专题05 菱形的性质与判定重难点题型专训（3个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦菱形的定义、性质与判定三大核心知识点，以定义“有一组邻边相等的平行四边形”为基础，系统梳理菱形四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角的性质，以及四边相等、邻边相等的平行四边形、对角线垂直的平行四边形等判定方法，构建从概念到应用的学习支架。 该资料通过6大基础题型（添条件判菱形、性质证明等）与3类拓展训练（最值、翻折、存在性问题）分层设计，如翻折问题培养几何直观，存在性问题提升推理能力。课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，体现数学思维与应用意识的培养。

专题05 菱形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 添一个条件使四边形是菱形 题型二 利用菱形的性质证明 题型三 证明四边形是菱形 题型四 根据菱形的性质与判定求角度 题型五 根据菱形的性质与判定求线段长 题型六 根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 菱形的最值问题 拓展训练二 菱形的翻折问题 拓展训练三 菱形中存在性问题 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质．菱形是四边相等的四边形，因此四条边一定相等；但内角不一定相等，对角线不一定相等，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在菱形中，若，则度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键，根据菱形的对角线相互垂直且每条对角线平分一组对角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，， ∴， 故答案为： ． 知识点二：菱形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 【答案】B 【分析】利用菱形四条边相等的性质，计算菱形周长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的四条边长度相等，菱形的边长为3， ∴菱形的周长为 ． 2．（24-25九年级上·全国·月考）已知菱形的边长是5，则菱形的周长为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的四条边都相等，据此结合四边形周长计算公式可得答案． 【详解】解：∵菱形的边长是5， ∴菱形的周长为， 故答案为：． 知识点三：菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形称为菱形．菱形的四条边相等，据此判定即可． 【详解】解：选项A中四边形不是平行四边形， 选项B中，四边形的四边相等，能观察到菱形，符合题意； 选项C中是矩形， 选项D中没有四边都相等的四边形． 故选：B． 2．（2025·湖南·模拟预测）小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是_______． 【答案】四条边都相等（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，解题的关键是区分“由平行四边形判定为菱形”与“由四边形直接判定为菱形”的不同条件，明确四边形直接成为菱形需满足的核心特征． 先回顾菱形的三类判定方法：一是平行四边形一组邻边相等；二是平行四边形对角线互相垂直；三是四边形+四条边都相等（或对角线互相垂直且平分）．题目中是从“四边形”直接推导为“菱形”，需排除依赖“平行四边形”前提的判定条件，因此选择四边形直接适用的判定条件即可． 【详解】解：题目要求“四边形”直接成为“菱形”，需满足无需“平行四边形”作为前提的判定条件，因此符合要求的条件可为“四条边都相等”（或“对角线互相垂直且平分”）． 故答案为：四条边都相等（答案不唯一，合理即可）． 【经典例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·山西·月考）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，该选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，该选项符合题意； D、因为四边形是平行四边形，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以平行四边形是菱形，该选项不符合题意． 【例2】（2025·全国·模拟预测）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（25-26九年级上·四川成都·月考）在物理实验中，有一个平行四边形框架，它可以在力的作用下发生形变，在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形框架在静止状态下成为菱形框架（四条边长度相等）的是（   ） A．框架两条对角线和所受的拉力大小相等（） B．框架的边和所受的拉力大小相等（） C．框架两条对角线和相互垂直（） D．框架的边和所受的拉力方向平行（） 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法解题即可． 【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴． 故选：C ． 2．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 【答案】 【分析】本题可根据菱形的定义来求解．、分别是，的中点，那么就是三角形的中位线，同理，是三角形的中位线，因此、同时平行且等于，因此，，因此四边形是平行四边形，、是，的中点，那么，要想证明是菱形，那么就需证明，那么就需要、满足的条件． 【详解】解：当时，四边形是菱形．理由如下： 点，分别是，的中点， ，同理， ， ∵， 四边形是平行四边形． ，又可同理证得， ， ， 四边形是菱形． 故当四边形的边满足，四边形是菱形． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（或③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）解：①（或③） （2）解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【经典例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选D． 【例2】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三线合一、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 连接交于点F，由菱形的性质得，，因为，所以，根据勾股定理求得，则，然后根据这个活动衣帽架所围成的面积为求解即可． 【详解】解：连接交于点F，如图所示： ∵四边形是边长为的菱形， ∴， ∵木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，A，E间的距离为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个活动衣帽架所围成的面积． 故答案为：． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， ∵两张纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 而由四边形是菱形不能得出， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式求出对角线的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点是边的中点，延长至点，使得，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质证明是解题的关键； 根据菱形的性质可得，，进而可得，结合题意可得，即可证明，从而可得结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 证明四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形，菱形，正方形等，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理，是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】解：A．当时，平行四边形不是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得到四边形是平行四边形，则当时，四边形是菱形，然后表示出，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：由题意得，，则， ∵四边形是矩形 ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∵ ∴， 解得 ∴四边形是菱形，则的值为． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A．24 B．32 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．由，证出四边形为平行四边形，再证出，得出，则平行四边形为菱形，由菱形的性质即可得出答案． 【详解】∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∵平分，∴， ∴，∴平行四边形为菱形． ∴， ∴四边形的周长． 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 【答案】四条边相等的四边形是菱形 【分析】由折叠的性质，可得，又由为等腰三角形，即可证得，又由四条边都相等的四边形是菱形，即可判定四边形是菱形． 【详解】解：∵是沿底边翻折所得， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 故四边形为菱形的依据是： 四条边相等的四边形是菱形 3．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中． (1)尺规作图：作的垂直平分线交对角线于点，交于，连接，过点作交的垂直平分线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是菱形．完成下列填空． 证明：垂直平分， ①________，且②________， 又∵③________，， ∴④________． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②；③；④四边形是菱形 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定： （1）以点为圆心，大于的长为半径画两段弧，以点为圆心，大于的长为半径画两段弧，将弧的交点连接起来，交于于点，交于点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点，连接； （2）根据四边相等的四边形为菱形直接判定即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证：垂直平分， ，且， 又， ， ∴四边形是菱形． 【经典例题四 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点D为上一点，若，，，则的面积为________．    【答案】 【分析】由等腰三角形性质得，由三角形内角和定理得，由折叠得到，，由菱形性质得，求得，过B作于F，求出长，过C作于H，得，根据三角形面积公式可得出结论． 【详解】解：，， ， ， 将沿向下翻折得到， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 过B作于F， ， ， 过C作于H， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：．    【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形判定与性质，菱形判定与性质，等腰三角形性质，正确作出辅助线是解题关键． 1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，已知O是矩形的对角线的交点，，作//，//，与相交于点E．若四边形的周长是24，则的长为（    ） A．12 B． C． D．6 【答案】B 【分析】首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC = OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，再利用已知得出菱形的边长，即可得出答案． 【详解】∵DE//AC， CE//BD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， AC= BD， OD=BD，OC=AC，AB//CD，∠DCB = 90°， ∴OD= OC， OA= OB， ∵∠AOB=60°， ∆OAB为等边三角形， ∴∠BAC=∠DCA = 60°， ∆OCD为等边三角形， ∴DC=OD=OC， ∴平行四边形OCED为菱形， ∴OC=CE=DE=OD， ∴ OC+ CE+ DE+OD = 24， ∴OD= 24÷4= 6，DC= 6， ∴BD=6×2= 12， 在Rt∆BCD中，由勾股定理可得： BC=， 故选：B． 【点睛】本题综合考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．（24-25八年级下·山东泰安·月考）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    【答案】/100度 【分析】根据题意得出菱形，根据菱形的性质推出，根据平行线的性质得出，根据等边三角形的性质得出，根据等边对等角得出，设，根据三角形的内角和定理得出方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形的四边都相等， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由三角形的内角和定理得：， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程求解是关键． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． (1)在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，尺规作图—复杂作图，菱形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，以点D为圆心，的长为半径作圆弧交于点C，连接点A，B，C，D即可； （2）先证明四边形为平行四边形，四边形为菱形，进而得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 作，则， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． 由（1）可知四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． ∴， ∴． ∴四边形为矩形． 【经典例题五 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，涉及等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，先求出正六边形的内角以及外角，可证明为等边三角形，则，然后证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 同理可证明：四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）两张全等的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______． 【答案】15 【分析】先证四边形是菱形，再根据全等，得到．在中，根据勾股定理求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点交于点， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形是全等的矩形， ， 在和中， ， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 设， 在中，， ， 解得：， ∴菱形的面积：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键． 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】由题意可知，当垂直于菱形的一边时，有最小值，过点作于点，当点为的中点时，为的中位线，得，，证明平行四边形是矩形，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：由题意知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∵点是的中点，点是四边形边上的动点， ∴当垂直于菱形的一边时，有最小值， 过点作于点， 当点为的中点时，连接， 则为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴， 解得：， ∴， 即的最小值是． 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）在梯形中，．已知，，，则的长度为________． 【答案】9 【分析】本题考查与梯形有关的问题，平移一腰是梯形中常见的辅助线，再根据菱形的性质和直角三角形的性质进行解答． 作交于点，得到平行四边形和的直角三角形，根据它们的性质进行计算． 【详解】解：作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， 则四边形是菱形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 3．（2025·浙江湖州·三模）如图，四边形是菱形，延长到点F，使，连接交于点E． (1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明E是的中点； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意补充完整图形即可，证明，得出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，结合，得出，，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：以点为圆心，以为半径画弧交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴E是的中点 （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【经典例题六 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可得 ，从而判定四边形 为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 【例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、菱形的面积公式、三角形的中位线定理，根据中位线定理可证，根据四条边都相等的四边形是菱形可证四边形是菱形，根据菱形的面积公式即可求出四边形的面积． 【详解】解：、、、分别是边、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得出，，，在中，由勾股定理求出，得出，根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理；注意菱形的面积等于对角线乘积的一半． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，把一张矩形纸片沿对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．过点作交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠的性质得，则得，即，再由，即可证明四边形是平行四边形，从而得它是菱形； （2）在中利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理求得菱形的边长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，即，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， 即， 则菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识，熟练运用这些知识是解题的关键． 【拓展训练一 菱形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，分析出当菱形面积最大时的图形是解题的关键；由于菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定，当底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大，据此画图，设，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理列方程求，再根据菱形的面积求解即可． 【详解】解：∵菱形的高是矩形的宽，即菱形的高一定， ∴当菱形的底最大时，菱形的面积最大，即当两矩形对角线重合时面积最大， 如图，此时菱形的面积最大， 由题意知：，，， 设， 四边形是菱形， ， ， ， ， 解得， ， 菱形的最大面积为， 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是___________，菱形周长的最大值是___________． 【答案】 12 20 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，由，得到菱形的周长，据此可得最小值；当矩形的一条对角线与菱形的对角线重合时，菱形的周长最大，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中， ∵大于等于矩形纸条的宽， ∴， ∴菱形的周长， ∴菱形的周长的最小值为12； 如图所示，当矩形的一条对角线与菱形的对角线重合时，菱形的周长最大， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的周长的最大值为1； 故答案为：12；20． 1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（    ） A．18 B．28 C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，交的延长线于点，根据的最值分别得到，，利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再利用面积公式计算． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点， 当M运动到点D，N运动到点B时，最大， ∴， 当时，最小， ∴， ∴， 在菱形中，，设， 则， 在中，，即， 解得：，即， ∴菱形的面积为， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为_______，最大值为_______． 【答案】 / / 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的性质结合勾股定理求得，当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵点O为对角线的中点， ∴经过点O， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点在以点O为圆心，长度为的， ∴当点，点，点O在同一直线上时，有最小值或最大值， 当点在点上方时，有最小值为； 当点在点下方时，有最大值为； 故答案为：；． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）小明在学习完中心对称图形后，对课本上的几种图形展开探究，他尝试用两张长为9，宽为3的矩形纸片叠放在一起，得到如图所示的四边形，请你帮助．小明解答以下问题： (1)试说明四边形是菱形． (2)四边形面积的最小值为___________，最大值为___________． (3)请利用无刻度直尺和圆规，在给出的矩形中作一个面积最大的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)9，15 (3)见解析 【分析】（1）由，可得四边形是平行四边形．然后分别过点A、B作于F，于E．又由两张矩形纸片的宽度相等，即可得，又由面积问题，可得，即可得四边形为菱形； （2）结合题意知，菱形的面积为，当取最小值时，，所以，面积的最小值为9，当旋转至如图位置时，取得最大值，设，在中，利用勾股定理列方程，即可求解； （3）结合（2）可知，在矩形中所作的面积最大的菱形的较长得对角线与该矩形的对角线重合，再作对角线的垂直平分线即可； 【详解】（1）证明：如图，分别过点A、B作于F，于E． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵两张矩形纸片的宽度相等， ∴， 又∵， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵是菱形， ∴， ∴， 当越小时，越小，菱形的面积越小， ∴时，取最小值3，菱形的面积最小值为9， 当越大时，越大，菱形的面积越大， ∴旋转如图位置时，如图，此时取最大值， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时菱形的面积取得最大值为15， 故答案为：9，15； （3）如图所示，四边形即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，菱形的判定与性质，还考查了矩形的性质，勾股定理，方程思想，动态条件下的面积最值问题，将面积的最值问题转化成线段的最值问题，是解决本题的关键． 【拓展训练二 菱形的翻折问题】 【例1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠的性质、菱形的性质、矩形的性质，证出，即可求的度数． 【详解】解：由折叠的性质得， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：A． 【例2】（2025·浙江杭州·一模）四边形纸片中，点E，F分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点A处，再将、分别沿折叠，点，D落在上的同一个点G处，请完成下列探究：的大小为______°；当四边形是菱形，点G为中点且时，四边形纸片的面积为______．    【答案】 9 【分析】本题主要考查了翻折的性质、四边形内角和、菱形的性质，由翻折的性质得：，再结合四边形内角和为，即可求出；首先利用折叠的性质分别求得，然后由代入数据解答即可． 【详解】如图，由翻折的性质得：    ∵， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∵点G为中点， ∴， 设，则 ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：；9． 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形，若，则菱形的面积为（  ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查折叠性质、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质是解答的关键．根据矩形和折叠性质得到，，，进而利用勾股定理求解，根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠性质得，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，则， 在中，由得， 解得， ∴菱形的面积为， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则______． 【答案】30°/30度 【分析】根据菱形的性质得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折叠的性质得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，所以∠AOM=∠AON=(360°-∠MON )=140°，所以∠B=∠AOM=140°,从而可求得∠BAD=40°,继而求得 ∠OAM=10°,再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°， 由折叠的性质得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD， ∵∠MON=80°， ∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°， ∴∠B=∠AOM=140°, ∴∠BAD=40°, ∴∠OAM=10°, ∴∠AMO=180°-140°-10°=30°, 故答案为:30°． 【点睛】本题考查菱形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握菱形的性质、折叠的性质是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕． (1)求证：； (2)若落在的右侧，求的范围； (3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)不存在，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，证出四边形是菱形，则可得出结论； （2）设，求出，，当落在的右侧时，，求出，则可得出答案； （3）设，，，得出，求出，，则可得出结论． 【详解】（1）证明：由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得， 与垂直且互相平分， 四边形是菱形， ； （2）解：设， 四边形是菱形， ，, ， ， 当落在的右侧时，， ， ， ； （3）解：不存在． 若存在使得与的角平分线重合， 设，，， ， ， ， 不存在使得与的角平分线重合． 【拓展训练三 菱形中存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，以点B为圆心以任意长为半径画弧，分别交的两边于点D、E，分别以D、E为圆心以的长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线，过点F作交于点G．若射线上存在点M，使，则当时，的度数是（　　）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】当时，四边形是菱形，满足条件，此时，当时，，推出满足条件的或，由此即可判断． 【详解】解：如图，分两种情况画图，    由作图过程可知：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，四边形是菱形，满足条件，此时， 当时，， ∴满足条件的或． 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行线的性质、等边对等角等知识，分情况讨论是解题的关键． 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】①存在无数个平行四边形，故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确； ④存在无数个平行四边形ABEF，故④正确； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，熟记各定理是解题的关键． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向终点A运动，点Q是边上的一点．若四边形是矩形，，点P运动的时间为，在线段上是否存在一点G，使得以B、Q、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，3或8 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理；当点G在点P的左侧时，由菱形的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；当点G在点P的右侧时，同理可求． 【详解】解：如图①，当点G在点P的左侧时， ∵四边形是菱形， ． 又， 四边形是矩形， ， ， （）， ∴； 如图②，当点G在点P的右侧时， 同理可求， （）， ∴． 综上，t的值为3或8． 2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)不存在，见解析 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据运动速度，求出，最后求出结果即可； （2）根据菱形的性质，得出，且，然后列出方程，解方程即可； （3）根据与互相平分时，，列出方程，解方程得出答案，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：在中 ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动， ∴，当时，， ∴． （2）解：存在；理由： 依题意，若以，，，为顶点的四边形是菱形，则满足，且 即， 解得， 当时，， ∴当时，以，，，为顶点的四边形是菱形； （3）解：不存在；理由： 若与互相平分，则在的左侧，且四边形为平行四边形， ∴，即， 解得， 由（1）知， ∴不存在的值，使得与互相平分． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 3．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图，在中，，D，E是斜边上的两个动点（不与点A，B重合），过E作于点F，设，且，连结．   　　   (1)当时， ①求长； ②求的面积． (2)是否存在点P，使得以D，E，F，P四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，n的值为或 【分析】（1）①当时，，求出n的值，根据含角的直角三角形的性质可得，进而求得；②过点D作于F点，易得，，然后根据三角形的面积公式进行计算； （2）当D在点E的左侧，四边形是菱形时，只有一种情形，此时，由（1）得，，据此可得n的值；当点D在点E的右侧时，均可得到是等边三角形，得到，据此求解． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图1中，过点D作于F点．    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：存在．当D在点E的左侧时， ∵， ∴当四边形是菱形时，只有一种情形如图2中，    此时，由（1）得，， ∴， ∴． 当点D在点E的右侧时， ∵， ∴分两种情形， 当四边形或四边形都是菱形时，如图3中，    均可得到是等边三角形， ∴， 此时， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的n的值为或． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、解一元一次方程等知识，综合性强，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系及运用，学会用分类讨论的思想解决问题． A基础训练 1．（2025·安徽宣城·三模）如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握菱形对角线平分一组对角是解题关键．根据菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余，得到，可判断A 选项；再根据A选项结论判断其余选项即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 是菱形的对角线， ， ， ， ， ，A选项正确； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，B选项错误； 若，则，即，题目中没有说明，无法推出，C选项错误； 若，则，即，，题目中没有说明，无法推出，D选项错误； 故选：A． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 3．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 4．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先根据题意得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形 是菱形， ∴设 和 交于点O， ∴，， ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． B 提高训练 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据菱形是特殊的平行四边形，只需要增加菱形所特有的性质即可．掌握菱形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴当时，为菱形， 此时． ∴增加的一个条件可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由折叠可得得到的四边形是菱形，再根据菱形的面积两条对角线乘积的一半可以求出面积． 【详解】解：如图： 由题意得：，， 由折叠得：， 四边形是菱形， ． 8．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，由可得，设，再由，即可解答． 【详解】解：在菱形中，对角线、相交于点， ， ， ， 设， ∵ ，， ， ， ， ， ∴． 9．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 【答案】60 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，平行线之间的垂线段相等，三角形的面积， 连接交于点G，根据菱形的性质证得，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴是菱形，， ∴平分， 延长至E，则， ∵平分， ∴， ∴， 连接交于点G，则，且平分， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的高为， ∴， 故答案为60． 10．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为______； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有______个不同的取值． 【答案】 2 4 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质． （1）根据题意第一次操作后四边形为平行四边形，当四边形是菱形时，则，结合即可得出结果； （2）根据题意画出示意图，利用菱形的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵第一次操作后四边形为菱形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 则x的最小正整数值为； （2）根据题意：对进行第三次操作后，得到四个菱形，共有四种可能结果如图所示： ①， 则； ②， 则； ③， 则； ④， 则； 综上，x有个不同的取值． C 培优训练 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，然后根据菱形的对角线互相垂直，得到，根据矩形的判定即可判定四边形是矩形． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 又菱形的对角线、相交于点， ， ， 四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 【答案】 【分析】利用菱形对角线性质求边长，再通过面积法列方程求高． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ，即， 解得． 13．（2026·河南许昌·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，点E是的中点．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，则； （2）先证明，再证明，得到四边形是平行四边形，然后推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）证明：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ∵点E是的中点， ． ， ， ∴四边形是菱形． 14．（2025·宁夏银川·一模）如图，为的对角线，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，平行四边形的周长为12，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，，，再证明，继而得到四边相等，即可求证； （2）先证明，根据平行四边形的周长为12得到，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解得：，设平行四边形的边上的高为，由于，，，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为12， ∴， ∴， 设，则， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， 设平行四边形的边上的高为 ∴， ∵，， ∴． 15．（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 【答案】作图见解析；①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图（角平分线），熟练掌握菱形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是关键．根据题意作图即可；由菱形的性质知，得到，结合角平分线可推得①，再证明，得出②，再证明四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是菱形，得到④． 【详解】解：如图所示，就是所求作的图形； 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：①；②；③；④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 菱形的性质与判定重难点题型专训 （3个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 添一个条件使四边形是菱形 题型二 利用菱形的性质证明 题型三 证明四边形是菱形 题型四 根据菱形的性质与判定求角度 题型五 根据菱形的性质与判定求线段长 题型六 根据菱形的性质与判定求面积 拓展训练一 菱形的最值问题 拓展训练二 菱形的翻折问题 拓展训练三 菱形中存在性问题 知识点一：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 【即时训练】 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 2．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）如图，在菱形中，若，则度数为______． 知识点二：菱形的性质 性质定理 符号语言 图示 边 四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC 对角线 对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 【补充】 1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质； 2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形. 3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. 4）菱形的面积公式： ①菱形的面积=底×高，即 ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 【即时训练】 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）菱形的边长为3，则菱形的周长为（   ） A．3 B．12 C．6 D．9 2．（24-25九年级上·全国·月考）已知菱形的边长是5，则菱形的周长为_____． 知识点三：菱形的判定 判定定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东深圳·月考）下列图片中，能观察到菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）小佳同学在整理菱形的判定方法时，将知识整理成如图所示，请帮她在横线上填上一个适当的条件，该条件可以是_______． 【经典例题一 添一个条件使四边形是菱形】 【例1】（24-25八年级下·山西·月考）如图，在中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的只有（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·全国·模拟预测）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件________，使四边形是菱形． 1．（25-26九年级上·四川成都·月考）在物理实验中，有一个平行四边形框架，它可以在力的作用下发生形变，在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形框架在静止状态下成为菱形框架（四条边长度相等）的是（   ） A．框架两条对角线和所受的拉力大小相等（） B．框架的边和所受的拉力大小相等（） C．框架两条对角线和相互垂直（） D．框架的边和所受的拉力方向平行（） 2．（24-25八年级下·四川广安·期中）如图，在四边形中，点、分别是线段、的中点，、分别是线段、的中点，当四边形的边满足__时，四边形是菱形． 3．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【经典例题二 利用菱形的性质证明】 【例1】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【例2】（24-25八年级下·河南开封·期末）如图所示的木质活动衣帽架是由三个全等的菱形组成，根据实际需要可调节间的距离，已知菱形的边长为，若间的距离调节到时，则这个活动衣帽架所围成的面积为___________． 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_______． 3．（2025·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，点是边的中点，延长至点，使得，连接、，求证：． 【经典例题三 证明四边形是菱形】 【例1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 【例2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图，矩形中，，，点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，运动速度都是1cm/s，设运动时间为（），若四边形是菱形，则的值为___________． 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（　　） A．24 B．32 C．40 D．48 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为等腰三角形，若把它沿底边翻折得到，则四边形为菱形的依据是___________________． 3．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在矩形中． (1)尺规作图：作的垂直平分线交对角线于点，交于，连接，过点作交的垂直平分线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：四边形是菱形．完成下列填空． 证明：垂直平分， ①________，且②________， 又∵③________，， ∴④________． 【经典例题四 根据菱形的性质与判定求角度】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，将沿向下翻折得到，点D为上一点，若，，，则的面积为________．    1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，已知O是矩形的对角线的交点，，作//，//，与相交于点E．若四边形的周长是24，则的长为（    ） A．12 B． C． D．6 2．（24-25八年级下·山东泰安·月考）如图，已知四边形的四边都相等，等边的顶点E、F分别在上，且，则______．    3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上． (1)在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形． 【经典例题五 根据菱形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）两张全等的矩形纸片按如图方式交叉叠放在一起，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______． 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）如图，的面积为，与交于点，分别过点作的平行线相交于点，点是的中点，点是四边形边上的动点，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D．5 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）在梯形中，．已知，，，则的长度为________． 3．（2025·浙江湖州·三模）如图，四边形是菱形，延长到点F，使，连接交于点E． (1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明E是的中点； (2)连接，若，，求的长． 【经典例题六 根据菱形的性质与判定求面积】 【例1】（2026八年级下·广东深圳·专题练习）如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，、、、分别是边、、、的中点，若，且 ，则四边形的面积为________． 1．（24-25八年级下·辽宁抚顺·月考）如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在菱形中，，，则菱形的面积等于_____． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，把一张矩形纸片沿对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．过点作交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，求四边形的面积． 【拓展训练一 菱形的最值问题】 【例1】（24-25八年级下·福建莆田·期中）如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的面积有最小值，那么菱形面积的最大值是（    ） A．5 B． C．12 D．15 【例2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形，旋转过程中，菱形周长的最小值是___________，菱形周长的最大值是___________． 1．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·月考）如图，菱形的对边、上分别有两个动点M和N，若的最大值为，最小值为4，则菱形的面积为（    ） A．18 B．28 C． D． 2．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，菱形中，点O为对角线的中点，点P为平面内一点，且，已知，．连接，则的最小值为_______，最大值为_______． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）小明在学习完中心对称图形后，对课本上的几种图形展开探究，他尝试用两张长为9，宽为3的矩形纸片叠放在一起，得到如图所示的四边形，请你帮助．小明解答以下问题： (1)试说明四边形是菱形． (2)四边形面积的最小值为___________，最大值为___________． (3)请利用无刻度直尺和圆规，在给出的矩形中作一个面积最大的菱形． 【拓展训练二 菱形的翻折问题】 【例1】（2025八年级下·河南·专题练习）如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处，易证四边形是平行四边形．要使四边形是菱形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江杭州·一模）四边形纸片中，点E，F分别在边，上，将纸片沿直线折叠，点C恰好落在点A处，再将、分别沿折叠，点，D落在上的同一个点G处，请完成下列探究：的大小为______°；当四边形是菱形，点G为中点且时，四边形纸片的面积为______．    1．（24-25八年级下·全国·单元测试）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形，若，则菱形的面积为（  ） A． B． C．4 D．8 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在折叠千纸鹤时，其中某一步需要将如图所示的菱形纸片分别沿，所在直线进行折叠，使得菱形的两边，重合于．若此时，则______． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕． (1)求证：； (2)若落在的右侧，求的范围； (3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 菱形中存在性问题】 【例1】（24-25八年级下·北京海淀·月考）如图，以点B为圆心以任意长为半径画弧，分别交的两边于点D、E，分别以D、E为圆心以的长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线，过点F作交于点G．若射线上存在点M，使，则当时，的度数是（　　）    A． B． C． D．或 【例2】（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是______． 1．（2026八年级下·全国·专题练习）在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向终点A运动，点Q是边上的一点．若四边形是矩形，，点P运动的时间为，在线段上是否存在一点G，使得以B、Q、P、G为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）将两个全等的直角三角形如图摆放，其中，，，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点到达终点后点也停止运动，设点运动时间为（秒）： (1)当时，求的长； (2)是否存在的值，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)是否存在的值，使得与互相平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·广东佛山·月考）如图，在中，，D，E是斜边上的两个动点（不与点A，B重合），过E作于点F，设，且，连结．   　　   (1)当时， ①求长； ②求的面积． (2)是否存在点P，使得以D，E，F，P四点为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． A基础训练 1．（2025·安徽宣城·三模）如图，在菱形中，于点E．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·陕西铜川·期末）如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，已知，分别以点 、 为圆心，以5为半径画弧，两条弧分别交于、两点，则以、、、四点为顶点的四边形的面积是（   ） A．12 B．24 C．30 D．48 B 提高训练 6．（24-25九年级上·山西太原·期末）已知，四边形是平行四边形，对角线，交于点．若增加一个条件，将它边的数量关系特殊化，可使，则增加的一个条件可以是______．（写出一个即可） 7．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）将一个长为，宽为的矩形纸片从下向上，从左到右对折两次后，得到如图所示的矩形，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____． 8．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，在菱形中，对角线相交于点，点在边上，且，若，则的度数为______． 9．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 10．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，作平行四边形四个内角中某一个内角的平分线． 【第一次操作】 作的平分线交于点M，过点M作，交于点N，则四边形为菱形，且另一个四边形为平行四边形． 【第二次操作】 作【第一次操作】所得的某一个内角的平分线，再次画得一个菱形和一个平行四边形． 【第三次操作】 作【第二次操作】所得的平行四边形某一个内角的平分线，画得一个菱形和一个平行四边形． ……重复上述操作． （1）若四边形是菱形，则x的最小正整数值为______； （2）若对进行第三次操作后，发现共得到四个菱形，则x有______个不同的取值． C 培优训练 11．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，菱形的对角线、相交于点，．求证：四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·湖南益阳·期中）如图，已知菱形的对角线，的长分别为、，于点，求的长． 13．（2026·河南许昌·一模）如图，在四边形中，为对角线，． (1)用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，点E是的中点．求证：四边形是菱形． 14．（2025·宁夏银川·一模）如图，为的对角线，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，连接MN分别交于点E、F、O，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，平行四边形的周长为12，，求菱形的面积． 15．（2026·重庆·模拟预测）在学习完菱形的性质后，小懂同学发现：若作菱形中一组对角的平分线与另一条对角线相交，则两个交点与另外两个顶点所组成的四边形也是菱形．他的证明思路如下，请根据他的思路完成以下作图与填空： 第一步：尺规作图．请用圆规和直尺，在所给图中作的角平分线交对角线于点E；作的角平分线交对角线于点F；连接、（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：证明猜想如图，四边形是菱形，对角线、交于点O．平分，平分．求证：四边形是菱形． 证明：在菱形中，，，， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， _____________， （内错角相等，两直线平行）， 在和中，， ， _____________， 又， 四边形是平行四边形， ，且E、F均在上， ， 即， 四边形是菱形（④_____________）． 学科网（北京）股份有限公司 $