)1-26 6 8)-1<a≤分，+x-7 1 3 【详解10Df-sn2ro2r[2r 当2版-受≤2x+名≤2a+引keZ时，单调递增， 6 即k红-音≤x≤红+keZ时，纠单调递增， 6 则国单调增区间为板-号红+君引keZ: 6 2-测2+片 3 cos2xo=sin 6 6: 列表： 0 文 5元 2π 11π 7π 6 12 3 12 6 2+ π 2 个 3π 2x 6 6 2 2 f(x刘 3 0 -1 0 则f(x)图象如下图所示： 6 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 y-=a 2元 \3 r血衣 126 vfx) 由图易知：-1<a≤ 出关于=任对称，即%+经 3 3 0 三角恒等变换与三角函数的性质综合、三角函数的图像与三角函数的性质综合专项训练 考点二 三角函数的图像与三角函数的性质综合 例1.(25-26高三上·重庆月考)如图是函数f(x)=Asin(⊙x+p)，(A>0,0>0,0<0<π)一个周期内的图象，把 (x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变：再将所得的图像向右平移弧个单位长度，得到函 12 数gx的图象 2 (1)求函数gx)的解析式： (2)在△ABC中，若g(B)=V3,AB=2,BC=3,求AC 【答案】()g(x)=2sinx+3 (2)√7 【详解】1)由图象可知4=2，周期7=2×任+智，因此 2_2π=3 0=T=2元 -2m(}92mp1, 所以-元+p=+2x,keZ所以p=3不+2kx,keZ 4 、 4 因为0<p<π，所以p= 3π 4 所以f(=2sin3x+4 π 将八国的图象上所有点的横坐标长到原米的3倍，级坐标不变得到y=2m:+)。 将图位肉右平移径个单位K度有到-2如个：一侣资 12 -2sinx+ 所以g=2sinx+3) 2)因为g8到=5，所以2sm8+-5,所以sm 9 10