8.3 三角形的中位线 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

第八章 四边形 第八章 四边形 知识点6 三角形的中位线 直角三角形斜边上的中线（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°，AB=5cm，D是AC的中点，则BD的长为 ． 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，CE⊥AB于点E．若CE=5，CD=6，则△ABC的面积是 ． 3.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB=AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF=3．则AC的长为 ． 第1题图 第2题图 第3题图 4.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M，N分别是BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE； （2）若∠A=60°，BC=12，求MN的值． 5.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF=EF． （1）求证：AD=CE． （2）若AD=5，AC=6，求△BDE的面积． 第八章 四边形 直角三角形斜边上的中线（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF=3，则BC的长为 ． 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，连接AD．分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB=12，AC=16，则DF的长为 ． 第1题图 第2题图 3.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB=∠ADB=90°，M为边AB的中点， 连接MC，MD． （1） 求证：MC=MD； （2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数． 4.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB=8，AC=6． （1）求四边形AEDF的周长； （2）若∠BAC=90°，求四边形AEDF的面积． 5.解答下列各题． （1）如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON． （2）如图2，若P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点，问∠MDN与∠MON有何数量关系，并说明理由． 第八章 四边形 含30°角的直角三角形（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC=120°，AD=4，则BC的长为 2.如图，在△ABC中，∠A=30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF=2DE=2，连接CE、EB，若BE=EC，则CF的长为 第1题图 第2题图 3.如图，DE是△ABC的边AB上的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B=30°． （1）求∠C的度数； （2）若DE=1，求EC的长． 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP=2cm/s，VQ=1cm/s，当点P到达点B时， P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． （1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ （2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD． 第八章 四边形 含30°角的直角三角形（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=2，则CE的长为 ． 2.若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB=90°，∠ABC=60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 °． 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为 ． 4.如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE=3AE． 5.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，E为边AC上一点，连接DE，EC=ED，过点E作EF⊥AB， 垂足为F． （1） 判断DE与BC的位置关系，并说明理由； （2）若∠A=30°，∠ACB=80°，求∠DEF的度数． 6.已知：如图，在△ADC中，AD=CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E， 连接BE． （1）求证：CE=CB； （2）若∠CAE=30°，CE=2，求BE的长度． 第八章 四边形 三角形的中位线（一） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，AD是△ABC的角平分线，点E为AC的中点，连结DE．若AB=AC=10，BC=8，则△CDE的周长为 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，F是DE上一点，连接AF和CF，∠AFC=90°．若DF=1，AC=6，则BC的长度为 ． 4.如图已知，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，连接MN，如果AB=10，BC=15，MN=3，求△ABC的周长． 5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC上的点，连接BE、DE，∠ADE=∠AED，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．求证：FG=FH． 6.如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H． 求证：（1）∠BDF=∠BAC； （2）DF=EH． 7.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF=∠BGF． 第八章 四边形 三角形的中位线（二） 计算大冲关 （难度等级 ） 1.如图，D是△ABC的边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，且AB=10cm，DE=2cm，则AC的长为 cm． 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角平分线于点F，则线段DF的长为 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD=5，BC=8，则DE= 4.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=CF． 5.如图所示，AB，CD交于点E，AD=AE，CE=BC，F，G，H分别是DE，BE，AC的中点． 求证：（1）AF⊥DE． （2）∠HFG=∠FGH． 6.一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M， N，求证：△OMN是等腰三角形． 直角三角形斜边上的中线（一）参考答案 1 1.解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=60°， ∴∠C=90°-60°=30°， ∵AB=5cm， ∴AC=2AB=10cm， 在Rt△ABC中，D是AC的中点， ∴BD=AC=5cm 故答案为：5． 2.解：在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点， ∴AB=2CD， ∵CD=6， ∴AB=12， ∵CE⊥AB于点E，CE=5， ∴△ABC的面积=AB•CE=×12×5=30 故答案为：30． 3.解：连接AF， ∵AB=AD，F为BD的中点， ∴AF⊥BD，即∠AFC=90°， ∵E为AC的中点， ∴EF=AC， ∵EF=3， ∴AC=6， 故答案为：6． 4.（1）证明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M是BC的中点， ∴MD=ME=BC， ∴点N是DE的中点， ∴MN⊥DE； （2）解：∵MD=ME=BM=CM， ∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， ∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°， ∴∠DME=60°， ∴△MED是等边三角形， ∴DE=DM，有（1）知DM=BC=6， ∴DE=6， ∵N是DE的中点， ∴DN=DE=3， ∴MN=． 5.（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD=AD=AB， ∵CF⊥DE，DF=EF． ∴CE=CD， ∴AD=CE． （2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，AD=5， ∴AB=2AD=10， ∵AC=6， ∴BC=8， 由（1）知，CE=CD=AD=5， ∴BE=BC+EC=13， ∴S△ABE=BE•AC=×13×6＝39， ∵点D是AB的中点， ∴△BDE的面积=S△ABE=． 直角三角形斜边上的中线（二）参考答案 1.解：∵CB=BE，DF=FE， ∴CD=2BF=6， ∵AD==DB，∠ACB=90°， ∴AB=2CD=12， ∴BC=， 故答案为：． 2.解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点， ∴AD=CD，AE=EC=AD，AE=EC=AD=CD， ∴四边形ADCE是菱形， 如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB=12，AC=16， ∴BC=20， ∴AH=， ∵四边形ADCE是菱形， ∴CD=CE， ∴S菱形ADCE=EC•DF=CD•AH， ∴DF=AH=． 故答案为． 3.（1）证明：∵∠ACB=∠ADB=90°，M为边AB的中点， ∴MC=AB，MD=AB， ∴MC=MD； （2）解：∵MC=MD=AB=AM=BM， ∴∠BAC=∠ACM，∠ABD=∠BDM， ∴∠BMC=2∠BAC，∠AMD=2∠ABD， ∵△MCD是等边三角形， ∴∠DMC=60°， ∴∠BMC+∠AMD=120°， ∴2∠BAC+2∠ABD=120°， ∴∠BAO+∠ABO=60°， ∴∠AOB=180°-60°=120°． 4.解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵E、F分别是AB、AC的中点，AB=8，AC=6， ∴DE=AB=4，DF=AC=3，AE=4，AF=3， ∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=14； （2）△ABC的面积=×AB×AC=24， ∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴△ADE的面积=△BDE的面积，△ADF的面积=△CDF的面积， ∴四边形AEDF的面积=×△ABC的面积=12． 5.（1）证明：∵PM⊥OA， ∴∠OMP=90°， 在Rt△OMP中，D是OP的中点， ∴DM=OP=DO， ∴∠DMO=∠DOM， ∴∠MDP=2∠MOP， 同理可知，∠NDP=2∠NOP， ∴∠MDN=∠MDP+∠NDP=2∠MON； （2）解：∠MDN=2∠MON． 理由如下：如图2，∵PM⊥OA， ∴∠OMP=90°， 在Rt△OMP中，D是OP的中点， ∴DM=12OP=DO， ∴∠DMO=∠DOM， ∴∠MDP=2∠MOP， 同理可知，∠NDP=2∠NOP， ∴∠MDN=∠NDP-∠MDP=2∠MON． 含30°角的直角三角形（一） 1.解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠C=∠B=30°， ∵AD⊥AB交BC于点D， ∴BD=2AD=8，∠CAD=30°=∠B， ∴CD=AD=4， ∴BC=BD+CD=8+4=12． 故答案为：12． 2.解：如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G． 在△ABC中，∠CAB=30°，FD垂直平分AB，EF=2DE=2， ∴FD=3DE=3，AF=2FD=6，AE=BE， ∵BE=EC， ∴AE=EC， ∴GF=EF=1，AG=GC=5， ∴CF=GC-GF=5-1=4． 故答案为：4． 3.解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线， ∴AE=BE． ∴∠B=∠BAE=30°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠EAC=30°， ∴∠ACB=90°． （2）∵AE平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB， ∴EC=ED=1． 4.解：在△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°． ∵4÷2=2， ∴0≤t≤2，BP=4-2t，BQ=t. （1）当BP=BQ时，△PBQ为等边三角形． 即4-2t=t． ∴t＝． 当t＝时，△PBQ为等边三角形； （2）若△PBQ为直角三角形， ①当∠BQP=90°时，BP=2BQ， 即4-2t=2t， ∴t=1． ②当∠BPQ=90°时，BQ=2BP， 即t=2（4-2t）， ∴t＝． 即当t＝或t=1时，△PBQ为直角三角形． 5.证明：如图，连接AD， ∵直线MN是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴∠DAB=∠B， 又∵∠B=30°， ∴∠DAB=30°， 又∵AB=AC，∠B=30°， ∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°， ∴∠DAC=90°， 又∵∠C=30°， ∴CD=2AD， 又∵AD=BD， ∴CD=2BD． 含30°角的直角三角形（二） 1.解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高， ∴∠BCD=∠A=30°， ∵BD=2， ∴BC=4， ∴AB=8， ∴AD=AB-BD=6． 故答案为：6． 2.解：∵直线DE是线段BC的垂直平分线， ∴EA=EC， ∴∠ECD=∠B=30°， 在Rt△EDC中，∠ECD=30°，ED=2， ∴CE=2ED=4 故答案为：4． 3.解：∵∠CAB=90°，∠ABC=60°， ∴∠C=90°-∠ABC=30°． 当△ADC是“和谐三角形”时，分三种情况： ①当∠ADC=3∠C时，∠ADC=90°， ∴∠CAD=90°-∠C=60°， ∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=30°； ②当∠C=3∠CAD时，∠CAD=10°， ∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=80°； ③当∠ADC=3∠CAD时， ∵∠ADC+∠CAD=180°-∠C=150°， ∴∠CAD=×150°=37.5°， ∴∠DAB=∠CAB-∠CAD=52.5°． 综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°． 故答案为：30°或80°或52.5°． 4.证明：如图，连接AD， ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠C=（180°-120°）=30°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE=∠C=30°， 在Rt△ADE中，AD=2AE， 在Rt△ACD中，AC=2AD=4AE， ∴CE=AC-AE=4AE-AE=3AE，即CE=3AE． 5.解：（1）DE∥BC， 理由如下：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∵EC=ED， ∴∠ACD=∠EDC， ∴∠BCD=∠EDC， ∴DE∥BC； （2）∵EF⊥AB，∠A=30°， ∴∠AEF=60°， ∵∠ACB=80°，DE∥BC， ∴∠AED=∠ACB=80°， ∴∠DEF=∠AED-∠AEF=80°-60°=20°． 6.解：（1）证明：∵AD=CD， ∴∠DAC=∠DCA， ∵AB∥CD， ∴∠DCA=∠CAB， ∴∠DAC=∠CAB， ∴AC是∠EAB的角平分线， 又∵CE⊥AD，CB⊥AB， ∴CE=CB． （2）解法一：∵AC是∠EAB的角平分线， ∴∠EAB=2∠CAE=60°， ∵∠DCA=∠DAC=30°， ∴∠EDC=∠DCA+∠DAC=60°， ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠ECD=30°， ∵CB⊥AB， ∴∠CBA=90°， ∵AB∥CD， ∴∠CBA+∠DCB=180°， ∴∠DCB=90°， ∴∠ECB=∠ECD+∠DCB=120°， ∵CE=CB=2， ∴∠CBE=∠CEB=（180°-∠ECB）=30°， ∴∠EBA=60°， ∴∠AEB=∠EAB=∠ABE=60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE=AB； 在Rt△ABC中， ∵BC⊥AB，∠CAB=30°， ∴AC=2BC=4， ∴AB=， ∴BE=． 解法二：在Rt△ACE与Rt△ACB中， ∵AC=AC，CE=CB， ∴Rt△ACE≌Rt△ACB（HL）， ∴AE=AB． ∵AC是∠EAB的平分线， ∴∠EAB=2∠CAE=60°， ∴△AEB是等边三角形， ∴BE=AB；在Rt△ABC中， ∵BC⊥AB，∠CAB=30°， ∴AC=2BC=4， ∴AB=， ∴BE=． 三角形的中位线（一） 1.解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，BC=8， ∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4， 在Rt△ADC中，点E为AC的中点， ∴DE=CE=AE=AC=5，AC=10， ∴△CDE的周长=CD+CE+DE=14， 故答案为：14． 2.解：∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠GAF=∠CAF， ∵CG⊥AD， ∴∠AFG=∠AFC=90°， 在△AFG和△AFC中， ∴△AFG≌△AFC（ASA）， ∴GF=FC，AG=AC=6， ∴GB=AB-AG=2， ∵GF=FC，BE=EC， ∴EF=GB=1 故答案为：1． 3.解：在Rt△AFC中，点E是边AC的中点，AC=6， ∴EF=AC=3， ∴DE=DF+EF=3+1=4， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴BC=2DE=8 故答案为：8． 4.解：延长BN交AC于D， 在△ANB和△AND中， ∴△ANB≌△AND（ASA）， ∴AD=AB=10，BN=ND， ∵BM=MC， ∴DC=2MN=6， ∴AC=AD+DC=16， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+15+16=41， 即△ABC的周长是41． 5.证明：∵∠ADE=∠AED， ∴AD=AE， ∵AB=AC， ∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE， ∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点， ∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线， ∴FG=BD，FH=CE， ∴FG=FH． 6.证明：（1）∵D、F分别是AB、BC边中点， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AC，DF=AC， ∴∠BDF=∠BAC； （2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点， ∴EH=AC， ∴DF=EH． 7.证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP， ∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点， ∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线， ∴PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC， ∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP， ∵AD=BC， ∴PE=PF， ∴∠PEF=∠PFE， ∴∠AHF=∠BGF． 三角形的中位线（二） 1.解：延长AC、BE交于点F， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， 在△AEB和△AEF中， ∴△AEB≌△AEF（ASA）， ∴AF=AB=10（cm），BE=EF， ∵BD=DC，DE=2cm， ∴CF=2DE=4（cm）， ∴AC=AF-CF=6（cm）， 故答案为：6． 2.解：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得到：AC=5 ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC=1.5，DE∥BC，EC=AC=2.5， ∴∠EFC=∠FCM， ∵CF是∠ACM的平分线， ∴∠ECF=∠FCM， ∴∠EFC=∠ECF， ∴EF=EC=2.5， ∴DF=DE+EF=1.5+2.5=4， 故答案是：4． 3.解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC， ∴DE∥AC， ∵点D是AB的中点， ∴E是BC的中点，AB=2CD=10， ∴AC=2DE， ∵BC=8， ∴AC=6 ∴DE=3． 故答案为3． 4.证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF=∠EDG， ∵AD是△ABC的中线， ∴D为BC中点， ∴G为BF中点， ∴DG=CF， ∵E为AD中点， ∴AE=DE， 在△AEF和△DEG中， ∴△AEF≌△DEG（ASA）， ∴DG=AF， ∴AF=CF． 5.证明：（1）∵F为DE中点，AD=AE， ∴AF为△ADE的高．即AF⊥DE． （2）连接CG， ∵CB=CE，G为BE中点， ∴CG⊥BE． ∴∠AFC=∠AGC=90°． 又∵H为AC中点， ∴FH=AC，GH=AC． ∴FH=GH． ∴∠HFG=∠FGH． 6.证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ， ∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点， ∴EQ∥BD，EQ=BD，FQ=AC，FQ∥AC， ∴∠QEF=∠OMN，∠QFE=∠ONM， ∵AC=BD， ∴QE=QF， ∴∠QEF=∠QFE， ∴∠OMN=∠ONM， ∴OM=ON，即△OMN是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $