专题8.4 梯形（6大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年苏科版八年级数学下学期培优讲义

本初中数学讲义围绕梯形专题，系统梳理梯形的基本概念、等腰梯形的性质与判定、中位线性质、面积公式及与三角形、平行四边形的转化关系，构建从基础定义到综合应用的学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，涵盖基础概念辨析、综合计算及压轴探究题，通过辅助线构造等方法培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固重点突破难点，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

专题8.4 梯形 知识点1：梯形的基本概念 1.梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形，平行的两边为底，不平行的两边为腰。 2.梯形的底与腰：互相平行的一组对边中，较短的边为上底，较长的边为下底；除上下底外的另外两条边为腰，两底之间的垂线段为高。 3.特殊梯形的定义与符号语言 特殊梯形 定义 符号语言（以梯形，为例） 等腰梯形 两腰相等的梯形 若，则梯形是等腰梯形 直角梯形 有一个角是直角的梯形 若，则梯形是直角梯形 知识点2：等腰梯形的性质 1.边的性质：两腰相等，两底平行（，）； 2.角的性质：同一底上的两个角相等（，）； 3.对角线性质：对角线相等（）； 4.对称性：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为过两底中点的直线。 知识点3：等腰梯形的判定 1.定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 2.角判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 3.对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 知识点4：梯形的中位线 1.定义：连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线； 2.性质：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。若、分别为梯形腰、的中点，则，且； 3.推论：梯形的中位线长度的2倍等于两底之和，中位线与两底的距离相等。 知识点5：梯形的面积公式 公式类型 公式表达式 符号说明 适用场景 基本公式 为上底，为下底，为梯形的高 已知梯形的上底、下底和高，直接计算面积 中位线公式 为梯形中位线的长度，为梯形的高 已知梯形的中位线和高，或可先求中位线的情况 知识点6：梯形与三角形、平行四边形的转化关系 1.梯形可通过作一腰的平行线，转化为一个平行四边形和一个三角形； 2.梯形可通过作下底的垂线，转化为一个矩形和两个直角三角形； 3.梯形可通过作对角线的平行线，将两底和转化为一条线段，构造特殊三角形（如等腰直角三角形）； 4.当梯形的一个顶点向对边移动至重合时，梯形可依次转化为平行四边形、三角形。 【基础必考题型】 【题型1】梯形概念的辨析与判定 1.核心知识点 梯形的定义；等腰梯形、直角梯形的定义；四边形的边与角的位置关系。 2.解题方法技巧 判定梯形的关键：一组对边平行且另一组对边不平行，排除平行四边形（两组对边均平行）； 判定特殊梯形时，先确认是梯形，再验证等腰/直角条件，避免直接对非梯形图形判定； 概念辨析题采用“举反例法”，排除错误命题（如“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形”，反例为平行四边形）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形及等腰梯形、直角梯形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握其性质及判定方法．根据梯形、等腰梯形、直角梯形的判定定理，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】解：∵梯形的定义是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形， ∴对各选项分析如下： A. 有一组邻边相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形中垂直的腰与底边可能相等，故A错误，与题意不符； B. 有一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，平行四边形也满足一组对边相等，故B错误，与题意不符； C. 有两个相邻内角相等的梯形不一定是等腰梯形，直角梯形中相邻的两个直角相等，但它不是等腰梯形，故C错误，与题意不符； D. ∵梯形一组对边平行，若有一个角是直角，则与这个角相邻的同旁内角也为直角，符合直角梯形的定义，故D正确，符合题意； 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 【变式题1-3】.（2024·上海黄浦·三模）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，根据等腰梯形的判定及三角形中位线的性质逐一判断即可求解，掌握等腰梯形的判定是解题的关键． 【详解】解：、两腰相等的梯形是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形不一定是等腰梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有两个相邻的内角相等的梯形不一定是等腰梯形，比如直角梯形，该选项说法错误，不合题意； 、有一组对角互补的梯形是等腰梯形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 【题型2】梯形的基本计算 1.核心知识点 梯形的面积公式；直角梯形的直角性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 直角梯形中，高与其中一条腰重合，直接利用直角边求高； 普通梯形求高时，可作下底的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算； 面积计算优先判断是否有特殊条件（如对角线垂直、已知中位线），选择简便公式。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 【答案】A 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等）， ， 四边形是一个等腰梯形， ， ， ， ， 的周长为， 无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差， 故选：． 【变式题2-1】.（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了梯形的性质，关键是根据同底等高的两个三角形面积相等解答．首先得到，推出，进而求解即可． 【详解】解：由梯形的性质可知，， 由同底等高的两个三角形面积相等，可得：， ， 即， ． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·全国·期中）如图，在等腰梯形 中，，，，，．求梯形 的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分别过点作的垂线，垂足分别为点，则，由等腰三角形性质可得，然后通过直角三角形性质得出，最后由周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为点，则， ∵梯形是等腰梯形，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴梯形的周长． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南周口·期中）求图中梯形的周长与面积（用含x的式子表示）． 【答案】周长，面积 【分析】本题考查了列代数式表示梯形的周长和面积，根据题中的图形先求出梯形的周长表达式即为四条边相加总和，再利用梯形的面积公式求得梯形面积的表达式． 【详解】解：图中梯形的周长为：， 根据梯形的面积公式可得：． 【题型3】等腰梯形的性质直接应用 1.核心知识点 等腰梯形的角、边、对角线性质；平行线的同旁内角互补。 2.解题方法技巧 求角度时，利用“同一底上的角相等+两底平行同旁内角互补”，设未知数建立方程； 求边长时，结合等腰梯形的腰相等、对角线相等，搭配勾股定理或等边三角形性质； 对角线相等的性质可直接用于线段等量代换，简化推理。 【例题3】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，结合等角对等边，进而求解即可． 【详解】解：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，，，①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ∵和不一定相等， ∴和不一定相等，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，④正确； 则正确的是①②④． 【变式题3-1】.（2022·四川德阳·模拟预测）如图，等腰梯形中， ，，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，得出对边相等，证明为等边三角形，得出三条边相等，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了平行四边形性质和判定，等腰梯形性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 过点A作，交于E，证明四边形为平行四边形，结合平行四边形性质推出，再证明为等边三角形，利用等边三角形性质进行分析，即可解题． 【详解】解：如图，过点A作，交于E， ∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即等腰梯形的腰长为2， 故答案为：2． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·上海·月考）在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是_____ 【答案】 【分析】此题考查了等腰梯形的性质．首先设与交于点，由四边形是等腰梯形，，可求得的长，又由，即可求得答案． 【详解】解：设与交于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型4】梯形中位线的综合应用 1.核心知识点 梯形中位线性质；三角形中位线性质；多点共线的判定。 2.解题方法技巧 遇“对角线中点”，连接中点构造线段，结合三角形中位线性质推导与底的平行关系和长度； 梯形对角线中点的连线长度公式：，可直接用于计算； 中位线与对角线结合时，先判断四点共线，再通过线段和差求解未知线段。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·周测）梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了梯形中位线性质、三角形中位线定理，找到相应关系的线段是解题的关键，利用图形结合更能直观地得结论． 根据题意作出图形，根据三角形中位线定理和梯形中位线性质，通过等量关系代换可得到连接两条对角线中点的线段长． 【详解】解：根据题意作出如图， 设梯形，其中，为中位线，与对角线交于， 其中，， ∵中位线， ∴、为、的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ，即， ． 故选：D． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·上海长宁·期末）在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为________． 【答案】80 【分析】本题考查的是等腰梯形的性质，三角形中位线定理．连接，根据等腰梯形的性质得到，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∵E、F、G、H分别为各边中点， ∴，，，， ∴四边形的周长， 故答案为：80． 【变式题4-2】.（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【变式题4-3】.（2022·上海·二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据等腰梯形的性质、中位线定理以及菱形的判定，可推出四边形为菱形． 【详解】解：如图所示，等腰梯形中，，，分别是、的中点，连接． E、F分别是的中点， ， 同理，可得：， 又等腰梯形， ， ， 四边形是菱形． 故选A． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定，熟练掌握这些性质与定理是解此题的关键． 【题型5】等腰梯形的判定证明 1.核心知识点 等腰梯形的三种判定方法；三角形全等的判定；平行线的性质。 2.解题方法技巧 用“角判定”时，先证明梯形同一底上的两个角相等，可通过作平行线或垂线构造全等三角形； 用“对角线判定”时，先证明梯形的对角线相等，再结合三角形全等验证； 判定前先证明图形是梯形，避免直接对四边形用等腰梯形判定定理。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质求得，，，推出，即可证明四边形是等腰梯形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【变式题5-1】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形． （1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可． （2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． （2）解：， 理由是：连接, ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰梯形的判定，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据等腰梯形的概念证明； （）过点作于，根据平行四边形的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据梯形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质，熟练掌握相关知识进行证明是解答本题的关键． （1）证明，利用证明可得； （2）由知，由折叠得，又，得，由三角形内角和定理得，由，得，故可得，从而可证明四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：∵梯形是等腰梯形， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠得， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，四边形是梯形 ∵， ∴, ∴, ∴， ∴四边形是等腰梯形． 【压轴素养题型】 【题型6】梯形的辅助线构造与综合计算 1.核心知识点 梯形与三角形、平行四边形的转化；等腰三角形、直角三角形的性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 遇“梯形求边长/高”，优先尝试作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形+三角形，利用三角形性质求解； 遇“对角线垂直/相等”，作对角线的平行线，构造等腰直角三角形/等腰三角形，将两底和转化为三角形的一边； 遇“直角梯形/求高”，作下底的垂线，构造矩形+直角三角形，用勾股定理计算。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在梯形中，，，，．建立适当的直角坐标系并写出各个顶点的坐标． 【答案】见解析；（答案不唯一） 【分析】本题考查了平面直角坐标系，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，过D作轴于E，根据矩形的性质和判定求出，再根据等腰三角形的性质可得，以B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立坐标系求解即可． 【详解】解：过D作轴于E，则， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 以B为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴， ． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，直角梯形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）. (1)设的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式为________________ (2)求当t为何值时，四边形为矩形？ (3)求当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点P作于点M，则四边形为矩形，得出，由，可知：； （2）当四边形为矩形时，，即，可将t求出； （3）本题应分三种情况进行讨论：①若，在中，由，，将各数据代入，可将时间t求出；②若，在中，由，，将各数据代入，可将时间t求出；③若，，，将数据代入，可将时间t求出． 【详解】（1）解：过点P作于点M，则四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：． （2）解：当四边形为矩形时， ， 即，解得， ∴当时，四边形为矩形． （3）解：由图可知，，，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，， 由得，解得； ②若，在中，， 由得，即， 此时， ∴此方程无解，即； ③若，由得， 解得，（不符题意，舍去）， 综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查梯形的性质、矩形的性质及勾股定理，在解题（3）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 【变式题6-2】.（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 【答案】27 【分析】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积． 【详解】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 【答案】11 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，解题的关键在于作辅助线构造平行四边形． 作交于点E，证明四边形是平行四边形，结合平行四边形性质推出，，进而得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 【题型7】等腰梯形与三角形、平行四边形的综合证明 1.核心知识点 等腰梯形的性质与判定；平行四边形、菱形、矩形的判定；三角形全等/相似。 2.解题方法技巧 梯形与平行四边形结合时，先利用梯形的平行关系，证明一组对边平行且相等，判定平行四边形； 梯形与等腰三角形结合时，利用等腰梯形的对角线相等、底角相等，构造等腰三角形； 证明线段/角相等时，优先通过梯形性质转化，再结合三角形全等完成证明。 【例题7】.（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、梯形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键． （）先根据梯形的性质得出边和角的关系，再结合已知条件找到全等的条件（）证明． （）求的度数，可利用（）中全等三角形的性质，将角进行转化，再结合梯形中角的关系求解． 【详解】（1）证明：∵在梯形中，，， ∴ ∵在和中，， ， ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 【变式题7-1】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【分析】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形，证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、等腰梯形的判定等知识． （1）首先证明四边形为平行四边形，再等量代换得到即可得到四边形为菱形； （2）由，是等边三角形，进而可得，由此可得四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：如下图所示∶ ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形． （2）∵四边形是菱形， ∴， 又∵ ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形． 易错点 1.混淆梯形与平行四边形的判定，误将“一组对边平行，另一组对边相等的四边形”判定为等腰梯形； 2.判定特殊梯形时，未先证明图形是梯形，直接对非梯形图形用等腰/直角梯形判定定理； 3.梯形中位线概念混淆，将“对角线中点的连线”当作中位线，误用中位线性质； 4.计算梯形面积时，忽略“对角线互相垂直的梯形面积公式”，仍用基本公式导致计算复杂，或记错中位线面积公式； 5.等腰梯形角度计算时，混淆“同一底上的角”与“不同底上的角”，错误认为所有底角都相等。 重点 1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，能准确辨析梯形与平行四边形、三角形的区别； 2.熟练运用等腰梯形的边、角、对角线性质，进行角度、边长的计算与等量代换； 3.掌握等腰梯形的三种判定方法，能结合三角形全等完成证明，判定的前提是“图形为梯形”； 4.熟记梯形中位线的定义与性质，能进行中位线与两底的互求，结合面积公式解题； 5.掌握梯形的三种核心辅助线作法（作腰的平行线、作垂线、作对角线的平行线），能将梯形转化为三角形/平行四边形。 难点 1.梯形辅助线的灵活构造，能根据题目条件（如求边长、对角线垂直、证全等）选择合适的辅助线，实现梯形与三角形/平行四边形的转化； 2.等腰梯形与平行四边形、菱形、矩形的综合证明，能整合多个图形的判定定理，设计合理的推理路径； 3.梯形的探究性与动态问题，能理解新定义、分析动点/折叠的图形变化，运用分类讨论思想解决问题； 4.梯形的实际情境与跨学科问题，能将生活/跨学科信息抽象为梯形几何模型，提取核心条件并解决问题； 5.梯形与三角形中位线的综合应用，能区分梯形中位线与三角形中位线，结合多点共线完成复杂线段的计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了等腰梯形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 过点分别作的垂线，垂足为点，证明，再证明，最后证明即可． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故A、B、C正确，不符合题意，D不能证明， 故D不符合题意， 故选：D． 2．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等角对等边，根据等腰梯形的性质得到，，，证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】解析：∵等腰梯形中，，对角线相交于点 ∴，①正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴，即，②正确； 和不一定相等，故③错误； ∵ ∴ ∴ ∴，④正确； 故选：C． 3．计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．根据梯形的面积公式以及单项式乘以多项式法则计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：梯形的面积等于 ． 故选：A 二、填空题 4．在梯形中，，，，，，则______． 【答案】9或3 【分析】本题考查的是梯形的性质、勾股定理，正确作出辅助线、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．过点作于，根据勾股定理求出，分两种情况计算即可． 【详解】解：如图，在梯形中，过点作于， 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 则的长为9或3， 故答案为：9或3． 5．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质． 根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是 故答案为：． 6．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为______． 【答案】 【分析】本题需要先画图，考查了等腰梯形的轴对称性，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先画图，过点作梯形对称轴，交于，交于，，，然后求得，，，然后即可求解； 【详解】解：过点作梯形对称轴，交于，交于，，，如图： 根据等腰梯形的对称性可知，，， 又∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①或② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由梯形性质，三角形边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角边角的证明方法即可证明与全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得，再由角角边的证明方法即可证明与全等，由此可得结论． 【详解】解：选择①，理由： ∵， ∴， ∵，且， 在与中， 由， ∴ ， ∴； 选择②，理由： ∵， ∴， ∵， 在与中， 由， ∴ ， ∴． 故答案为：①或②． 8．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长，交于点E，求出，然后根据等边对等角得到，进而求出，然后结合求解即可； （2）如图所示，连接，利用等边对等角和平行线得到，求出，然后结合求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图所示，延长，交于点E ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴四边形是等腰梯形； （2）如图所示，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴． 【点睛】此题考查了等腰梯形的判定，等边对等角，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了梯形．熟练掌握 梯形性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，是解题的关键． （1）作于点E，可得四边形是平行四边形，得，，勾股定理求得； （2）根据梯形面积公式可求． 【详解】（1）解：作于点E， ∴， 又， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴（m）； （2）解：（）． 10．如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【答案】梯形的腰的长为；梯形的面积为 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作交于点，于点，可证明四边形是平行四边形，则，，因为，所以，而，则，因为，所以是等边三角形，则，，勾股定理确定，进而根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：作交于点，于点，则， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 梯形的腰的长为；梯形的面积为 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.4 梯形 知识点1：梯形的基本概念 1.梯形定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫作梯形，平行的两边为底，不平行的两边为腰。 2.梯形的底与腰：互相平行的一组对边中，较短的边为上底，较长的边为下底；除上下底外的另外两条边为腰，两底之间的垂线段为高。 3.特殊梯形的定义与符号语言 特殊梯形 定义 符号语言（以梯形，为例） 等腰梯形 两腰相等的梯形 若，则梯形是等腰梯形 直角梯形 有一个角是直角的梯形 若，则梯形是直角梯形 知识点2：等腰梯形的性质 1.边的性质：两腰相等，两底平行（，）； 2.角的性质：同一底上的两个角相等（，）； 3.对角线性质：对角线相等（）； 4.对称性：等腰梯形是轴对称图形，对称轴为过两底中点的直线。 知识点3：等腰梯形的判定 1.定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形； 2.角判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； 3.对角线判定：对角线相等的梯形是等腰梯形。 知识点4：梯形的中位线 1.定义：连接梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线； 2.性质：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。若、分别为梯形腰、的中点，则，且； 3.推论：梯形的中位线长度的2倍等于两底之和，中位线与两底的距离相等。 知识点5：梯形的面积公式 公式类型 公式表达式 符号说明 适用场景 基本公式 为上底，为下底，为梯形的高 已知梯形的上底、下底和高，直接计算面积 中位线公式 为梯形中位线的长度，为梯形的高 已知梯形的中位线和高，或可先求中位线的情况 知识点6：梯形与三角形、平行四边形的转化关系 1.梯形可通过作一腰的平行线，转化为一个平行四边形和一个三角形； 2.梯形可通过作下底的垂线，转化为一个矩形和两个直角三角形； 3.梯形可通过作对角线的平行线，将两底和转化为一条线段，构造特殊三角形（如等腰直角三角形）； 4.当梯形的一个顶点向对边移动至重合时，梯形可依次转化为平行四边形、三角形。 【基础必考题型】 【题型1】梯形概念的辨析与判定 1.核心知识点 梯形的定义；等腰梯形、直角梯形的定义；四边形的边与角的位置关系。 2.解题方法技巧 判定梯形的关键：一组对边平行且另一组对边不平行，排除平行四边形（两组对边均平行）； 判定特殊梯形时，先确认是梯形，再验证等腰/直角条件，避免直接对非梯形图形判定； 概念辨析题采用“举反例法”，排除错误命题（如“一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形”，反例为平行四边形）。 【例题1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课前预习）下列说法正确的是（   ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．有一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一个角是直角的梯形是直角梯形 【变式题1-2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【变式题1-3】.（2024·上海黄浦·三模）下列说法正确的是（    ） A．有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B．等腰三角形的中位线截该三角形所得的四边形是等腰梯形 C．有两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 D．有一组对角互补的梯形是等腰梯形． 【题型2】梯形的基本计算 1.核心知识点 梯形的面积公式；直角梯形的直角性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 直角梯形中，高与其中一条腰重合，直接利用直角边求高； 普通梯形求高时，可作下底的垂线构造直角三角形，结合勾股定理计算； 面积计算优先判断是否有特殊条件（如对角线垂直、已知中位线），选择简便公式。 【例题2】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（   ） A．的周长 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．与的差 【变式题2-1】.（22-23七年级上·湖北武汉·开学考试）如图，在梯形中，、分别是梯形的上底和下底，与相交于点，若三角形的面积是，三角形的面积是，则有（    ）． A． B． C． D．无法确定 【变式题2-2】.（25-26九年级上·全国·期中）如图，在等腰梯形 中，，，，，．求梯形 的周长． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·河南周口·期中）求图中梯形的周长与面积（用含x的式子表示）． 【题型3】等腰梯形的性质直接应用 1.核心知识点 等腰梯形的角、边、对角线性质；平行线的同旁内角互补。 2.解题方法技巧 求角度时，利用“同一底上的角相等+两底平行同旁内角互补”，设未知数建立方程； 求边长时，结合等腰梯形的腰相等、对角线相等，搭配勾股定理或等边三角形性质； 对角线相等的性质可直接用于线段等量代换，简化推理。 【例题3】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点O，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的是______（填序号）． 【变式题3-1】.（2022·四川德阳·模拟预测）如图，等腰梯形中， ，，则______． 【变式题3-2】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____． 【变式题3-3】.（24-25八年级下·上海·月考）在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是_____ 【培优高频题型】 【题型4】梯形中位线的综合应用 1.核心知识点 梯形中位线性质；三角形中位线性质；多点共线的判定。 2.解题方法技巧 遇“对角线中点”，连接中点构造线段，结合三角形中位线性质推导与底的平行关系和长度； 梯形对角线中点的连线长度公式：，可直接用于计算； 中位线与对角线结合时，先判断四点共线，再通过线段和差求解未知线段。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·周测）梯形上底长为，两条腰的中点连线长为，则梯形两条对角线中点的连线长为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（24-25八年级下·上海长宁·期末）在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为________． 【变式题4-2】.（23-24八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【变式题4-3】.（2022·上海·二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定，熟练掌握这些性质与定理是解此题的关键． 【题型5】等腰梯形的判定证明 1.核心知识点 等腰梯形的三种判定方法；三角形全等的判定；平行线的性质。 2.解题方法技巧 用“角判定”时，先证明梯形同一底上的两个角相等，可通过作平行线或垂线构造全等三角形； 用“对角线判定”时，先证明梯形的对角线相等，再结合三角形全等验证； 判定前先证明图形是梯形，避免直接对四边形用等腰梯形判定定理。 【例题5】.（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）如图，在中，点E在边的延长线上，连接，．求证：四边形是等腰梯形． 【变式题5-1】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，． (1)试说明梯形是等腰梯形． (2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【变式题5-2】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【变式题5-3】.（24-25八年级下·上海崇明·期末）如图，已知在梯形中，是梯形的一条对角线，，将沿着翻折后得到，联结交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：四边形是等腰梯形． 【压轴素养题型】 【题型6】梯形的辅助线构造与综合计算 1.核心知识点 梯形与三角形、平行四边形的转化；等腰三角形、直角三角形的性质；勾股定理。 2.解题方法技巧 遇“梯形求边长/高”，优先尝试作一腰的平行线，将梯形转化为平行四边形+三角形，利用三角形性质求解； 遇“对角线垂直/相等”，作对角线的平行线，构造等腰直角三角形/等腰三角形，将两底和转化为三角形的一边； 遇“直角梯形/求高”，作下底的垂线，构造矩形+直角三角形，用勾股定理计算。 【例题6】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在梯形中，，，，．建立适当的直角坐标系并写出各个顶点的坐标． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，直角梯形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动；动点Q从C点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P，Q分别从D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）. (1)设的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式为________________ (2)求当t为何值时，四边形为矩形？ (3)求当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 【变式题6-2】.（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 【变式题6-3】.（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则______． 【题型7】等腰梯形与三角形、平行四边形的综合证明 1.核心知识点 等腰梯形的性质与判定；平行四边形、菱形、矩形的判定；三角形全等/相似。 2.解题方法技巧 梯形与平行四边形结合时，先利用梯形的平行关系，证明一组对边平行且相等，判定平行四边形； 梯形与等腰三角形结合时，利用等腰梯形的对角线相等、底角相等，构造等腰三角形； 证明线段/角相等时，优先通过梯形性质转化，再结合三角形全等完成证明。 【例题7】.（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点． (1)证明 (2)求的度数． 【变式题7-1】.（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【变式题7-2】.（24-25八年级下·甘肃天水·期末）如图，在中，平分交于点，过作，交于点．试问： (1)四边形ABEF是什么图形吗？请说明理由． (2)若，四边形是什么图形？请说明理由． 易错点 1.混淆梯形与平行四边形的判定，误将“一组对边平行，另一组对边相等的四边形”判定为等腰梯形； 2.判定特殊梯形时，未先证明图形是梯形，直接对非梯形图形用等腰/直角梯形判定定理； 3.梯形中位线概念混淆，将“对角线中点的连线”当作中位线，误用中位线性质； 4.计算梯形面积时，忽略“对角线互相垂直的梯形面积公式”，仍用基本公式导致计算复杂，或记错中位线面积公式； 5.等腰梯形角度计算时，混淆“同一底上的角”与“不同底上的角”，错误认为所有底角都相等。 重点 1.掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，能准确辨析梯形与平行四边形、三角形的区别； 2.熟练运用等腰梯形的边、角、对角线性质，进行角度、边长的计算与等量代换； 3.掌握等腰梯形的三种判定方法，能结合三角形全等完成证明，判定的前提是“图形为梯形”； 4.熟记梯形中位线的定义与性质，能进行中位线与两底的互求，结合面积公式解题； 5.掌握梯形的三种核心辅助线作法（作腰的平行线、作垂线、作对角线的平行线），能将梯形转化为三角形/平行四边形。 难点 1.梯形辅助线的灵活构造，能根据题目条件（如求边长、对角线垂直、证全等）选择合适的辅助线，实现梯形与三角形/平行四边形的转化； 2.等腰梯形与平行四边形、菱形、矩形的综合证明，能整合多个图形的判定定理，设计合理的推理路径； 3.梯形的探究性与动态问题，能理解新定义、分析动点/折叠的图形变化，运用分类讨论思想解决问题； 4.梯形的实际情境与跨学科问题，能将生活/跨学科信息抽象为梯形几何模型，提取核心条件并解决问题； 5.梯形与三角形中位线的综合应用，能区分梯形中位线与三角形中位线，结合多点共线完成复杂线段的计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，等腰梯形中，，，交于点，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．平分 2．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．计算图中梯形的面积等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在梯形中，，，，，，则______． 则四边形为矩形， ，，， 由勾股定理得：， ， 在梯形中，， 5．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 6．等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为______． 三、解答题 7．如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若______，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 8．已知：如图，四边形中，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)当时，求的度数． 9．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 10．如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $