第八章 平面向量（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

第八章 平面向量 教学目标 1. 熟练掌握平面向量全章知识点； 2. 熟练运用平面向量的知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）平面向量的线性运算与坐标运算； （2）平面向量的数量积运算； 2. 难点 （1）三角形“五心”与奔驰定理； （2）三角形中与平面向量有关的最值问题。 考点01 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【题型1】．（24-25高一下·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 【题型2】下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、零向量与单位向量、相等向量、相反向量 【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断. 【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同， 所以得不到，A错误； 对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”， 所以“”是“”的必要不充分条件，B正确； 对C，因为与反向共线， 且，都为单位向量，则，C正确； 对D，若，则，D正确， 故选：A. 【题型3】（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 【题型4】．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 【题型5】．（24-25高三下·河南·月考）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量共线和模长相等的几何与意义结合平行四边形、矩形、梯形的定义逐项判断即可. 【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确； 选项，如图    ，但是四边形不是矩形，错误； 选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误． 选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误. 故选：A 【题型6】．给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断命题的真假、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量共线定义判断①；根据向量相等的定义和平行四边形的定义判断②；根据两向量不能比较大小判断③；举反例否定④. 【详解】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线； ②正确．∵＝，∴||＝||且； 又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形． 反之，若四边形是平行四边形， 则且与方向相同，因此＝； ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确．当时，与可以为任意向量， 满足λ＝μ，但与不一定共线． 故选：. 【题型7】．下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【答案】①③ 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】根据平行向量和共线向量的定义可判断①②④；根据相等向量和相反向量的定义可判断③. 【详解】因为零向量与任一向量平行，所以①正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量， 故不一定等于，故②错误； 对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确； 对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合. 故选：①③ 【题型8】．下列说法正确的是__________（写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【详解】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 考点02 向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【题型1】．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 【题型2】．（24-25高一下·四川绵阳·月考）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】直接利用向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B 【题型3】．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 【题型4】．（25-26高一下·天津北辰·开学考试）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法与减法计算即可. 【详解】因为是对角线的交点，所以，. 因为， 所以. 由向量加法的平行四边形法则可知，. 所以. 【题型5】．已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据是否共线进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若，则存在，使得， 则， 而，所以与共线. 若不共线，若与共线， 则存在，使得， 则. 综上所述，与共线的条件为或. 【题型6】．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知平面向量不共线，，，若，则实数_______. 【答案】 【难度】0.74 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线定理得存在实数，使得，再结合不共线得，最后解方程即可得答案. 【详解】因为，，， 所以，存在实数，使得，即， 因为向量不共线， 所以，解得. 【题型7】．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 【题型8】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知平行四边形中，，． (1)用，表示向量，； (2)当，满足什么条件时，与垂直； (3)当，满足什么条件时，． 【答案】(1)，． (2)，应该满足 (3)，应互相垂直． 【难度】0.78 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则、向量减法法则的几何应用 【分析】（1）由向量加法和减法法则即可直接得解； （2）由与垂直得到四边形ABCD为菱形即可求解； （3）由得到平行四边形为矩形即可求解. 【详解】（1），； （2）若与垂直，即平行四边形的两条对角线互相垂直， 则四边形为菱形， 所以，应该满足； （3）表示平行四边形的两条对角线的长相等， 这样的平行四边形为矩形，故，应互相垂直． 考点03 平面向量基本定理和性质 （1）、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． （3）、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B （4）、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得 【题型1】．（2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】应用向量的加减法结合数乘运算计算求解. 【详解】由得，所以． 又，而， 则． 故选：D. 【题型2】．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用 【分析】过点作，以为邻边作平行四边形，利用可得答案. 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 【题型3】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 【题型4】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【答案】 【难度】0.59 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据共线定理，结合向量的线性运算，即可列方程组求解. 【详解】，P，C三点共线，故设，同理可设， 由题可知 ， 又 ， 所以可得，解得， 故，所以，． 故答案为：； 【题型5】．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为_____. 【答案】/ 【难度】0.7 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量基本定理的应用 【分析】根据给定条件可得点是线段上靠近点的四等分点，再利用三角形面积公式求得答案. 【详解】， 因为中点，则， 代入可得，所以， 即点是线段上靠近点的四等分点. 则，而，故. 【题型6】．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【答案】[1，] 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值 【详解】 如图，（λ＋μ）min＝1，（λ＋μ）max＝.    【题型7】．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【难度】0.85 【知识点】向量加法的运算律、平面向量的混合运算 【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）由所求式 ， 因，， 则所求式 . 考点04 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 【题型1】．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量，则（   ） A． B．5 C． D．25 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】根据已知条件可知是相反向量，从而可得的坐标，根据向量减法的坐标运算可得的坐标，最后可求出模；也可以根据向量数量积的性质求解. 【详解】方法一：因为，所以， 所以，所以. 方法二：因为，所以，， 所以，又，所以， 所以. 【题型2】．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】用基底表示向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 【题型3】．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出即可. 【详解】向量，，，可得：, 则, 因为点，则P点坐标为 故选：A 【题型4】．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量线性运算的坐标表示和向量共线的坐标运算求解. 【详解】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 【题型5】．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知，，且，则______. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据两向量平行，则坐标成比例，列出方程，即可得答案. 【详解】因为，所以， 即， 得，解得， 所以. 【题型6】．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，已知两个力，的大小和方向，则合力的大小为____________N；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为____________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】运用向量坐标运算即可求解． 【详解】因为，，所以合力， 所以合力的大小为． 故答案为：；． 【题型7】．已知向量，其中，． (1)试计算及的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【详解】（1） ， （2）设，由， ． 【题型8】．已知点，，. (1)若，求的值； (2)若，其中为坐标原点，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.5 【知识点】数量积的运算律 【分析】1.根据向量的坐标运算，求出，，再根据，由向量的模长公式及同角三角函数的基本关系即可求解. 2. 由向量数量积的坐标运算及同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得：，， 因为 所以， 化简得， 所以. （2）由题意可得：，， 所以， 得：. 考点05 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 【题型1】．（2026·河南南阳·一模）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则， ，， 联立解得，或，，所以或. 当时，， 当时，， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 【题型2】．（2026·安徽安庆·二模）已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.67 【知识点】向量夹角的计算 【详解】已知，根据模长平方公式： ， ， 再由，移项得， 两边平方：， 代入展开式： ， 整理得：，因为模长非负，故， 再次对两边平方得： ， 展开化简得：，即，得， 结合 ，舍去负值，得. 故选:C 【题型3】．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.66 【知识点】向量夹角的计算、向量夹角的坐标表示 【详解】因为，，所以，， 所以，， 又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 【题型4】．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】向量垂直的坐标表示、求投影向量 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 【题型5】．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知向量，若，则实数__________． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由题意可知，则求解即可. 【详解】由题意得，因为，所以，解得 故答案为：4. 【题型6】．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知平面向量，，若，则________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知数量积求模、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】由题设中数量积的坐标运算求出x的值，再直接根据向量模的计算公式计算即可． 【详解】， 则，解得， 所以，则． 【题型7】．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 【答案】 【难度】0.75 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】设的坐标，根据数量积的定义及向量的坐标运算法则，可求得向量与向量夹角的余弦值.或直接由数量积的定义及运算法则求解. 【详解】因为，所以可设，，则，. 因为，所以，即. 则. 即向量与向量夹角的余弦值为. 方法二： 因为，所以，即. . 即向量与向量夹角的余弦值为. 【题型8】．（2026·河北·一模）已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【详解】（1），，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． （2）由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 考点06 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【题型1】．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】先确定与的夹角，再求，进而可解出. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以确定与的夹角为，所以， 所以，所以. 故答案为：B. 【题型2】．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示、求投影向量 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 【题型3】．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】用定义求向量的数量积 【详解】中，由，得， ，又，且点在上，则， 所以. 【题型4】．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】由向量的数量积运算，结合向量的运算律即可求解. 【详解】由题意得， . 【题型5】．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】平面向量数量积的几何意义、求投影向量 【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可. 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 【题型6】．（25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 【答案】 /0.5 2 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：；. 考点07 数量积的运算律与性质 1．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 2．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或． ④．⑤． 【题型1】．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量新定义 【分析】利用题中新定义运算可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用题中定义结合平面向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】对于A选项，由题中定义得与共线，与共线， 所以，A错； 对于B选项，不妨取，，， 则， 所以， ， 所以， 故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，若，则， 即， 因为为非零向量，所以，所以或当时，，D错. 故选：C. 【题型2】．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】求解即可. 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 【题型3】．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知向量且，对任意实数，恒有，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】将模长不等式转化为关于的二次函数，利用二次函数性质，由其在 处取最小值推导出点积. 【详解】不等式等价于，设， 原不等式等价于对所有实数恒成立，即是的最小值， 整理，， 易得二次函数开口向上，在对称轴处取最小值， 则有，解得. 【题型4】．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平行向量（共线向量）、已知模求数量积 【分析】由向量共线用表示出，应用向量数量积的运算律得，结合充分、必要性的定义判断推出关系，即可得. 【详解】由，为非零向量且知，存在实数，使， 则，， 当时，，故充分性不成立， 由，则， 故，所以， 即，故， 所以同向共线，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 【题型5】．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】判断命题的必要不充分条件、向量夹角的计算 【分析】设、的夹角为，根据求出的取值范围，利用区间的包含关系判断即可. 【详解】设、的夹角为，则， 因为、为非零向量，由可得，所以， 因为，所以“”“与的夹角为锐角”， 且“”“与的夹角为锐角”， 所以“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件. 故选：B. 【题型6】．已知平面向量，． (1)求及其模的大小； (2)若，求． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.7 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知数量积求模、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标表示及向量的模的运算计算即可； （2）根据平面向量运算、数量积的坐标表示及向量的模的运算计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以， ． （2）因为，， 则， 所以， 所以． 考点08 向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 【题型1】．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据平行四边形定理，以及向量的模和数量积公式，判断选项. 【详解】对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确； 对于B，根据向量减法可知，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误. 故选：D 【题型2】．若非零不共线向量满足，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.69 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】把，平方得，再平方作差比较各个选项即可. 【详解】由已知条件，两边平方得： 即，所以. 对于选项A和B， ， 由已知条件无法确定与的关系，故无法确定正负，故AB错误； 对于选项C和D， ， 所以，即，故选项C正确，D错误. 故选：C 【题型3】．（25-26高三上·天津和平·月考）已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】数量积的坐标表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】①由得到；②建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，得到的表达式，求出最小值；③变形得到，设为的中点，则三点共线，结合是的外心，得垂直平分，所以，③正确；④变形得到，设是的中点，推理证得，即得结论. 【详解】对于①，若为的垂心，则，又， 所以，①正确； 对于②，取的中点，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系如图，      则，设， 则，， 故， 故当时，取得最小值为，②错误； 对于③，因，则， 即， 如图，设为的中点，则，故，则三点共线，      又因是的外心，所以垂直平分，所以，③正确； 对于④，由题意，， 则 ，则， 如图，设是的中点，则，故， 即，故，即动点的轨迹经过的外心，④正确.      故选：D 【题型4】．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一动点（含边界），已知，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将转化为，根据数量积的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】由题，可知为的中点， 所以， 当在上的投影点与重合时，在上的投影向量为， 所以的最大值为. 故选：D. 【题型5】．（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量在几何中的其他应用、三角形的心的向量表示 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 【题型6】．（2026·云南昭通·模拟预测）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、由向量共线（平行）求参数 【分析】先应用向量平行得出，再应用二倍角公式结合弦切转化得出，，最后应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为若不能组成平面上的一个基底，所以，所以，， 所以，， 所以. 故答案为：. 【题型7】．今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 【答案】，方向与上游河岸的夹角为53°． 【难度】0.64 【知识点】辅助角公式、速度、位移的合成 【分析】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，，根据三角函数得，再利用辅助角公式求解. 【详解】设船的划速为，方向与上游河岸成角，将正交分解为，， ，，由物理学知识， 可知，所以． 令 即，即． 所以当时，，所以． 此时． 故划速最小为，方向与上游河岸的夹角为53°． 【题型8】．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，的最小值为50. 【难度】0.4 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、平面向量线性运算的坐标表示、平面向量基本定理的应用 【分析】（1）用向量的加法和向量的数乘运算可求得鸿蒙点满足可以被5整除，代入点计算即可判断； （2）构造，计算可得，即可证明结论； （3）利用向量的坐标运算可得，设，可得，计算即可求解. 【详解】（1）不是鸿蒙点，理由如下：     由， 得，即，. 即，所有鸿蒙点满足可以被5整除， 代入点，有不能被5整除，故不是鸿蒙点； （2）由为鸿蒙点可知，， 构造：， 将表达为的形式，有，解得， 故，即仍为鸿蒙点； （3）由（1）可知， 故，令，即， 由是整数可知，可以被3整除，即被3整除余2， 不妨设，，则有， 即， 为使尽可能小，即要求尽可能大，且，        解不等式有，时， ，.此时点坐标为，的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面向量 教学目标 1. 熟练掌握平面向量全章知识点； 2. 熟练运用平面向量的知识点解决相应的题目题型； 3. 通过学习本章知识点及解决相关题型锻炼逻辑思维，空间想象能力等。 教学重难点 1. 重点 （1）平面向量的线性运算与坐标运算； （2）平面向量的数量积运算； 2. 难点 （1）三角形“五心”与奔驰定理； （2）三角形中与平面向量有关的最值问题。 考点01 向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【题型1】．（24-25高一下·湖北荆州·月考）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【题型2】下列命题错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件. C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线. D．若，则. 【题型3】（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【题型4】．（23-24高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型5】．（24-25高三下·河南·月考）已知四边形，下列说法正确的是（    ） A．若，则四边形为平行四边形 B．若，则四边形为矩形 C．若，且，则四边形为矩形 D．若，且，则四边形为梯形 【题型6】．给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若与同向，且，则>； ④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线． 其中假命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7】．下列关于向量的命题，序号正确的是_____. ①零向量平行于任意向量； ②对于非零向量，若，则； ③对于非零向量，若，则； ④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合. 【题型8】．下列说法正确的是__________（写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 考点02 向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【题型1】．如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【题型2】．（24-25高一下·四川绵阳·月考）化简（   ） A． B． C． D． 【题型3】．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【题型4】．（25-26高一下·天津北辰·开学考试）如图所示，是平行四边形，，，是其对角线的交点，，．用，表示向量______________，______________． 【题型5】．已知，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【题型6】．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）已知平面向量不共线，，，若，则实数_______. 【题型7】．（24-25高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________. 【题型8】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知平行四边形中，，． (1)用，表示向量，； (2)当，满足什么条件时，与垂直； (3)当，满足什么条件时，． 考点03 平面向量基本定理和性质 （1）、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）、平面向量基本定理 如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式． （3）、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B （4）、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得 【题型1】．（2026·辽宁大连·模拟预测）在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2】．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【题型3】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【题型4】．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在中，，，与相交于点P，若，则_____________，_____________． 【题型5】．点是所在平面内一点，满足，若为中点，则的值为_____. 【题型6】．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点（含边界），设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为______.    【题型7】．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 考点04 平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示． 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 【题型1】．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知向量，则（   ） A． B．5 C． D．25 【题型2】．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】．（2026·陕西宝鸡·一模）已知点，向量，，，则P点坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型4】．（25-26高一上·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知，，且，则______. 【题型6】．（25-26高一下·全国·单元测试）如图，已知两个力，的大小和方向，则合力的大小为____________N；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为____________． 【题型7】．已知向量，其中，． (1)试计算及的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【题型8】．已知点，，. (1)若，求的值； (2)若，其中为坐标原点，求的值. 考点05 数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 （当且仅当时等号成立） 【题型1】．（2026·河南南阳·一模）已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【题型2】．（2026·安徽安庆·二模）已知向量，且，则向量夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【题型3】．（2026·河北承德·一模）已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【题型4】．（25-26高二上·云南保山·期末）已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【题型5】．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知向量，若，则实数__________． 【题型6】．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知平面向量，，若，则________． 【题型7】．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 【题型8】．（2026·河北·一模）已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 考点06 平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 【题型1】．（25-26高三下·陕西西安·月考）已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．1 【题型2】．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【题型3】．（2026·山东济宁·一模）已知中，若，且点在上，则（    ） A． B． C． D．1 【题型4】．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）已知两个单位向量，的夹角为，该平面内，，则_______. 【题型5】．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【题型6】．（25-26高三上·天津西青·期末）如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________. 考点07 数量积的运算律与性质 1．数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 2．数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①． ②． ③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或． ④．⑤． 【题型1】．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知平面上的非零向量、，定义运算：，对于平面上任意非零向量、、，则（   ） A． B．若与不垂直，则 C． D．若，则 【题型2】．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3】．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知向量且，对任意实数，恒有，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4】．（2026·内蒙古包头·一模）若，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．充要条件 【题型5】．（25-26高三下·天津河西·开学考试）设、为非零向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6】．已知平面向量，． (1)求及其模的大小； (2)若，求． 考点08 向量中的易错点 （1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且． （2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有． 当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但． （3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项． （4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且 【题型1】．在平行四边形中，下列关系式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】．若非零不共线向量满足，则（    ）. A． B． C． D． 【题型3】．（25-26高三上·天津和平·月考）已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的有（   ） ①若为的垂心，，则； ②若为边长为2的正三角形，则的最小值为； ③若为锐角三角形且外心为P，且，则； ④若，则动点的轨迹经过的外心． A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【题型4】．（25-26高二上·贵州黔南·开学考试）如图，在正八边形中，点为正八边形的中心，点分别是边的中点，且，点是正八边形内一动点（含边界），已知，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【题型5】．（24-25高一下·广东东莞·期中）点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【题型6】．（2026·云南昭通·模拟预测）设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基底，则______. 【题型7】．今有一小船位于宽的河边处，从这里起，在下游处河流有一瀑布，如图所示，若河水流速方向由上游指向下游（与河岸平行），水速大小为，为了使小船能安全渡河，船的划速大小不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？（） 【题型8】．（25-26高一上·辽宁·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，从原点出发，按或这两个方向进行，且每次只能走一步，若某点可以表示为（、为自然数），则称为鸿蒙点    (1)通过鸿蒙点中、满足的关系，判断是否为鸿蒙点，并说明理由； (2)证明：若是鸿蒙点，则也是鸿蒙点； (3)若某些鸿蒙点满足，求在所有满足条件的鸿蒙点中，最小的点及此时的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $