精品解析：河南省实验中学2025-2026学年下学期七年级阶段性评估数学试卷

七年级下学期阶段性评估数学试卷 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列几种说法：①相等的角是对顶角；②等角的补角相等；③同位角相等；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤连接两点的线段叫做两点间的距离．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 小李同学制作了如图所示的卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余5张 B. 够用，剩余1张 C. 不够用，缺2张 D. 不够用，缺3张 9. 如果一个数等于两个连续奇数平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列中为“幸福数”的是（　　） A. 410 B. 401 C. 140 D. 104 10. 如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则图3中的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是________． 12. 在英文单词“”中任选一个字母，字母“n”被选中概率是______． 13. 若多项式是一个完全平方式，那么常数的值是______． 14. 若，，则，的大小关系是______（填“＜”或“＞”）． 15. 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6…，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9…，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．设第n个图形三角形数为x，第个图形三角形数为y，第个图形正方形数为z，则x、y、z之间的等量关系为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，线段交于E． （1）尺规作图：以点D为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹并写出结论） （2）判断与的位置关系，并说明理由． 19. 如图所示，已知BA平分∠EBC, CD平分∠ACF,且AB∥CD, (1)试判断AC与BE的位置关系，并说明理由； （2）若DC⊥EC于C, 猜想∠E与∠FCD之间的数量关系，并推理判断你的猜想． 20. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座雕像然后将阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积；（用含a、b的代数式表示） （2）当，时，求绿化的面积． 21. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 23. 如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数； （2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线． ①如图1，过点C作AB的平行线CM，射线CN平分∠BCM，且与射线AE交于点N．若∠ANC与∠ABC互为“伙伴角”，则∠ABC＝______； ②如图2，过点C作AB的垂线，垂足为D，AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“伙伴角”，求∠ABC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下学期阶段性评估数学试卷 （时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：和是对顶角的是： 2. 下列成语描述事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟悉定义是解题的关键．根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件． 【详解】解：A、旭日东升是必然事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； B、画饼充饥是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； C、守株待兔属于随机事件，故该选项符合题意； D、竹篮打水是不可能事件，不属于随机事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，其中用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，正确的确定的值即可． 【详解】解：； 故选：C 4. 下列四个图都由一副透明的三角尺摆放而成，其中与互补的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，熟记概念与性质是解题的关键． 根据补角，对顶角、邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：A、图中的对顶角和的对顶角的和为，所以，不互补，故本选项不符合题意； B、图中，不互补，故本选项不符合题意； C、图中，的邻补角为，所以，，互为补角，故本选项符合题意； D、图中，与互余，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算； C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算； D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算． 6. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质． 根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 故选：C. 7. 下列几种说法：①相等的角是对顶角；②等角的补角相等；③同位角相等；④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤连接两点的线段叫做两点间的距离．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对顶角、补角、同位角、垂线性质及两点间距离的概念辨析，需逐一判断每个说法即可．熟练掌握相关概念及性质是解题的关键． 【详解】解：①对顶角是有公共顶点且两边互为反向延长线的相等角，相等的角不一定满足对顶角的定义，故①错误； ②等角的补角相等，故②正确； ③只有两直线平行时，同位角才相等，无平行条件时同位角不一定相等，故③错误； ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质，故④正确； ⑤两点间的距离是连接两点的线段的长度，而非线段本身，故⑤错误； 综上，正确的个数有2个， 故选B． 8. 小李同学制作了如图所示卡片类、类、类各10张，其中、两类卡片都是正方形，类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的类卡片的张数的说法中，正确的是（ ） A. 够用，剩余5张 B. 够用，剩余1张 C. 不够用，缺2张 D. 不够用，缺3张 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多项式与多项式的乘法与图形的面积，根据大长方形的面积公式求出拼成大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】解： ， ∵C类卡片的面积是，∴需要C类卡片的张数是13，∴C类卡片不够用，还缺3张．故选：D． 9. 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列中为“幸福数”的是（　　） A. 410 B. 401 C. 140 D. 104 【答案】D 【解析】 【分析】根据“幸福数”定义，设出两个连续奇数，利用平方差公式推导得出“幸福数”的倍数特征，再判断选项即可． 【详解】解：设两个连续奇数为和（其中n为正整数）， 由题意得“幸福数”为： ∴“幸福数”一定能被整除． A选项：，不能被整除，不符合． B选项：，不能被整除，不符合． C选项：，不能被整除，不符合． D选项：，能被整除，符合． 10. 如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则图3中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知∠DEF=∠EFB=20°图2中∠GFC=140°，图3中的∠CFE=∠GFC-∠EFG． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=20°， 在图2中∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图3中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°． 故选B． 【点睛】此题考查图形的翻折变换，解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是正确解答的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 12. 在英文单词“”中任选一个字母，字母“n”被选中的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：英文单词“”中共有个字母，其中字母“n”有个， 字母“n”被选中的概率是． 13. 若多项式是一个完全平方式，那么常数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求完全平方式中的参数，根据完全平方式的特点，进行计算即可． 【详解】解：∵多项式一个完全平方式， ∴，或 ∴； 故答案为： 14. 若，，则，的大小关系是______（填“＜”或“＞”）． 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据幂的乘方进行解答即可 【详解】解：∵a15=（a3）5=25=32，b15=（b5）3=33=27，32＞27， ∴a15＞b15， ∴a＞b， 故答案为：＞； 【点睛】本题考查了幂的乘方，根据题目所给的运算方法进行比较是解题的关键． 15. 毕达哥拉斯常在沙滩上摆小石子表示数，产生了一系列的形数．如图1，当小石子的数是1，3，6…，小石子能摆成三角形，这些数叫三角形数．如图2，当小石子的数是1，4，9…，小石子能摆成正方形，这些数叫正方形数．设第n个图形三角形数为x，第个图形三角形数为y，第个图形正方形数为z，则x、y、z之间的等量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知第n个三角形数为，第n个正方形数为，第个图形正方形数为，即可求解． 【详解】解：由题意知第n个三角形数为， 第n个正方形数为，第个图形正方形数为， ∵第n个图形三角形数为，第个图形三角形数为，第个图形正方形数为， ∴，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）利用完全平方公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；0 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式计算，平方差公式计算，解题关键是正确化简． 先利用完全平方公式计算，平方差公式计算，再合并同类项，然后作除法，化为最简，再代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式． 18. 如图，线段交于E． （1）尺规作图：以点D为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹并写出结论） （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作出图形即可． （2）证明即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求作． 【小问2详解】 解：结论：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 如图所示，已知BA平分∠EBC, CD平分∠ACF,且AB∥CD, (1)试判断AC与BE的位置关系，并说明理由； （2）若DC⊥EC于C, 猜想∠E与∠FCD之间的数量关系，并推理判断你的猜想． 【答案】（1）AC∥BE．理由见解析；（2）∠E与∠FCD互余，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由AB∥CD得到∠ABC=∠DCF，再由BA平分∠EBC， CD平分∠ACF得到∠EBC=2∠ABC，∠ACF=2∠DCF，即可得∠EBC=∠ACF，根据同位角相等得出AC∥BE； （2）由AC∥BE得到∠E=∠ACE，再由CD平分∠ACF得到∠ACD=∠FCD和DC⊥EC，得到∠ACE+∠ACD=90°，可得出∠E+∠FCD=90°，即∠E与∠FCD互余； 【详解】解：（1）AC∥BE .理由如下： 因为AB∥CD， 所以∠ABC=∠DCF， 因为BA平分∠EBC，CD平分∠ACF 所以∠EBC=2∠ABC，∠ACF=2∠DCF 所以∠EBC=∠ACF 所以AC∥BE （2）∠E与∠FCD互余 因为AC∥BE，所以∠E=∠ACE 因为CD平分∠ACF，所以∠ACD=∠FCD 又因为DC⊥EC，所以∠ACE+∠ACD=90° 所以∠E+∠FCD=90° 即∠E与∠FCD互余 20. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为米的正方形地块修建一座雕像然后将阴影部分进行绿化． （1）求绿化的面积；（用含a、b的代数式表示） （2）当，时，求绿化的面积． 【答案】（1）平方米 （2）129平方米 【解析】 【分析】（1）根据绿化面积矩形面积正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将与的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：依题意得：平方米， 答：绿化面积是平方米． 小问2详解】 解：当，时， （平方米）． 答：绿化面积是129平方米． 21. 盒子中装有8个红球，9个白球和若干个黑球，除颜色以外这些球无任何差别．随机从盒中摸一个球，已知摸到红球的概率为． （1）摸到黄球是______（从“随机事件”，“必然事件”，或“不可能事件”中选一个填空）； （2）求盒中黑球的个数； （3）若往盒中再加入若干个红球，使摸到黑球的概率为，求加入的红球个数． 【答案】（1）不可能事件； （2）盒中黑球个数为7； （3）往盒中再加入4个红球． 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，随机事件的概率等知识点，熟知：概率所求情况数与总情况数之比，是解本题的关键． （1）根据“一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；一定条件下，可能发生也可能不发生的事件为随机事件”，据此解答即可； （2）设盒中黑球的个数为，列出方程并求解即可； （3）设往盒中再加入个红球，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：∵盒子中没有黄球， ∴不可能摸到黄球， ∴摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能事件； 【小问2详解】 设盒中黑球的个数为，则 解得． 答：盒中黑球个数为7； 【小问3详解】 设往盒中再加入个红球，则 解得． 答：往盒中再加入4个红球． 22. 【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【解析】 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）由（1）的结论得：， 又， ； （3）设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 23. 如果两个角的差等于30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如，，，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． （1）已知∠1和∠2互为“伙伴角”，∠1>∠2，且∠1和∠2互补，求∠1的度数； （2）在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线． ①如图1，过点C作AB的平行线CM，射线CN平分∠BCM，且与射线AE交于点N．若∠ANC与∠ABC互为“伙伴角”，则∠ABC＝______； ②如图2，过点C作AB的垂线，垂足为D，AE、CD相交于点F．若∠FCE与∠CEF互为“伙伴角”，求∠ABC的度数． 【答案】（1）105° （2）①75°或15°，②50°或10° 【解析】 【分析】对于（1），根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答； 对于（2）①，先设∠ABC=x，表示∠BAC，再根据平分线的定义表示∠NAC，根据平行线的性质得∠BCM，由平分线的定义得∠BCN，进而求出∠ANC，然后根据伙伴角的定义得出答案； 对于②，分∠FEC＞∠FCE时，设∠FCE=x，表示∠FEC，∠DAC，再根据平分线的定义表示∠EAC，然后根据∠EAC+∠FEC=90°，列出关于x的方程，求出即可；再根据∠FCE＞∠FEC时，仿照①列出方程求出解即可． 【小问1详解】 ∵∠1与∠2互为“伙伴角”，∠1＞∠2， ∴∠1-∠2=30°． ∵∠1+∠2=180°， ∴∠2+30°+∠2=180°， 解得∠2=75°， ∴∠1=30°+75°=105°； 【小问2详解】 ①设∠ABC=x． ∵∠ACB=90°， ∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-x． ∵AN平分∠BAC， ∴． ∵， ∴∠BCM=∠ABC=x． ∵CN平分∠BCM， ∴， ∴∠ANC=180°-∠NAC-∠ACB-∠BCN=． ∵∠ABC-∠ANC=30°或∠ANC-∠ABC=30°， ∴∠ABC=75°或15°； 故答案为：75°或15°； ②当∠FEC＞∠FCE时，则∠FEC-∠FCE=30°． 设∠FCE=x，则∠FEC=30°+x． ∵∠ACB=∠CDA=90°， ∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°， ∴∠DAC=∠DCB=x． ∵AE平分∠BAC， ∴． ∵∠EAC+∠FEC=90°， ∴， 解得， ∴∠FCE=40°， ∴∠ABC=90°-∠FCE=50°． 当∠FCE＞∠FEC时，则∠FCE-∠FEC=30°， 设∠FCE=x，则∠FEC=x-30°， ∵AE平分∠BAC， ∴． ∴， 解得， ∴∠FCE=80°， ∴∠ABC=90°-∠FCE=10°． 综上所述，∠ABC的度数为50°或10°． 【点睛】这是一道关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $