同角三角函数的基本关系讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

同角三角函数的基本关系讲义 同角三角函数的基本关系讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣平方关系和商数关系两大核心公式，利用公式实现弦（）互化、弦切互化，结合角的象限确定三角函数值的符号，将三角问题转化为代数运算求解。 核心逻辑：知一求二、切弦互化、化简求值，符号判定是前提。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定象限，判符号 根据题干条件确定角所在的象限（或终边位置），依据“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，判断、、的正负，为后续求解定方向； 若未指定象限，需分象限讨论符号。 1. 选公式，建等式 根据已知条件和所求目标，选择核心公式搭建代数等式： · 知（或）求另一弦：用平方关系变形（、）； · 知弦求切/知切求弦：用商数关系+平方关系联立（如由得，代入平方关系消元）； · 化简/证明题：用公式将切化弦，或利用平方关系凑1，实现式子简化。 1. 算结果，验条件 代入公式进行代数运算（开方、约分、解方程），结合步骤1的符号判定确定最终结果（舍去不符符号的解）； 若为化简/证明题，需将式子化为最简形式（单一三角函数/常数），证明题需推至左右两边相等。 三、高频考向及专属解法 考向1：知一求二（已知，求另外两个） · 解法：① 定象限判符号；② 弦互化用平方关系，弦切互化用“切=弦比+平方关系联立”；③ 代入符号得结果。 · 例：已知，，则，。 考向2：切弦互化（化简/求值含的式子） · 解法：切化弦为核心（所有替换为），再结合平方关系凑1或约分，消去分母化为整式； · 若式子为、形式，利用整体代换：，无需单独求、。 考向3：化简与证明题 · 化简：先切化弦，再用平方关系消元、约分，最终化为最简三角式（如单一弦/切、常数）； · 证明：① 左推右/右推左：从复杂一侧出发，用公式逐步化简至另一侧；② 左右归一：左右两边分别化简，推至同一结果；③ 作差法：左边-右边，化简至0即可。 考向4：含、的整体代换 · 核心结论：设，则，； · 解法：将所求式子用表示，转化为代数函数求值，注意的取值范围（）。 四、注意事项 1. 符号优先：开方时必须结合角的象限判定符号，切勿漏写正负号或选错符号，未指定象限需分情况讨论； 1. 分母不为0：商数关系中，即，解题时需满足该隐含条件； 1. 整体代换简化计算：遇到与关联的问题，优先整体代换，避免单独求解的繁琐； 1. 公式变形灵活用：平方关系可变形为、，化简时按需凑1消元。 例题分析 考向一 、、知一求二 例1．（2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·山西太原·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 考向二 商数关系的应用 例1．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高三上·陕西西安·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知，则（   ） A． B．1 C．2 D． 考向三 和的关系 例1．（25-26高一上·云南昭通·期末·多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练 考向一 、、知一求二 变式1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 则是 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式2．（25-26高一上·广西柳州·期末）若为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026高二上·云南·学业考试）已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 考向二 商数关系的应用 变式1．（25-26高二下·贵州·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·河北保定·开学考试）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·广东广州·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 考向三 和的关系 变式1．（25-26高三上·湖南邵阳·期中·多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·河南南阳·月考·多选）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $同角三角函数的基本关系讲义 同角三角函数的基本关系讲义 知识点解析 一、核心原理 紧扣平方关系和商数关系两大核心公式，利用公式实现弦（）互化、弦切互化，结合角的象限确定三角函数值的符号，将三角问题转化为代数运算求解。 核心逻辑：知一求二、切弦互化、化简求值，符号判定是前提。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定象限，判符号 根据题干条件确定角所在的象限（或终边位置），依据“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，判断、、的正负，为后续求解定方向； 若未指定象限，需分象限讨论符号。 1. 选公式，建等式 根据已知条件和所求目标，选择核心公式搭建代数等式： · 知（或）求另一弦：用平方关系变形（、）； · 知弦求切/知切求弦：用商数关系+平方关系联立（如由得，代入平方关系消元）； · 化简/证明题：用公式将切化弦，或利用平方关系凑1，实现式子简化。 1. 算结果，验条件 代入公式进行代数运算（开方、约分、解方程），结合步骤1的符号判定确定最终结果（舍去不符符号的解）； 若为化简/证明题，需将式子化为最简形式（单一三角函数/常数），证明题需推至左右两边相等。 三、高频考向及专属解法 考向1：知一求二（已知，求另外两个） · 解法：① 定象限判符号；② 弦互化用平方关系，弦切互化用“切=弦比+平方关系联立”；③ 代入符号得结果。 · 例：已知，，则，。 考向2：切弦互化（化简/求值含的式子） · 解法：切化弦为核心（所有替换为），再结合平方关系凑1或约分，消去分母化为整式； · 若式子为、形式，利用整体代换：，无需单独求、。 考向3：化简与证明题 · 化简：先切化弦，再用平方关系消元、约分，最终化为最简三角式（如单一弦/切、常数）； · 证明：① 左推右/右推左：从复杂一侧出发，用公式逐步化简至另一侧；② 左右归一：左右两边分别化简，推至同一结果；③ 作差法：左边-右边，化简至0即可。 考向4：含、的整体代换 · 核心结论：设，则，； · 解法：将所求式子用表示，转化为代数函数求值，注意的取值范围（）。 四、注意事项 1. 符号优先：开方时必须结合角的象限判定符号，切勿漏写正负号或选错符号，未指定象限需分情况讨论； 1. 分母不为0：商数关系中，即，解题时需满足该隐含条件； 1. 整体代换简化计算：遇到与关联的问题，优先整体代换，避免单独求解的繁琐； 1. 公式变形灵活用：平方关系可变形为、，化简时按需凑1消元。 例题分析 考向一 、、知一求二 例1．（2026·河南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，因为， 所以，解得. 又，所以，. 所以. 例2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，即， 又，可得，所以； 由可得， 所以. 例3．（25-26高三上·山西太原·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以 故选：A 考向二 商数关系的应用 例1．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 例2．（24-25高三上·陕西西安·月考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 例3．（25-26高一下·四川泸州·开学考试）已知，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】由可得，解得； 则. 考向三 和的关系 例1．（25-26高一上·云南昭通·期末·多选）已知，且，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． 例2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末·多选）已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】解：对于A，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由A，B可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知，故D错误. 故选：ABC. 变式训练 考向一 、、知一求二 变式1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知 则是 的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【详解】由，得， 所以“”是“”的不充分条件； 由，得， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 变式2．（25-26高一上·广西柳州·期末）若为第二象限角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为第二象限角，则， 由于，则， 故选：D. 变式3．（2026高二上·云南·学业考试）已知，若是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是第二象限角，所以. 故选：A. 考向二 商数关系的应用 变式1．（25-26高二下·贵州·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以. 变式2．（25-26高一下·河北保定·开学考试）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点，所以． 故. 变式3．（25-26高一上·广东广州·月考）若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【详解】由，可得， 则 考向三 和的关系 变式1．（25-26高三上·湖南邵阳·期中·多选）已知，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由，得：，即，所以，所以A正确； 又，，所以，则，所以，所以B错误； 联立，解得：，，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：AC 变式2．（24-25高一下·河南南阳·月考·多选）已知在中，，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由题意知，化简得， 解得，因为在中,所以，即， 因为，所以， 联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确. 故选：CD. 2 学科网（北京）股份有限公司 $