重难点13 极化恒等式及其应用 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点14 极化恒等式及其应用 1. 极化恒等式 (1) 推导过程 设，则，， ①， ②， ①②两式相减，得：. (2) 平行四边形模式：. 其几何意义为：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (3) ①②两式相加得：， 即. 其几何意义为：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和. (4) 三角形模式：在中，设为的中点，则. 推导过程：由. 其几何意义为：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. 2. 向量矩形法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ②. 证明：①连接，根据极化恒等式可得 因为，所以. ②根据极化恒等式，可得 ，，因为，所以. 3.极化恒等式的作用和使用范围 极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 极化恒等式的适用范围： （1） 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 4.极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 题型一：求向量数量积 【例1】在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． 【答案】－16　 【解析】因为M是BC的中点，由极化恒等式得·＝|AM|2－|BC|2＝9－×100＝－16. 【例2】在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)即可得出结果. 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知在中，是中点，，，则_______ 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 2.已知在中，是的中点，，，则_______ 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【详解】 . 3.如图，在四边形中，，，为中点.，求的值_______ 【分析】由向量线性运算和数量积运算律可化简得到，从而求得，继续运用向量线性运算和数量积运算律化简得到，代入对应长度即可求得结果. 【详解】，为中点，， ， ，， . 故选：A. 4.半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得四边形是菱形，然后利用极化恒等式可得到，，即可求得答案 【详解】由得， 所以四边形是平行四边形，又，则四边形是菱形， 易得是等边三角形，所以， 设四边形对角线的交点为E，， 由极化恒等式得， ， 所以， 因为是圆内一点，所以，所以，即. 故答案为： 题型二：求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 【例3】在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 【例4】已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是________． 【答案】[－2，6] 【解析】取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2. 又由极化恒等式得 ·＝PD2－AB2＝PD2－3， 因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax＝3， 当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin＝1， 所以·∈[－2，6]． 【例5】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 【例6】已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【解析】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知点A，B，C均在半径为的圆上，若，则的最大值为_______ 【解析】设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，故 因为A，B，C三点在圆上，所以CD长度最大为r+d,其中d为圆心O到弦AB的距离，故最大值为1+，所以的最大值为 2.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是_____ 【答案】 【解析】 设BC 的中点为O，OC的中点为M,连接OP,PM, 当且仅当M与P重合时取等号 3.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________ 【分析】根据向量线性运算可得，根据PO长度可求得结果. 【解析】由题意，四边形为菱形，，可得， 在中，得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，，则，， 所以． 4．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以. 故答案为：. 题型三：求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 【例7】在三角形ABC中，D为AB中点，，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，则最小值为______ 【答案】 【解析】 设EF的中点为M，连接CM，则 即点M在如图所示的圆弧上， 则 【例8】在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围是________． 答案　 解析　取MN的中点为P，由极化恒等式得·＝[(2)2－2]＝2－.问题转化为求||的取值范围，当P为AB的中点时，||取最小值为，则·的最小值为；当M与A(或N与B)重合时，||取最大值为，则·的最大值为2，所以·的取值范围是. 【跟踪训练】 1.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________ 【答案】 【解析】取OC中点为M， 由于P点是圆O所在平面上一点，故PM最小值为0，故的最小值为 。 2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________． 答案　2 解析　如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则·＝2－. 因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号． 所以·的最大值为2. 题型四：求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 【例9】已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】由，得A、B、C三点共线 ,而 ， 故 【例10】如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 【跟踪训练】 1．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 【解析】由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 题型五：求参数问题及其它问题 【例11】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用极化恒等式，结合几何图形求出的取值范围。 【解析】如图所示,设的中点为,则,两式平方相减，所以（可由计划恒等是直接得出）， 即，所以,由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得， 故选:D 【跟踪训练】 1.如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， 又 ， 且，所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以． 故选：C． 2.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为______ 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 3.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题. 【详解】如图中，O为AB中点， （极化恒等式） 共起点的数量积问题可以使用. 如图，取中点，则由极化恒等式知， ，要求取值范围，只需要求最大，最小即可. 由图，可知最大时，P在D点，即，此时， 最小时，P在O点，即，此时. 综上所得，取值范围为: . 故选：D. 4.已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．15 【答案】D 【解析】 . 故选：D. 5. 设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 故答案为：. 6．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 7．已知中，，，的最小值为，若为边上任意一点，为边的中点，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】延长，使得， 令， 所以，，三点共线，即时为最小值， 在中，，得， 又因为，所以是等边三角形，所以， 在中，，取中点为，，， 所以，， 所以. 即求的最小值，当时，有最小值， 在中，，， 所以. 故答案为：. 8．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是______；若是平面内一点，且满足，则的最小值是______. 【答案】 【解析】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 9．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 【答案】 6 【解析】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为， 所以，， 则； ， 显然，当为的中点时，， 所以 故答案为：6；． 一、填空题 1．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，A＝120°，动点P在以C为圆心，2为半径的圆上，则·的最小值为________． 答案　16 解析　设AB的中点为M，则·＝－＝2－2＝2－9， 所以要求·的最小值，只需求||的最小值，显然当点P为线段MC与圆的交点时，||取得最小值，最小值为|MC|－2.在△AMC中，由余弦定理得|MC|2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC|＝7，所以||的最小值为5，则·的最小值为16. 2.已知等边△ABC内接于圆Γ：x2＋y2＝1，且P是圆Γ上一点，则·(＋)的最大值是______ 解析　设BC的 中点为E，连接AE，向量，的夹角为θ.因为等边△ABC内接于圆Γ：x2＋y2＝1，所以点O在AE上，且OA＝2OE＝1，所以·(＋)＝·2＝2(＋)·(＋)＝2[2＋·(＋)＋·]＝2[2＋·(－)－22]＝2＝1－cos θ，所以当cos θ＝－1，∴〈，〉＝π，∴〈，〉＝0，即点P为AE的延长线与圆的交点时，PA·(＋)取最大值2. 3.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为______ 【分析】分别取，中点Q，R，连接，代入极化恒等式求的最大值即可. 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 4．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为______ 【分析】设的中点为，代入极化恒等式求的最小值即可. 【解析】设的中点为， 则 （当为中点时取等号）. 5.如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为_________ 【分析】由，代入极化恒等式求的最小值即可. 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 6.已知，，，，点在平面内，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，设的中点为，由向量得数量积运算可得，即在以为圆心，半径的圆上，进而可得的取值范围. 【详解】由题知为直角三角形，设的中点为，则， 由极化恒等式有，所以， 即是以为圆心，半径的圆上一点． 所以． 故答案为：. 7.已知多边形是单位圆的内接正六边形，点是圆上任意一点，则的值为______． 【思路引导】注意到正六边形与圆的中心对称性质，可两两分组结合极化恒等式求和. 【详细解析】因为， 同理 所以． 8.如图，在平面四边形，，，，，，若为线段上的动点，则的最小值为______ 【思路引导】可转化为，即三角形两边（向量）数量积的形式，因此可用极化恒等式解决． 【详细解析】根据题意，连接，，取中点为，作图如图， 则． 在中，由余弦定理可得，即，则，故，显然当且仅当时，取得最小值，故，的最小值为．即的最小值为． 9.设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为_______ 【解析】设圆心为点，分析得出，再由平面向量的减法与数量积的运算性质得出，再利用与同向时可求得的最大值. 【详解】设圆心为点，则，，，则， . 当且仅当与方向相同时，等号成立，因此，的最大值为. 10.如图,已知是圆的直径,长为是圆上异于的一点,是圆所在平面上的任意一点,则的最小值为. 【答案】 【解析】由题意可知, 则, 取中点,连接, 由极化恒等式得, 又,可得的最小值为. 11.边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点14 极化恒等式及其应用 1. 极化恒等式 (1) 推导过程 设，则，， ①， ②， ①②两式相减，得：. (2) 平行四边形模式：. 其几何意义为：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． (3) ①②两式相加得：， 即. 其几何意义为：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和. (4) 三角形模式：在中，设为的中点，则. 推导过程：由. 其几何意义为：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差. 2. 向量矩形法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ②. 证明：①连接，根据极化恒等式可得 因为，所以. ②根据极化恒等式，可得 ，，因为，所以. 3.极化恒等式的作用和使用范围 极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 极化恒等式的适用范围： （1） 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 4.极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 题型一：求向量数量积 【例1】在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________． 【例2】在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【跟踪训练】 1.已知在中，是中点，，，则_______ 2.已知在中，是的中点，，，则_______ 3.如图，在四边形中，，，为中点.，求的值_______ 4.半径为2的圆上有三点，，，满足，点是圆内一点，则的取值范围是 ． 题型二：求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 【例3】在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为_______ 【例4】已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则·的取值范围是________． 【例5】已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例6】已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1.已知点A，B，C均在半径为的圆上，若，则的最大值为_______ 2.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是_____ 3.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________ 4．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 题型三：求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 【例7】在三角形ABC中，D为AB中点，，E,F分别为BC,AC上的动点，且EF=1，则最小值为______ 【例8】在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·的取值范围是________． 【跟踪训练】 1.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________ 2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________． 题型四：求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 【例9】已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是_________ 【例10】如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______ 【跟踪训练】 1．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型五：求参数问题及其它问题 【例11】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为______ 3.在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆外切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ） A．1 B．4 C．9 D．15 5. 设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 6．边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是_________. 7．已知中，，，的最小值为，若为边上任意一点，为边的中点，则的最小值是__________. 8．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是______；若是平面内一点，且满足，则的最小值是______. 9．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________. 一、填空题 1．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，A＝120°，动点P在以C为圆心，2为半径的圆上，则·的最小值为________． 2.已知等边△ABC内接于圆Γ：x2＋y2＝1，且P是圆Γ上一点，则·(＋)的最大值是______ 3.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为______ 4．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为______ 5.如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为_________ 6.已知，，，，点在平面内，且，则的取值范围是 ． 7.已知多边形是单位圆的内接正六边形，点是圆上任意一点，则的值为______． 8.如图，在平面四边形，，，，，，若为线段上的动点，则的最小值为______ 9.设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为_______ 10.如图,已知是圆的直径,长为是圆上异于的一点,是圆所在平面上的任意一点,则的最小值为. 11.边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $