精品解析：山东青岛市青岛西海岸新区第六初级中学等校2025-2026学年下学期八年级第一次单元检测数学试题

八年级第一次单元检测数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）×180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 （n﹣2）×180°=2×360， 解得：n=6． 即这个多边形为六边形． 故选B． 2. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，过点D作直线，分别交AC和AB于点E，H．则下列结论中错误的是（ ） A. ∠HEC＞∠B B. ∠B＋∠ACB＝180°－∠A C. ∠B＋∠ACB＜180° D. ∠B＞∠ACD 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的一个内角，根据以上定理逐个判断即可． 【详解】解：A、∵∠HEC＞∠AHD，∠AHD＞∠B， ∴∠HEC＞∠B，故本选项不符合题意； B、∵∠B+∠ACB+∠A=180°， ∴∠B+∠ACB=180°-∠A，故本选项不符合题意； C、∵∠B+∠ACB+∠A=180°， ∴∠B+∠ACB＜180°，故本选项不符合题意； D、∠B＜∠ACD，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 3. 如图，在中，，平分交AC于点D，交的延长线于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，先利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用等腰三角形的性质可得，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， 故选：B． 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 5. 在解不等式的下列过程中，错误的一步是（ ） A. 去分母得 B. 去括号得 C. 移项得 D. 系数化为1得 【答案】D 【解析】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐项分析即可. 【详解】， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得-x>-13， 系数化为1得. 故选D. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.去括号时，不要漏乘没有分母的项；系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 6. 用反证法证明“a1,a2,a3,a4,a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5=1，那么这五个数中至少有一个大于或等于”时，应先假设（　　） A. 这五个数都大于 B. 这五个数都等于 C. 这五个数都小于 D. 这五个数中至少有一个大于或等于 【答案】C 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】根据反证法的步骤，则 应先假设这五个数都小于． 故选C． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 7. 如图，观察图象，可以得出不等式组解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，找出两条直线都在x轴上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于，直线与x轴交于， ∴不等式组，即的解集是． 8. 已知一次函数中，x取不同值时，y对应的值列表如下： x … 2 3 … y … 0 … 则不等式（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握表格数据信息，一次函数的增减性，是解决本题的关键．根据表格中数据知一次函数中y随x的增大而增大，得出不等式（其中k，b，m，n为常数）的解集为． 【详解】解：由表格可得，时，，时，， ∵，， ∴一次函数中y随x的增大而增大， ∴时， (其中k，b，m，n为常数)． 故选：A． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，在中，，，于点，若，则的长度为 __________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形得到，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据周角的定义求出正多边形③的每一个内角都是144°，由多边形的每一个内角都是144°先求得它的每一个外角是36°，然后根据正多边形的每个内角的度数×边数＝360°求解即可． 【详解】解：360°−108°−108°＝144°， 180°−144°＝36°， 360°÷36°＝10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角与外角，明确正多边形的每个内角的度数×边数＝360°是解题的关键． 11. 如图，在四边形ABCD中，，E为BC上的一点，且，，，，则AD＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据和，，得出，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质和勾股定理，解题关键是得出△ADE是直角三角形，熟练运用勾股定理进行． 12. 如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点的周长等于，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：在中，的垂直平分线交于点， 交于点， ∴， ∴. 又∵的周长等于， 即， ∴， 故答案为：． 13. 若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． 14. 若点（m-3,m+2）在第二象限，则m的取值范围是_______________． 【答案】-2<m<3 【解析】 【详解】让点P的横坐标小于0，纵坐标大于0列式求值即可．  解：∵点P（m-3，m+2）在第二象限， ∴m-3＜0，m+2＞0， 解得：-2＜m＜3．故填：-1＜m＜3．  “点睛” 本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 15. 如图，四边形中，，．延长、，得到，已知，，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用大直角三角形的面积减去小直角三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形面积 ． 16. 已知题目：解关于x的不等式组，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处数字的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设“□”处是a，根据题意可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：设“□”处是a， 由题意得： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：□ 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个等边三角形，使得D，E两点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，等边对等角等等，作线段的垂直平分线交于D，再以C为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求． 【详解】解；如图所示，作线段的垂直平分线交于D，再以C为圆心，的长为半径画弧交于E，则即为所求； 可得，则， 由，则是等边三角形． 18. 按要求解题： （1）解不等式：； （2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （3）解不等式组：． （4）解不等式组：，并把解集数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴见解析 （3） （4），数轴见解析 【解析】 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为步骤计算即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为步骤计算即可； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （4）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项，得， ； 【小问2详解】 解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ； 该不等式的解集在数轴上表示为： 【小问3详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 【小问4详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示为： 19. 如图，已知中，，求证：． 证明：由，可在上截取，连接． …… 请你完成证明过程． 【答案】见解析 【解析】 【分析】在上截取，连接，利用三角形的外角定理进行证明． 【详解】证明：在上截取，连接， ， 是的外角， ， ， ， ． 20. 今年6月初三（1）班同学毕业合影留念，拍摄一张宽幅彩色合影需支付底片费及摄影师劳务费合计58元；冲印一张彩照需3.5元，每位同学预定1张，惠赠6张母校留存；结果参加合影同学分摊的费用没超过5元，问参加合影的同学至少有多少人 【答案】参加合影的同学至少有53人 【解析】 【分析】首先设参加合影的同学有x人，根据题意可得不等关系：底片费及劳务费58元+冲印相片的数量×3.5≤5元×人数，根据不等关系列出不等式即可． 【详解】设参加合影的同学至少有x人，依题意得 解得， 因为x是整数，所以x=53. 答：参加合影的同学至少有53人. 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式． 21. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后由直角三角形的锐角互余得到，结合对顶角相等，即可根据等角对等边证得结论； （2）根据已知条件可知是等边三角形，进而得到，由30度角所对直角边等于斜边的一半得到，然后根据线段的和差运算即可求得的长，从而得到的长度． 小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 22. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】（1）原计划租用种客车辆，这次研学去了人 （2）共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， （3）租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算 【解析】 【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划租用种客车辆，根据题意得， ， 解得： 所以（人） 答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人； 【小问2详解】 解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得 解得：， ∵为正整数，则， ∴共有种租车方案， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， 【小问3详解】 ∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元， ∴种客车越少，费用越低， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， ∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键． 23. 阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； （2）若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； （3）如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 【答案】（1）是“倍角三角形”，理由见解析 （2） （3）的度数为或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定及性质，弄清定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）分别求出的三个内角，再由定义进行判断即可； （2）设最小内角为，另一个内角为，分两种情况讨论：当时，（不符合题意，舍去）；当时，； （3）证明，再分两种情况讨论：当时，；当时，． 【小问1详解】 解：“倍角三角形”， 理由如下： 在中，， ∴， ∴，即， ∴是“倍角三角形”； 【小问2详解】 解：设最小内角为，另一个内角为， 当时，， ∴（不符合题意，舍去）； 当时，则， 解得； 综上所述：最小内角为的度数为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是“倍角三角形”， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述：的度数为或． 24. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）， （3）① ②存在，或或或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，等腰三角形的定义，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）观察图象即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间，即可求解； ②分三种情况：当时， 当时， 当时，分别 求解即可． 【详解】解：（1）观察图象知，不等式的解集是， （2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为：，不等式的解是 （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点、之间， 联立两个一次函数得：， 解得：，即点， 令，则，即点； 故不等式组的解集为； ②存在，理由： 令，则，解得：， ∴ ∵ ∴ 设点， ∴，， 分三种情况：I）当时， ∴ 解得： ∴或， II）当时， ∴ 解得：，（舍去） ∴ III）当时，过点P作轴于D， ∴， ∴ ∴， ∴ 综上，或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第一次单元检测数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如图，∠ACD是△ABC的一个外角，过点D作直线，分别交AC和AB于点E，H．则下列结论中错误的是（ ） A. ∠HEC＞∠B B. ∠B＋∠ACB＝180°－∠A C. ∠B＋∠ACB＜180° D. ∠B＞∠ACD 3. 如图，在中，，平分交AC于点D，交的延长线于点E．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 在解不等式的下列过程中，错误的一步是（ ） A. 去分母得 B. 去括号得 C. 移项得 D. 系数化为1得 6. 用反证法证明“a1,a2,a3,a4,a5都是正数，且a1+a2+a3+a4+a5=1，那么这五个数中至少有一个大于或等于”时，应先假设（　　） A 这五个数都大于 B. 这五个数都等于 C. 这五个数都小于 D. 这五个数中至少有一个大于或等于 7. 如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数中，x取不同值时，y对应的值列表如下： x … 2 3 … y … 0 … 则不等式（其中k，b，m，n为常数）的解集为（ ） A. B. C. D. 无法确定 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9. 如图，在中，，，于点，若，则的长度为 __________ ． 10. 如图所示是三个边长相等的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，正多边形①和②的内角都是108°，则正多边形③的边数是______． 11. 如图，在四边形ABCD中，，E为BC上一点，且，，，，则AD＝______． 12. 如图，在中，已知的垂直平分线交于点，交于点的周长等于，则的长为_________． 13. 若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 14. 若点（m-3,m+2）在第二象限，则m的取值范围是_______________． 15. 如图，四边形中，，．延长、，得到，已知，，则四边形的面积为_____． 16. 已知题目：解关于x的不等式组，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处数字的取值范围是______． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，求作一个等边三角形，使得D，E两点在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 按要求解题： （1）解不等式：； （2）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． （3）解不等式组：． （4）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19. 如图，已知中，，求证：． 证明：由，可在上截取，连接． …… 请你完成证明过程． 20. 今年6月初三（1）班同学毕业合影留念，拍摄一张宽幅彩色合影需支付底片费及摄影师劳务费合计58元；冲印一张彩照需3.5元，每位同学预定1张，惠赠6张母校留存；结果参加合影同学分摊的费用没超过5元，问参加合影的同学至少有多少人 21. 如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 23. 阅读下列材料并解答问题：在三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“倍角三角形”．例如：某三角形三个内角的度数分别是，这个三角形就是一个“倍角三角形”．反之，若某三角形是“倍角三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）在中，，判断是否是“倍角三角形”，并说明理由； （2）若某“倍角三角形”有一个角为，求这个“倍角三角形”的最小内角的度数； （3）如图，点在的边上，连接，作的平分线交于点，且．若是“倍角三角形”，直接写出的度数． 24. 我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是__________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为__________；不等式的解集是__________． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于不等式组的解集是__________． ②若在图像上有一动点，否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $