7.2.3　同角三角函数的基本关系式（知识梳理+题型归纳+同步训练）导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2.3　同角三角函数的基本关系式（解析版） 知识点　同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数关系 tanα＝ 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 【拓展】 (1)同角三角函数的基本关系式的变形形式 ①平方关系的变形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. ②商数关系的变形：sinα＝cosαtanα，cosα＝. (2)对同角三角函数的基本关系式的理解 ①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. ②sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. ③约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式． 题型一　三角函数求值 角度1　sinα，cosα，tanα的知一求二问题 【例1】（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 【答案】（1）（2）答案见解析. 【详解】（1）由，得①，又②， 由①②得，即，又是第三象限角， ，. （2），是第二或第三象限的角， 如果是第二象限角，那么，. 如果是第三象限角，同理可得，. 【练】（1）已知，求，的值. (2)已知tanα＝，求sinα的值． 【详解】（1）因为，所以角是第三或第四象限角， 若角是第三象限角，则，； 若角是第四象限角，则，. （2）由tanα＝，得＝， 即2sinα＝cos2α＋sin2α＝1，解得sinα＝. 【感悟提升】　sinα，cosα，tanα的知一求二问题的解决方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 角度2　已知tanα，求sinα，cosα齐次式的值 【例2】（1）已知，则______ 【答案】 【详解】已知，则. （2）若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】.故选：A （3）若，则= . 【答案】 【详解】，故答案为： （4）已知，则 . 【答案】 【详解】由，可得，解得， 所以，故答案为： 【练1】已知，求的值． 【详解】因为，所以. 【练2】计算：已知， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】因为，所以， （1）； （2）. 【练3】已知sin2α－cos2α＝，求的值． 【详解】∵sin2α－cos2α＝， ∴＝. 将分子分母同时除以cos2α，得＝， 解得tan2α＝3. ∴＝＝－. 【感悟提升】　已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 角度3 切化弦求值 【例3】如果角θ满足sinθ＋cosθ＝，那么tanθ＋的值是(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【详解】∵sinθ＋cosθ＝，∴1＋2sinθcosθ＝2，即sinθcosθ＝， ∴tanθ＋＝＋＝＝2.故选D. 【练】已知，且，则______ 【详解】⸪且，两边同时除以 可得，解得 由 角度4 利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值 【例4】角为△ABC的内角，且，则 【答案】 【详解】由两边平方得， ，⸫. 故答案为： 【练1】已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 又，所以.故选：B 【练2】．已知角满足，则 . 【答案】 【分析】对已知条件进行平方，先求出，再由角的象限判断，计算可得出结论. 【详解】由，得，所以. 又由，知，由，得， 所以，所以， 所以 故答案为： 【练3】．已知，是关于的一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【详解】，是关于的一元二次方程的两根， 则，即， ，则， ，则．故答案为：． 【练4】．已知. (1)求sin θcos θ的值； (2)求sin3θ＋cos3θ的值． 【答案】(1)－. (2) 【详解】（1）由已知，两边平方得. 因为，所以. （2）由立方和公式. 【感悟提升】　已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题的解题方法 已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ； (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ； (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2； (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． 题型二　利用同角三角函数的基本关系式化简 角度1根式型化简 【例1】化简（1） （α为第二象限角）（2） 【详解】（1）因为， 且为第二象限角， 所以，故答案为： （2）由， 由于，则，则原式. 【练1】化简：； 【详解】, 因为， 所以原式； 【练2】化简：，其中α是第二象限角； 【答案】 【详解】， 又因为是第二象限角，所以, 所以； 角度2 高次型化简 【例2】化简下列各式 (1)； (2) 【详解】（1） ； （2） 【练1】=______ 【详解】 . 【练2】化简=______ 【详解】 【练3】化简=_________ 【详解】 【感悟提升】　利用同角三角函数关系化简的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称，便于约分化简． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简． 题型三　三角恒等式的证明 角度1 普通恒等式的证明 【例1】求证：． 【详解】方法一：左边 右边． 方法二 ： ， 因为， 【练1】证明：. 【详解】证明： 左边右边，得证. 【练2】求证：（1）； (2). 【详解】（1）证明：等式左边 =右边，得证 （2）等式左边=右边，得证. 角度2条件恒等式的证明 【例2】已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 【详解】证明：证法一：由tan2α＝2tan2β＋1，得tan2β＝(tan2α－1)， 即＝，故有＝＝×， 整理得＝，即sin2β(1－sin2α)＝(1－sin2β)， 展开得sin2β＝sin2α－， 即sin2β＝2sin2α－1. 证法二：∵tan2α＝2tan2β＋1， ∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)．∴＝2·. ∴＝. ∴cos2β＝2cos2α， ∴1－sin2β＝2(1－sin2α)．∴sin2β＝2sin2α－1. 【练1】．已知：，，求证：． 【详解】右边= 左边. 【练2】已知，求证：． 【详解】设，，则，， 由，得，即． 所以，故． 【感悟提升】 1．简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边． (2)证明左、右两边等于同一个式子． (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 2．条件三角恒等式的证明方法 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面，但应注意条件的利用，常用方法有： (1)直推法：从条件直推到结论． (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明． (3)换元法． 一、单选题 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且， 所以，则，故选：C 2．已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为所以角是第三象限角或第四象限角， 又因为，所以，即角是第一象限角或第四象限角， 综上可得：角终边所在的象限为第四象限，故选：D. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】则， .故选：B 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】原式， 因为，则，所以上式.故选：A 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦化切可求出的值，再将所求代数式化为，代入即可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 可得. 故选：A. 二.多选题 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以， ， 所以，故A正确； 对于B，由已知可得， 因为， 所以，故B错误； 对于C，D，由， 可得，所以，故C，D都正确． 故选：ACD 7．下列计算或化简结果正确的是（    ） A．若 B．若，则 C．若，则 D．若为第二象限角，则 【答案】ABD 【详解】对于A，  ，正确； 对于B， ，正确； 对于C， ，错误； 对于D， ，正确； 故选：ABD. 3． 填空题 8．已知，，其中，则的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以，解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，.故答案为：. 9．已知 ，且 ，则 . 【答案】 【详解】因为 ，所以， 所以原式 ，所以 ，故答案为： 四．解答题 10．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， 解得， 所以， 因为角为第二象限角，，所以， 所以由解得. 所以， 所以. 11．化简下列各式： (1) ＋ (α是第三象限角)； (2). 解：(1)原式＝ ＋ ＝－＝－. (2)解法一：原式＝ ＝＝. 解法二：原式＝ ＝ ＝ ＝＝. 解法三：原式＝ ＝ ＝＝＝. 12．已知，则的值为____ 【答案】 【详解】因为，且，所以.故选：A 13．已知，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，所以.故选：A. 14．在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 【详解】（1）依题意，，解得或， 则当时，， 当时，， （2）， 因为①，两边平方得，即， 所以， 因为角的终边与单位圆交于点，且， 所以， 又，故，故， 所以②， 由①②解得：，，所以点P的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3　同角三角函数的基本关系式（学生版） 知识点　同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 ________________ 同一个角α的正弦、余弦的________等于1 商数关系 __________________ 同一个角α的正弦、余弦的________等于角α的正切 【拓展】 (1)同角三角函数的基本关系式的变形形式 ①平方关系的变形：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. ②商数关系的变形：sinα＝cosαtanα，cosα＝. (2)对同角三角函数的基本关系式的理解 ①同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义： 一是“角相同”， 二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. ②sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. ③约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式． 题型一　三角函数求值 角度1　sinα，cosα，tanα的知一求二问题 【例1】（1）已知，且是第三象限角，求，的值. （2）已知，求，的值. 【练】（1）已知，求，的值. (2)已知tanα＝，求sinα的值． 【感悟提升】　sinα，cosα，tanα的知一求二问题的解决方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 角度2　已知tanα，求sinα，cosα齐次式的值 【例2】（1）已知，则______ （2）若，则的值为（   ） A．2 B． C． D． （3）若，则= . （4）已知，则 . 【练1】已知，求的值． 【练2】计算：已知， （1）求的值； （2）求的值. 【练3】已知sin2α－cos2α＝，求的值． 【感悟提升】　已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的值的方法 (1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 角度3 切化弦求值 【例3】如果角θ满足sinθ＋cosθ＝，那么tanθ＋的值是(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 【练】已知，且，则______ 角度4 利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值 【例4】角为△ABC的内角，且，则 【练1】已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【练2】．已知角满足，则 . 【练3】．已知，是关于的一元二次方程的两根，则 ． 【练4】．已知. (1)求sin θcos θ的值； (2)求sin3θ＋cos3θ的值． 【感悟提升】　已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题的解题方法 已知sinα±cosα，sinαcosα的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有： (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ； (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ； (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2； (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． 题型二　利用同角三角函数的基本关系式化简 角度1根式型化简 【例1】化简（1） （α为第二象限角）（2） 【练1】化简：； 【练2】化简：，其中α是第二象限角； 角度2 高次型化简 【例2】化简下列各式 (1)； (2) 【练1】=______ 【练2】化简=______ 【练3】化简=_________ 【感悟提升】　利用同角三角函数关系化简的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称，便于约分化简． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简． 题型三　三角恒等式的证明 角度1 普通恒等式的证明 【例1】求证：． 【练1】证明：. 【练2】求证：（1）； (2). 角度2条件恒等式的证明 【例2】已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 【练1】．已知：，，求证：． 【练2】已知，求证：． 【感悟提升】 1．简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边． (2)证明左、右两边等于同一个式子． (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 2．条件三角恒等式的证明方法 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面，但应注意条件的利用，常用方法有： (1)直推法：从条件直推到结论． (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明． (3)换元法． 一、单选题 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知则角终边所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C．1 D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 二.多选题 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．下列计算或化简结果正确的是（    ） A．若 B．若，则 C．若，则 D．若为第二象限角，则 3． 填空题 8．已知，，其中，则的值为 . 9．已知 ，且 ，则 . 四．解答题 10．（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 11．化简下列各式： (1) ＋ (α是第三象限角)； (2). 12．已知，则的值为____ 13．已知，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 14．在平面直角坐标系xOy中，角以轴的正半轴为始边. (1)若点为角终边上一点，且，求的值； (2)若终边与单位圆交于点，且，满足，求的值及的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $