专题 21.3 平行四边形的判定（知识梳理 + 题型精析 +真题专练）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 21.3 平行四边形的判定（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行四边形判定（一） 1 ★【题型 1】利用平行四边形的判定（一）判断证明 2 【知识点二】平行四边形判定（二） 3 ★【题型 2】利用平行四边形的判定（二）求值证明 3 【知识点三】平行四边形的判定（三） 3 ★★【题型 3】利用平行四边形的判定（三）求值证明 3 【知识点四】平行四边形判定（四） 4 ★★【题型 4】利用平行四边形的判定（四）求值证明 4 【知识点五】平行四边形判定（五） 5 ★★【题型 5】利用平行四边形的判定（五）求值证明 5 ★★【题型 6】利用平行四边形的性质与判定求值 6 ★★【题型 7】利用平行四边形的性质与判定综合求值证明 7 ★★★【题型 8】利用平行四边形的性质与判定与图形变换综合求值证明 9 二.中考模拟真题 10 （一）单选题（6题） 10 （二）填空题（6题） 12 （三）解答题（4题） 13 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【知识点一】平行四边形判定（一） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ★【题型 1】利用平行四边形的判定（一）判断证明 【例题1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，请使用尺规作图法在边上求作一点，连接，使四边形为平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式3】（24-25八年级下·陕西铜川·月考）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【知识点二】平行四边形判定（二） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ★【题型 2】利用平行四边形的判定（二）求值证明 【例题2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是_____． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【知识点三】平行四边形的判定（三） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ★★【题型 3】利用平行四边形的判定（三）求值证明 【例题3】（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（    ）    A．只有图1中的四边形一定是平行四边形 B．只有图2中的四边形一定是平行四边形 C．图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D．图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 【变式2】（24-25八年级下·西藏林芝·期中）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)利用尺规分别作和的角平分线保留作图痕迹，并记两条角平分线的交点为．若点恰好落在边上，试判断和的数量关系，并证明． 【知识点四】平行四边形判定（四） 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ★★【题型 4】利用平行四边形的判定（四）求值证明 【例题4】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ．    【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【知识点五】平行四边形判定（五） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ★★【题型 5】利用平行四边形的判定（五）求值证明 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为________时，线段． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点． (1)尺规作图：作的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连结、．求证：四边形是平行四边形． ★★【题型 6】利用平行四边形的性质与判定求值 【例题6】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【变式1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【变式3】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． ★★【题型 7】利用平行四边形的性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，E、F为对角线上两点，给出以下条件：①；②；③，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． ★★★【题型 8】利用平行四边形的性质与判定与图形变换综合求值证明 【例题8】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 【变式1】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是______． 【变式3】（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 5．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 6．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 （二）填空题（6题） 7．（2025·湖南株洲·二模）如图所示，在中，分别在上，且，若，则___________． 8．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．    9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 10．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，，点在上，且，点在上，若平分四边形的面积，则的长度为______．    11．（2025·山东淄博·二模）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是_____米． 12．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． （三）解答题（4题） 13．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 14．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 15．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，点在上，过点作交于点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 16．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 21.3 平行四边形的判定（知识梳理+题型精析+模拟真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】平行四边形判定（一） 1 ★【题型 1】利用平行四边形的判定（一）判断证明 2 【知识点二】平行四边形判定（二） 4 ★【题型 2】利用平行四边形的判定（二）求值证明 4 【知识点三】平行四边形的判定（三） 7 ★★【题型 3】利用平行四边形的判定（三）求值证明 7 【知识点四】平行四边形判定（四） 10 ★★【题型 4】利用平行四边形的判定（四）求值证明 10 【知识点五】平行四边形判定（五） 13 ★★【题型 5】利用平行四边形的判定（五）求值证明 13 ★★【题型 6】利用平行四边形的性质与判定求值 17 ★★【题型 7】利用平行四边形的性质与判定综合求值证明 21 ★★★【题型 8】利用平行四边形的性质与判定与图形变换综合求值证明 28 二.中考模拟真题 34 （一）单选题（6题） 34 （二）填空题（6题） 42 （三）解答题（4题） 48 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示中档题，带★★★表示拨高题 【知识点一】平行四边形判定（一） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ★【题型 1】利用平行四边形的判定（一）判断证明 【例题1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，点为边上一点，连接，过点作交于点，请使用尺规作图法在边上求作一点，连接，使四边形为平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行四边形的判定． 以为一边，在的内部作，交于点F即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求作的平行四边形． 理由：由作法知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小明借助直尺和三角尺，作，然后再作，进而得到，四边形是平行四边形的依据是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）小强不小心将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了其中的两块碎玻璃到商店配了一块与原先相同的平行四边形玻璃，他带的两块碎玻璃编号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，通过观察，找到拼在一起后能够确定原来平行四边形的两组对边所在位置的两块玻璃的编号是解题的关键．观察图形，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，能够确定原来平行四边形的两组对边所在的位置，所以他带的两块碎玻璃编号是②④，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将②号玻璃和④号玻璃拼在一起，延长交于点A，延长交于点C， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴他带的两块碎玻璃编号是②④， 故选：D． 【变式3】（24-25八年级下·陕西铜川·月考）如图，在四边形中，，，分别是，上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，结合已知可得，根据平行线的性质与判定证明，进而根据两组对边分别平行的是四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，即，且 ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形 ∴ ∵， ∴，即 又∵， ∴, ∴, ∴, ∴, ∴四边形是平行四边形． 【知识点二】平行四边形判定（二） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ★【题型 2】利用平行四边形的判定（二）求值证明 【例题2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，已知，故当时，四边形为平行四边形． 【详解】要使四边形为平行四边形，根据判定定理，需两组对边分别相等， 即且 已知，满足； ∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）一个四边形的边长依次是，，，，且满足，则这个四边形是_____． 【答案】平行四边形 【分析】本题考查了非负数的性质和平行四边形的判定，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 由条件可知，绝对值和平方根均为非负数，因此两者均等于零，得出和，即四边形两组对边分别相等，从而判定为平行四边形． 【详解】∵且，且它们的和为零， ∴和， 即和 因此四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键； 根据垂直得到角相等，在直角三角形中根据HL判定全等，进而得到对边相等，从而证明四边形ABCD是平行四边形． 【详解】解；证明：，， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【知识点三】平行四边形的判定（三） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ★★【题型 3】利用平行四边形的判定（三）求值证明 【例题3】（25-26八年级下·全国·课前预习）在四边形中，已知，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，平行四边形的判定．解二元一次方程组求得，进一步计算得到，，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”即可证明四边形是平行四边形． 【详解】解：由， 得， ∵， ∴． ∴，． ∴四边形是平行四边形． 【变式1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在四边形中作标注（角的标记中弧线数量相同的表示角相等），下列判断正确的是（    ）    A．只有图1中的四边形一定是平行四边形 B．只有图2中的四边形一定是平行四边形 C．图1、图2中的四边形都一定是平行四边形 D．图1、图2中的四边形都一定不是平行四边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：图1中，，，    ∵， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； 图中，， ∴， 只有一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形．    综上分析可知：只有图1中的四边形一定是平行四边形， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·西藏林芝·期中）如图，在四边形中，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据三角形内角和为可得，根据等式的性质可得，进而可得，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在四边形中，，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)利用尺规分别作和的角平分线保留作图痕迹，并记两条角平分线的交点为．若点恰好落在边上，试判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查作角平分线，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据要求作出图形即可．证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 四边形都是平行四边形； （2）解：图形如图所示： 结论：． 四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， 同理可得， ， ． 【知识点四】平行四边形判定（四） 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ★★【题型 4】利用平行四边形的判定（四）求值证明 【例题4】（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，的对角线，相交于点O，点E，F在对角线上，且，连接，，，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质，得，，再根据，可得，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可求证． 【详解】证明：， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形中，，相交于点，，，，．要使四边形为平行四边形，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质和二元一次方程组的求解，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，建立关于和的方程并求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴对角线与互相平分，即， ∴，即；且，即， 联立方程得： 解得： 故选：A． 【变式2】（2024·河南驻马店·二模）在《圆锥曲线论》中有一个著名的“阿波罗尼奥斯定理”：平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和．如图所示，在中，，，，是 的中点，则的长为_____ ．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，延长到，使，连接，，证明四边形是平行四边形，由阿波罗尼奥斯定理得，即可求解，掌握平行四边形的判定和性质，熟练运用阿波罗尼奥斯定理是解题的关键． 【详解】如图所示，    延长到，使，连接，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由阿波罗尼奥斯定理得，， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 【知识点五】平行四边形判定（五） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ★★【题型 5】利用平行四边形的判定（五）求值证明 【例题5】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意易得，，，然后可得，则有，再证明，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据平行四边形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）知， ． 又， 四边形是平行四边形． 【变式1】（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，熟练掌握两种图形的判定方法是解题的关键； （1）利用等边三角形的性质推导边和角的关系，再通过SAS证明三角形全等； （2）根据（1）的结论推导边平行且相等，依据平行四边形判定定理判定形状． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， 是等边三角形， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ． 在与中， ． （2）解：四边形是平行四边形． 理由：由（1）知和都为等边三角形， ， ． ， 四边形为平行四边形． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为________时，线段． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出．根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设运动时间为x秒，则，， ∴， 解得：， 即当运动时间为3秒时，线段． 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，点E是的中点． (1)尺规作图：作的中点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连结、．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，证明四边形是平行四边形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用尺规作的垂直平分线即可； （2）通过证明四边形有一组对边平行且相等，来证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图，的垂直平分线交于点F， 点F即为所求作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是上的中点，点F是上的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ★★【题型 6】利用平行四边形的性质与判定求值 【例题6】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为边上一点，连接为中点，过点C作，交的延长线于点F，连接交于点G． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，．求的长． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)2 【分析】（1）通过平行线的性质证得，可得，结合题意得即可求证四边形是平行四边形； （2）设，根据题意可得，通过勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 为中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在中，， 设，则， ， 解得（负值舍去）， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，的直角三角形性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 【变式1】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平行四边形中，，于点E，F为的中点．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，过点作，交于，连接，则四边形为平行四边形，，由平行四边形的性质可得，，，结合题意可得，由直角三角形的性质得出，从而得出，由平行线的性质并结合等边对等角得出，进而可得，求出，再由等边对等角即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于，连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴四边形为平行四边形，， ∴，，， ∵F为的中点．， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，连接，过点作，交射线于点，过点作延长线于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，进而解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由勾股定理可得，， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质； （1）根据平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解； （2）根据含度角的直角三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，即可得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴， ∴． ★★【题型 7】利用平行四边形的性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，E、F为对角线上两点，给出以下条件：①；②；③，能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． 由平行四边形的性质得，则，因为添加不能证明，所以不能判定四边形是平行四边形，可判断①不符合题意；由，可证明，进而可证明四边形是平行四边形，可判断②符合题意；添加，根据“”证明，进而可证明四边形是平行四边形，可判断③符合题意． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵由，不能证明， ∴不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【变式3】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理，借助全等三角形得出相等的边． ★★★【题型 8】利用平行四边形的性质与判定与图形变换综合求值证明 【例题8】（24-25八年级下·广东深圳·期末）【综合探究】探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验． 【操作探究】 （1）如图，把重合中的向左平移成，顶点恰好是边的中点，连接，，求三角形的面积； 【深入探究】 （2）如图，把继续向左平移，当点与点重合时，连接交于点，求证：； 【拓展提升】 （3）如图，在（2）的条件下，过点作于点，连，，直接写出的长度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，勾股定理，三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到三角形的面积； （2）连接，根据平移的性质得到，，根据平行四边形的性质即可得到； （3）过作于，根据全等三角形的判定和性质定理和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：把重合中的向左平移成， ， 点恰好是边的中点， ， ， ， 三角形的面积； （2）证明：连接， 把重合中的向左平移成， ，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：过作于，交于，如图， ， ， ， ， ， ， ≌， ， ， ， ，， ≌， ， ． 【变式1】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，中，，E，F分别为，的中点，将沿直线折叠，与交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质、折叠的性质，根据平行四边形的性质与判定可得，再根据平行线的性质可得，，从而求得，再由折叠的性质得，利用求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴平行四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是______． 【答案】13 【分析】先由平移性质证明四边形为平行四边形，从而得，进而使得，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，∵平行四边形， ∴，， 由平移性质得：，， 四边形为平行四边形， ， ， 作关于直线的对称点，连接，，交延长线于， 由对称性得：，，， ， ，， ， ，， ∵， ， ， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理，解决此题的关键是证明四边形为平行四边形、再作关于直线的对称点，将的最小值转化为． 【变式3】（23-24八年级下·广西南宁·期末）【探究与证明】 折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)如图1，若点 恰好落在边上时， 四边形的形状是 ． (2)如图2，若点三点在同一条直线上时，求证：； (3)如图3，若时，连接，并延长交于点F．若平行四边形纸片的面积为24，，求线段的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 二.中考模拟真题 （一）单选题（6题） 1．（2023·湖南·中考真题）如图，在四边形中， ，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；     B． ∵，∴，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；         C．根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；         D．∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴四边形为平行四边形， 故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，的对角线，相交于点，，，若，，则四边形的周长为（    ）    A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由四边形是平行四边形得到，，再证明四边形是平行四边形，则，即可求解周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴周长为：， 故选：C． 3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M，    由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在四边形中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，交于点G，交的延长线于点．若，，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意的作图可得平分，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答． 【详解】根据题意的作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 5．（2025·安徽·中考真题）在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（   ） A．四边形的周长 B．的大小 C．四边形的面积 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 6．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． （二）填空题（6题） 7．（2025·湖南株洲·二模）如图所示，在中，分别在上，且，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，证明四边形为平行四边形即可解答，熟练运用平行四边形的判定和性质是解题的关键；根据题意可证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， ， 故答案为：． 8．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为_________．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 9．（2024·山东济宁·中考真题）如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 10．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，，点在上，且，点在上，若平分四边形的面积，则的长度为______．    【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，先作出辅助线，根据平行四边形的性质以及边长得到的长，再根据面积平分可得到，再根据证明出的平行四边形以及勾股定理可得到结果，数形结合，作辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接并延长交于点，过作于点，过作于点，如图所示：    ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分四边形的面积， ∴经过平行四边形的中心， ∵在平行四边形中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即的长为， 故答案为：． 11．（2025·山东淄博·二模）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是_____米． 【答案】108 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，可证明四边形和四边形都是平行四边形，得到，则当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短， ∵，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，且河宽为4米， ∴点G与点F的东西距离为米，南北距离为米， ∴点G与点F的距离为米， ∴这个最短距离是米， 故答案为：108． 12．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． （三）解答题（4题） 13．（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 14．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 15．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，，，点在上，过点作交于点，延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，进而证明得，再证明，然后由平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，设，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，， （等边对等角）． ， ，（两直线平行，同位角相等）． ， （等角对等边）． ， ． 又， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． （2）解：设， ， 在中，， （在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）． （勾股定理）， ，解得，（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 16．（2025·青海·中考真题）如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，可得，结合可得结论； （2）由，点是边上的中点，可得即，结合由（1）得四边形是平行四边形，从而可得结论. 【详解】（1）证明：∵点为的中点 ∴， ∵ ∴，， 在和中 ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）证明：当时，四边形是矩形， 理由如下： ∵ ，点是边上的中点， ∴ 即， ∵ 由（1）得四边形是平行四边形， ∴ 四边形是矩形. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $