期中复习讲义01三角7大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义01 三角 【考点一】任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点五】三角变换的应用 【考点二】诱导公式 【考点六】正弦定理 【考点三】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【考点七】余弦定理 【考点四】二倍角公式 一、任意角及其度量 1. 角度与弧度换算 核心换算关系：， 单角换算：， 2. 扇形相关公式（弧度制专用） 弧长公式：（为圆心角弧度，为半径） 扇形面积公式： 3. 任意角三角比定义 设角终边上任意一点（非原点），，则： 正弦： 余弦： 正切： 余切： 4. 三角比象限符号（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦） 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 5. 同角三角比基本关系 平方关系： 商数关系： 倒数关系： 6. 诱导公式（核心口诀：奇变偶不变，符号看象限） 适用所有终边对称角，重点记忆期中高频组： ，， ，， ，， ，， ， 二、 三角恒等变换（解答题化简求值核心） 1. 两角和与差公式（必背，期中高频） 正弦和差： 余弦和差： 正切和差： 2. 二倍角公式（化简必考） 正弦二倍角： 余弦二倍角（三种形式，灵活选用）： 正切二倍角： 3. 降幂公式（期中高频变形） 三、解三角形（大题必考，分值最高） 1. 正弦定理 在中，角对边分别为，外接圆半径为，则： 适用题型：已知两角一边、已知两边及其中一边对角（注意多解情况） 2. 余弦定理 原式：，， 变形求角：，， 适用题型：已知三边、已知两边及其夹角 3. 三角形面积公式 . 【考点一】任意角的正弦、余弦、正切、余切 1.（23-24高一下·上海普陀·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 4.（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 5．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知角的终边经过点，则_______. 6．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则______. 7.（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 8．（2024高一下·上海·专题练习）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 9．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【考点二】诱导公式 10.（24-25高一下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 12.（23-24高一下·上海嘉定·期中）正弦函数是一个_______函数（填写“奇”或“偶”） 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 14．（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 15.已知,求的值. 16．（24-25高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 【考点三】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 17.已知，有以下两个结论：①存在在第一象限，在第二象限；②存在在第一象限，在第四象限；则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①错②对 D．①对②错 18． （    ） A． B． C． D． 19.（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 20．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 21．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则__________． 22．（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 23．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则_____． 24.（23-24高一下·上海·期中）（1）化简 （2）已知，求的值 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，为钝角，角的终边上一点为，求： (1)求的值； (2)求的值. 【考点四】二倍角公式 26.（24-25高一下·上海·期中）“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 27．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（    ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 29.（23-24高一下·上海·期中）已知，则__________. 30．（23-24高一下·上海·月考）若，则的值为________. 31．（23-24高一下·上海·期中）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记，则______.    32.（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 33．已知α为第三象限角，. (1)化简； (2)若，求的值. 【考点五】三角变换的应用 34.（23-24高一下·上海·月考）若，则______. 35．已知函数，（），若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_______. 36．（23-24高一下·上海虹口·期中）若可化为，则角的一个值可以为__． 37．已知，均为锐角，，则＝______． 38．若，则__． 39.（1）证明：； （2）化简：． 40．（23-24高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 41．已知是方程的两根，且求： (1) (2) 42．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【考点六】正弦定理 43.（25-26高一下·上海·期中）能判断一定是一个直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 44．（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边______. 46．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为______. 47．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为___________. 48．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 49.在中，已知，，，求和. 50．在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，求证：． 51．（24-25高一下·上海宝山·期中）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记. (1)若，求三角形的周长（结果精确到0.01）； (2)为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积. 【考点七】余弦定理 52.（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 53．若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 54．（24-25高一下·上海浦东新·期中）为测量A，B两地之间的距离，甲同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量∠A，|AC|，|BC|；②测量∠A，∠B，|BC|；③测量∠C，|AC|，|BC|；④测量∠A，∠B，∠C．要求甲同学选择的方案能唯一确定A，B两地之间的距离，这样方案的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55.（25-26高一下·上海浦东新·月考）在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 56．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 57．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 58.（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 59．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 60．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义01 三角 【考点一】任意角的正弦、余弦、正切、余切 【考点五】三角变换的应用 【考点二】诱导公式 【考点六】正弦定理 【考点三】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 【考点七】余弦定理 【考点四】二倍角公式 一、任意角及其度量 1. 角度与弧度换算 核心换算关系：， 单角换算：， 2. 扇形相关公式（弧度制专用） 弧长公式：（为圆心角弧度，为半径） 扇形面积公式： 3. 任意角三角比定义 设角终边上任意一点（非原点），，则： 正弦： 余弦： 正切： 余切： 4. 三角比象限符号（口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦） 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 5. 同角三角比基本关系 平方关系： 商数关系： 倒数关系： 6. 诱导公式（核心口诀：奇变偶不变，符号看象限） 适用所有终边对称角，重点记忆期中高频组： ，， ，， ，， ，， ， 二、 三角恒等变换（解答题化简求值核心） 1. 两角和与差公式（必背，期中高频） 正弦和差： 余弦和差： 正切和差： 2. 二倍角公式（化简必考） 正弦二倍角： 余弦二倍角（三种形式，灵活选用）： 正切二倍角： 3. 降幂公式（期中高频变形） 三、解三角形（大题必考，分值最高） 1. 正弦定理 在中，角对边分别为，外接圆半径为，则： 适用题型：已知两角一边、已知两边及其中一边对角（注意多解情况） 2. 余弦定理 原式：，， 变形求角：，， 适用题型：已知三边、已知两边及其夹角 3. 三角形面积公式 . 【考点一】任意角的正弦、余弦、正切、余切 1.（23-24高一下·上海普陀·期中）是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】利用特殊三角函数值求角，即可作出判断. 【详解】由或 又由， 故选:D. 2．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再由三角函数值逐个判断可得. 【详解】因为为第三象限角，所以， 可得，， 所以是第第一，二象限角， 所以，不确定， 故选：B 3．（23-24高一下·上海·期中）已知，则角的终边所在的象限为（    ） A．第一或第二 B．第二或第三 C．第三或第四 D．第四或第一 【答案】A 【分析】变形得到，故，得到所在象限. 【详解】， 故且，故角的终边所在的象限为第一或第二象限. 故选：A 4.（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可． 【详解】角为第一象限角，， ． 故答案为：． 5．（23-24高一下·上海普陀·期中）已知角的终边经过点，则_______. 【答案】/ 【分析】利用正切函数的定义即可得解. 【详解】由正切函数定义得：， 故答案为： 6．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知角的终边过点，则______. 【答案】 【分析】根据三角函数定义直接计算即可得解. 【详解】由题得. 故答案为：. 7.（23-24高一下·上海·期中）已知.求： (1)的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）显然，故则，解得. （2） 8．（2024高一下·上海·专题练习）已知和是关于方程的两个实根． (1)求实数的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根与系数的关系结合同角三角函数的关系求解即可； （2）由已知可得，化简后结合（1）的结果可求得答案. 【详解】（1）、是关于的方程的两个根， ，， ，解得或， 由，得或， ； （2）， 又由（1）可得，， ， ． 9．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 【考点二】诱导公式 10.（24-25高一下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义求，结合诱导公式求. 【详解】因为角以为始边，终边与单位圆交于点， 所以， 所以. 故选：B. 11．（24-25高一下·上海浦东新·期中）下列诱导公式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式，逐项验证即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：D. 12.（23-24高一下·上海嘉定·期中）正弦函数是一个_______函数（填写“奇”或“偶”） 【答案】奇 【分析】根据函数奇偶性定义判断即可. 【详解】，， 故，即是一个奇函数. 故答案为：奇. 13．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】首先确定终边对应的角，再结合三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，点所在终边为角，，，， 顺时针旋转后终边对应的角为，且， 则，， 所以，，所以. 故答案为： 14．（24-25高一下·上海宝山·期中）若，则_____. 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数之间的关系以及诱导公式代入计算可得结果. 【详解】由可得， 可得，所以； 故答案为： 15.已知,求的值. 【答案】 【分析】根据诱导公式化简可得，再根据诱导公式结合齐次式法求值，即得答案. 【详解】由得， 故 ， 故答案为： 16．（24-25高一下·上海嘉定·期中）解答下列问题： (1)化简 (2)在中，若，求的值． 【答案】(1)； (2) ． 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）将，两边平方得，从而可得，再由，求解即可. 【详解】（1）解：原式=； （2）解：将，两边平方得， ， ， . 【考点三】两角和与差的正弦、余弦、正切公式 17.已知，有以下两个结论：①存在在第一象限，在第二象限；②存在在第一象限，在第四象限；则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①错②对 D．①对②错 【答案】C 【分析】结合两角和的正弦公式、特殊值来确定正确选项. 【详解】①，在第一象限，在第二象限， ， 所以，①错误. ②，当时，成立，②正确. 故选：C 18． （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和两角和差余弦公式可化简已知原式为，由此可得结果. 【详解】原式. 故选：B. 19.（24-25高一下·上海奉贤·期中）化简______. 【答案】/ 【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 20．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 21．（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知，则__________． 【答案】/ 【分析】由同角三角函数的平方关系求得，再根据两角和的余弦公式即可求解． 【详解】因为，所以， 则， 故答案为：． 22．（24-25高一下·上海·期中）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据三角函数的同角求值，可求得，再结合两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以 . 故答案为：. 23．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知，且，，则_____． 【答案】 【分析】先由同角三角函数关系求得，再通过“配角”利用两角和的余弦公式求解即得. 【详解】∵，，∴ 又∵，， ∴，， ∴ . 故答案为：. 24.（23-24高一下·上海·期中）（1）化简 （2）已知，求的值 【答案】（1）0；（2）. 【分析】（1）根据两角差的正弦公式和两角和的余弦公式即可求解. （2）分式分子分母同时除以即弦化切即可计算求解. 【详解】（1） . （2）因为， 所以. 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，为钝角，角的终边上一点为，求： (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由同角间的三角函数关系，可求；由三角函数的定义，可求； （2）由（1）可求出，根据三角函数的定义求出，利用两角差的正切公式，即可求得. 【详解】（1）因为，为钝角，所以； 因为角的终边上一点为，所以. （2）由（1）和已知得， 角终边上的一点为，则， 所以. 【考点四】二倍角公式 26.（24-25高一下·上海·期中）“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用二倍角公式化简即可说明充分性，再利用特殊值判断必要性. 【详解】因为， 所以“”推得出“”故充分性成立； 由，当，即，则，， 此时，，则，此时无意义，故必要性不成立； 所以“”是“”成立的充分不必要. 故选：A 27．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，，，， ，， ， . 故选：B. 28．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知的值，则关于和的值，下列说法中正确的是（    ） A．的值和的值均唯一确定 B．的值唯一确定，但的值可能不唯一 C．的值唯一确定，但的值可能不唯一 D．的值和的值均可能不唯一 【答案】A 【分析】根据二倍角公式以及余弦的和差角公式即可化简求解. 【详解】由于， ， 所以的值，则关于和的值唯一. 故选：A. 29.（23-24高一下·上海·期中）已知，则__________. 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式列式求解. 【详解】由，得，则，由，得， 所以. 故答案为： 30．（23-24高一下·上海·月考）若，则的值为________. 【答案】 / 【分析】由已知等式两边平方，并通过二倍角公式即可得解. 【详解】因为, 所以两边平方得， 所以由二倍角公式得. 故答案为：. 31．（23-24高一下·上海·期中）如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边、，已知以直角边、为直径的半圆的面积之比为，记，则______.    【答案】 【分析】由面积比求得，结合二倍角公式即可得解. 【详解】以直角边，为直径的半圆的面积分别为：，， 由面积之比为得：，即， 在中， 故可得. 故答案为：. 32.（24-25高一下·上海·期中）已知关于的方程的两根为和. (1)求的值； (2)求和的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据韦达定理和二倍角的余弦公式计算即可求解； （2）由计算即可求出；由（1）求得，进而求得，则，结合二倍角的正切公式计算即可求解. 【详解】（1）由韦达定理得， 所以； （2）由（1）得， ， 因为，， 故，则， 解得，所以， 故. 33．已知α为第三象限角，. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由诱导公式可求，再由二倍角的余弦公式求解. 【详解】（1） . （2）,则. 所以. 【考点五】三角变换的应用 34.（23-24高一下·上海·月考）若，则______. 【答案】 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 35．已知函数，（），若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_______. 【答案】 【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到，再令，得到，，根据函数在区间内没有零点，得到，然后由，得到k的范围，然后将函数在区间内没有零点，转化为在内没有整数求解. 【详解】解：， 由，得，即，. 函数在区间内没有零点， ，若. 则， 若函数在区间内没有零点，等价于在内没有整数， 则，即， 若内有整数，. 则当时，由，得，即 若当时，由，得，即，此时. 当时，由，得，即此时超出范围. 即若内有整数，则或. 则若内没有整数，则或， 故答案为：. 36．（23-24高一下·上海虹口·期中）若可化为，则角的一个值可以为__． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二倍角公式和辅助角公式即可化简得，进而可得,即可求解. 【详解】， 所以，则角的一个值可以为． 故答案为： 37．已知，均为锐角，，则＝______． 【答案】 【分析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的正弦函数公式化简，把各自的值代入即可求出值． 【详解】，都是锐角， ， 又，， 所以，， 则 ． 故答案为：. 38．若，则__． 【答案】 【分析】根据余弦差角公式的逆运算得到，结合，求出，再利用正弦的二倍角公式求出答案. 【详解】，， 则， 所以． 故答案为： 39.（1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案； （2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案. 【详解】（1）证明：左边 右边，得证； （2）原式． 40．（23-24高一下·上海松江·期中）（1）已知，求的值； （2）证明恒等式：． 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）两边平方后，根据同角公式和二倍角的正弦公式可得结果； （2）根据两角和的正弦公式和同角公式可证等式成立. 【详解】（1）由，得， 得， 得. （2）证明：左边右边. 41．已知是方程的两根，且求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用韦达定理可得，再利用两角和的正切公式即可得解； （2）先判断的符号，从而可求得的范围，即可得出的范围，从而可得出答案. 【详解】（1）解：因为是方程的两根， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以， 故，所以， 所以. 42．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】(1) (2)证明见解析，这个常数为； (3)或 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】（1）解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； （2）证明：当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差”， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； （3）解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或． 【考点六】正弦定理 43.（25-26高一下·上海·期中）能判断一定是一个直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AB；利用正弦定理角化边，结合平方关系判断CD. 【详解】对于A，取，则，显然，即，， ，因此，A不是； 对于B，取，则，， 且，因此，，B不是； 对于C，由及正弦定理，得，令， 则，显然，而， 因此的最大内角不是直角，C不是； 对于D，由，得， 整理得，由正弦定理得，，D是. 44．（23-24高一下·上海·期中）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，，，分别是角，，的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得只有一解，的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形解的个数结合已知条件确定的取值范围，逐个选项判断即可. 【详解】由题意可知三角形只有一个解， 由上图可知： 若只有一解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有一个交点， 则或，即或， 所以的取值不可能为， 故选：B 45．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边______. 【答案】10 【分析】由三角形的面积公式求解． 【详解】由，得， 得， 故答案为：10 46．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为______. 【答案】12 【分析】先由同角三角函数的关系求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，， 所以， 所以的面积为， 故答案为：12 47．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为___________. 【答案】或 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 48．（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 49.在中，已知，，，求和. 【答案】或，或 【分析】与正弦定理可得，则或，即可求出，再由两角和与差的余弦公式结合三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理可得：，则，则， 则或. 若，，则， 则， 若，，则， 则. 故或，或. 50．在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】先切化弦，由正弦定理边化角，再利用和角差角的正弦公式化简即可求证. 【详解】因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，可得， 因为，所以，即得证. 51．（24-25高一下·上海宝山·期中）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角，墙的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记. (1)若，求三角形的周长（结果精确到0.01）； (2)为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1)22.45米． (2)米时，活动室面积最大，最大面积为． 【分析】（1）由正弦定理求得后可得周长； （2）由正弦定理求得（用表示），然后计算面积，结合两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简函数，利用正弦函数性质得最大值． 【详解】（1）由正弦定理，即，， ， 由得， 三角形周长为 （米）． 所以三角形周长约为22.45米． （2）由得， 又， 得， 所以， ， 因为，所以，即时，，此时， 此时三角形取得最大面积． 【考点七】余弦定理 52.（24-25高一下·上海·期中）在中，，记的面积为，若，判断 的形状为（     ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由，利用向量的数量积和三角形的面积公式，得到，求得，再由余弦定理，结合，列出方程求得，得到，即可得到答案. 【详解】由，可得， 即，可得， 因为，可得， 又由余弦定理，可得， 因为，可得，所以， 整理得，即，所以，所以， 所以为等边三角形. 故选：B. 53．若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 即，所以， 故是等边三角形， 故选：D. 54．（24-25高一下·上海浦东新·期中）为测量A，B两地之间的距离，甲同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案：①测量∠A，|AC|，|BC|；②测量∠A，∠B，|BC|；③测量∠C，|AC|，|BC|；④测量∠A，∠B，∠C．要求甲同学选择的方案能唯一确定A，B两地之间的距离，这样方案的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正弦定理、余弦定理分析三角形解的个数． 【详解】选择方案①，由正弦定理得，，角可能有两解，从而不一定能唯一确定； 选择方案②，∠A，∠B确定后是确定的，由正弦定理可得是唯一的； 选择方案③，直接由余弦定理求解，是唯一的； 选择方案④，三角形只有三个角的大小，没法求得边长，不唯一， 因此可选择方案有②和③两个． 故选：B． 55.（25-26高一下·上海浦东新·月考）在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 【答案】/0.875 【详解】 因为三角形三边之比为， 所以可设三边长分别为， 根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知， 对应的角即为该三角形的最小角， ． 56．（24-25高一下·上海长宁·期中）如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度________米 【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 57．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 58.（24-25高一下·上海闵行·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，且，． (1)求的面积； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】0（1）由条件根据同角关系和二倍角公式求，，结合面积公式求结论， （2）由条件结合余弦定理求，由此可得结论. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，， 又， 所以的面积， 所以求的面积为； （2）由（1）， 由余弦定理可得， 又，， 所以， 所以， 所以的周长为． 59．（24-25高一下·上海·期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C． (1)若，，求的外接圆的半径； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求解可得； （2）由余弦定理求得，进而得解. 【详解】（1）设的外接圆的半径为， 由正弦定理得：， 所以，故的外接圆的半径. （2）由，得， 所以，又，则， ∴. 60．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，角，，所对的边分别为，，，若． (1)求的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理，结合特殊角的三角函数值，即可得到； （2）运用余弦定理，结合完全平方公式求出，再运用三角形的面积公式即可得所求． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 即， 所以，即 因为 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，， 由余弦定理，得， ∵，， ∴，得， 所以的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $