重难点17 向量数量积的7种求法 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点17 向量数量积的7种求法 方法一、公式法 【名师点拨】（未知夹角的两向量的数量积，用已知夹角的基底去表示出来，转化为已知夹角的数量积问题） 1. 如图，在边长为的正三角形ABC中, 设,，则 ． 【详解】，， 又， 2.在平面四边形中，已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】由题设条件可得，推出四点共圆，化简得，利用向量数量积的几何意义，要求的最小值，即求在方向上的投影的数量的最小值，结合图形，可得当点在劣弧的中点位置时，投影的数量最小，即可求得的最小值 【详解】 由，，，可得， 故，又，所以， 以为直径作圆，则四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 于是，， 又表示在方向上的投影的数量， 由图可知，当点在劣弧的中点位置时，投影的数量最小， 此时，连接交于点，则，故， 即的最小值为， 故的最小值为. 故选：C. 3.已知⊙C的半径为1，是⊙C的一条弦，且，点是上一动点，则的最大值为 . 【答案】/1.5 【分析】设在直线上的投影为点，则，确定取得最大值时情况，求出BQ即可求解. 【详解】设在直线上的投影为点，则， 所以当且在射线上时，最大， 又的半径为1，是的一条弦，且， 此时四边形为菱形且， 所以，则. 故答案为： 方法二、坐标法（建系法） 4.已知点，，为坐标原点，向量，则=____ 【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到. 【详解】设，则，， ∵，∴，解得，即， ∴. 5.已知向量，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由可解得的值，即可写出的坐标，从而得到的坐标，再由数量积的坐标形式即可得出答案. 【详解】由，可得，解得， 则，所以． 故答案为：. 6.“七巧板”是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”.某同学制作了一个“七巧板”玩具，如图所示.其中正方形的边长为4，点分别是线段的中点，则_____ 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，求得，结合向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示， 因为正方形的边长为4，且点分别是线段的中点， 可得，则， 所以. 7.已知，，是平面内一点，则最小值是_______ 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形的边长为是正八边形内的动点（含边界），则的取值范围为______      【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，用向量的数量积坐标运算即可求解. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则 过作的垂线，垂足为， 正八边形中，边长为4，所以， 所以，所以，所以， 设，则，所以， 因为是正八边形内的动点（含边界）， 所以的范围为， 所以， 方法三、基底法 9.中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 10.如图，在△ABC中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，，，利用向量的数量积运算即可求解. 【详解】连接MD，则，， 所以， 由于为等腰直角三角形，为线段上的点， 所以 因此， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 11.如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 【答案】 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解. 【详解】是BC中点， ， M为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点， ， 同理可得， . 故答案为：. 12.如图所示，在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值是______ 【分析】先根据条件求得到的距离，再把所求转化为，进而求得答案. 【详解】在矩形中，，动点在以为圆心，且与相切的圆上， 所以， 如图所示，连接,设到的距离为，则， 则， 其中，， 当且仅当与同向时，等号成立， 所以， 即的最大值为. 方法四、投影法（数量积的几何意义） 【名师点拨】 （其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-） 13.美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 14. 边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是 ． 【答案】1 【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据题意作图，再利用数量积的几何意义可解. 【详解】由题，作图如下 因为，所以为线段中点， 由边长为1的正六边形ABCDEF，知， 因为点P是正六边形ABCDEF内部一点（包含边界）， 显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线， 又因为， 所以 故答案为：1. 15. 北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 16. 如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 . 【答案】6 【详解】取的中点，连接交半圆与点，则， 又， 即， 当且仅当与重合时取等号，故的最大值是6. 故答案为：6. 方法五、极化恒等式（求解动点有关的范围问题） 【名师点拨】极化恒等式： 在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系： 若AM是的中线，则. 在中，若M是BC的中点，则有 17．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为__________. 【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由， 所以. 18.如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 故答案为： 19.如图，在四边形中，M为的中点，且，．若点N在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，由极化恒等式得到，数形结合得到当为中点时，取得最小值，此时，结合若与或重合，此时取得最大值，，从而得到的取值范围. 【详解】连接， 因为M为的中点，且，所以， 则，， 两式平方相加得， 故， 因为，所以为等边三角形， 当为中点时，取得最小值，最小值为， 故， 若与或重合，此时取得最大值，最大值为1， 此时， 又点N在线段（端点除外）上运动，故的取值范围为. 故答案为： 方法六、矩形大法 【名师点拨】如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 20. 在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则 . 【详解】如图.设AC与BD交于点E，联结PE.则E为AC、BD的中点. . 类似地，. 又,于是，. 由 故. 21. 在平面内，，，若，则的取值范围是（ ） A． B. C. D. 【详解】如图在三角形中为中点，，又因为,即，即，即，即选. 22. 如图，已知为矩形内的一点，满足，，，则的值为 ． 【答案】 【解析】由矩形大法知：，由余弦定理得，所以 23.已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【详解】辅助圆法，如图，构造，，，取中点M，根据题意可知，，显然C在以为斜边的圆上，故，根据几何意义可知，四点共圆，故当C位于图中C'时，。 24. 在中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（ ） A．2 B．4 C． 5 D． 10 【答案】D 【详解】如图，将补全成矩形，,故 方法七、余弦定理 【名师点拨】= 由余弦定理可知 带入上式,则 结论：构造三角形之后，两向量的数量积等于两邻边的平方和减对边的平方，之后再除以2。 25.在中，已知，，求的值 【答案】 【详解】= 26.在中，已知，且，求的取值范围， 【答案】 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点17向量数量积的7种求法 方法一、公式法 方法二、坐标法（建系法） 方法三、基底法 方法四、投影法（数量积的几何意义） 向量数量积的7种求法 方法五、极化恒等式 方法六、矩形大法 方法七、余弦定理 典型解析 方法一、公式法 【名师点拨】46=a-1c0s0(未知夹角的两向量的数量积。用已知夹角的基底去表示出来，转化为已 知夹角的数量积问题) 1.如图，在边长为1的正三角形ABC中，设BC=2BD,CA=3CE,则AD.BE= ◇ D 2在平面四边形4BCD中，已知AC=5AB=25,∠B4C=号，∠ADC= ,则ABD的最小值为() A.-25 B.-√5 C.-2 D.-1 3.已知⊙C的半径为1，AB是⊙C的一条弦，且AB=1,点P是0C上一动点，则AP.AB的最大值为 1/8 方法二、坐标法（建系法） 4.已知点A1,0),B(2,2),0为坐标原点，向量AC=4CB,则0A·0C= 5.已知向量a=(-2,1),b=(1,x),若a/五，则aa-b)= 6“七巧板"是我国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方魔方”某同学制作了一个“七巧板"玩具，如图所示其 中正方形ABCD的边长为4，点E,O,N分别是线段AB,AC,OC的中点，则ED.BN= 0 O E 7.已知ABC,AB=AC=4,BC=2,P是平面ABC内一点，则PB·(PA+PC)最小值是 8.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，如图是一个正八边形的窗花，从窗 花图中抽象出的几何图形是一个正八边形，正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH内的 动点（含边界），则AP.AB的取值范围为 A B 方法三、基底法 9.ABC中， D为AB边中点，C正=CD,AB=a,AC=万，则花=一（用a,万表示），若A正5， AE⊥CB,则AE.CD=— 10.如图，在△ABC中，AB=BC,LB=90°，AC=4√2，D为AC的中点，在平面ABC中，将线段AC绕点 D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则M匠.M厅的最小值为一 2/8 M D B 11.如图，圆M为△ABC的外接圆，AB=5,AC=7,N为边BC的中点，则AN.AM= 12.如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=4,动点M在以点C为圆心且与BD相切的圆上，则AM.BD的 最大值是 D M 方法四、投影法（数量积的几何意义） 【名师点拨】OA·OB=OB|cos0)OA=(±)川OC:OA (其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-)》 B 01 C A 13美术课对于陶冶人的情操、发展学生的艺术兴趣和爱好、培养学生的艺术特长、提高学生的审美素养具有积极 作用如图，这是某学生关于“杯子"的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中A,B是正方形 的两个顶点，P是三段圆弧上的动点，若AB=4,则AB.AP的取值范围是() 3/8 A.[-24,24 B.[-8,24] c.「-162,162 D.[-8,165] 14.边长为1的正六边形ABCDEF, 点M满足M-西+F),若点P是其内部一点（泡含边界），则 AP.AM的最大值是 15.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形 ABCDEF(如图①).已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则AP.AB的取值范围 是 E 图① 图② 16.如图，在△ABC中，AB=4,∠ACB=3LA=90°，P是以BC为直径的上半圆上的动点（包含端点B,C), O是BC的中点，则BP.BA的最大值是一 方法五、极化恒等式（求解动点有关的范围问题） 4/8 →1。→ 【名师点拨】极化恒等式：a-b=[(a+b)2-(a-b)2] AM-4c+丽) 在△ABC中，若AM是△ABC的BC边中线，有以下两个重要的向量关系： BN(AC-AB) 若AM是△ABC的中线，则AB2+AC2=2AM2+BM). 在AABC中，若M是BC的中点，则有AB.AC=AM2-BC2=AM-BM2 17,如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界）， 则PC.PD的取值范围为 18.如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线I与两边AB,CD分别交于点M,N,若Q是BC的 中点，则QM.QN的取值范围是 A D M 19.如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且AB=2,MC=MD=CD=1.若点N在线段CD(端点除外) 上运动，则NA.NB的取值范围是 D 方法六、矩形大法 【名师点拨】如图，在矩形ABCD中，若对角线AC和BD交于点O,P为平面内任意一点，有以下两个重 要的向量关系：①PA?+PC2=PB2+PD2;②PA.PC=PB·PD 5/8 D 20.在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PA=2,PC=√21，则 PB.PD=_ 3 21.在平面内，AB1AB,O8=oB=1,AP=AB+AB,若OP<,则OA的取值范围是（) 尝c俘 B M B 22.如图，已知0为矩形PPPP内的一点，满足OP=4,OP=5,PP=7,则OP,·OP的值为. 23.已知a、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)(仍-c)=0,则的最大值是（) A.1 B.2 C.√2 D. 2 6/8 M 0 B 24.在R1△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点， 则P4+Pr等于{) PC2 A.2 B.4 C.5 D.10 4 D 方法七、余弦定理 【名师点拨】AB.AC=|AB||AC|.cos A 由余弦定理可知cosA b2+c2-a2 2be 带入上式则B.4C-6+c2-a2 2 结论：构造三角形之后，两向量的数量积等于两邻边的平方和减对边的平方，之后再除以2。 25.在△ABC中，已知AB=2,AC=3,BC=4,求AB.AC的值 A B 26.在△ABC中，已知AB=2AC,且BC=4,求AB.AC的取值范围， 7/8 C B 8/8