精品解析：天津市双菱中学2025-2026学年高一下学期月考一数学试卷

双菱中学2025—2026学年高一下学期一月考数学试卷 一、单项选择题（每小题4分，共计40分） 1. 若是纯虚数，则实数的值等于（ ） A. 0或2 B. 2或 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义计算得解. 【详解】因为是纯虚数，所以，解得； 故选：C. 2. 已知与共线，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的性质直接计算即可. 【详解】由与共线， 则， 解得， 故选：D. 3. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4. 的内角、、的对边分别为、、，若，则等于 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得或，选D. 5. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 6. 在ABC中，．则的取值范围是（ ） A. （0，] B. [，） C. （0，] D. [，） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析： 由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C. 7. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 故， ， ， 故 ， 由于 ，故. 故选：B. 8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得 ，故选A． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用． 9. 已知的模为1，的模为2，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量数量积的运算律结合投影向量的计算公式即可求解. 【详解】， 则在上的投影向量为：. 10. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为的非等腰三角形 D. 顶角为的等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 利用平方关系式和正弦定理得，根据余弦定理求出，再根据求出，从而可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 根据正弦定理可得，即， 所以，因为，所以，所以， 由得， 得， 得， 得， 得，因为为三角形的内角，所以，， 所以为顶角为的等腰三角形. 故选：D 【点睛】思路点睛：判断三角形形状从两个方面入手：①利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，②利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状. 二、填空题（每小题4分，共计24分） 11 若复数满足，则等于___________ 【答案】5 【解析】 【详解】由， 所以. 12. 已知中，，，，则的外接圆面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积. 详解】解：根据题意，由余弦定理可得 ， 该的外接圆的半径为r， 则由正弦定理得：. 故答案为：. 13. 已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 【答案】 【解析】 【详解】如图，因为，所以， 则， 因为三点共线， 所以，所以. 14. 已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨令，，表示出、的坐标，依题意可得且与不反向，根据数量积的坐标表示及平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】不妨令，， 所以， ， 因为与的夹角为钝角， 所以且与不反向， 若，则，解得， 若与共线，则，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故答案为： 15. 在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________ ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③P为所在平面内的一点，且，则P为的内心． 【答案】① 【解析】 【分析】由正弦定理，得到，可判定①正确；利用正弦定理化简得到，求得或，可判定②错误；利用向量的运算法则，分别求得和，得到点为的垂线，可判定③错误. 【详解】对于①，若，由正弦定理，可得，所以，所以①正确； 对于②，若，由正弦定理得，所以， 因为，所以或，可得或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以②错误； 对于③，由，可得， 又由，可得， 所以，所以点为的垂心，所以③错误. 16. 梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质即可. 【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设，由， ， 则， ， 令，则， ， 当时，有. 三、解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题10分，共计36分） 17. 已知， （1）若与的夹角为，求； （2）若与垂直，求与夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得的值，将平方，整理计算，即可得到答案. （2）根据条件可得的值，代入夹角公式，即可得答案. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以， 则， 所以 【小问2详解】 由与垂直，得， 所以，则， 因为，所以，即与的夹角为. 18. 设复数. （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求的共轭复数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据是实数，求得，再由复数的乘法运算即可求得； (2)由是纯虚数，可得，即有，即可得的共轭复数. 【小问1详解】 解：是实数， ， 【小问2详解】 解：是纯虚数， 所以，解得， 所以， 故的共轭复数为. 19. 在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值 【答案】（1）B=60°（2） 【解析】 【详解】（1)由正弦定理得 【考点定位】本题主要考查三角形中的三角函数，由正余弦定理化简求值是真理 20. 在三角形中，角所对的边分别为，且 （1）求的大小； （2）若三角形的面积，求最大值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求解； （2）由三角形的面积公式得到，再结合余弦定理和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 根据正弦定理， 可得， 代入已知等式：， 整理得：，  由余弦定理​，代入得：​，  因，故. 【小问2详解】 三角形面积公式，代入， ​​得：，又， 得，  又  将代入整理得： ​ 由基本不等式，代入得：， ​ 整理得，即，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 双菱中学2025—2026学年高一下学期一月考数学试卷 一、单项选择题（每小题4分，共计40分） 1. 若是纯虚数，则实数的值等于（ ） A. 0或2 B. 2或 C. D. 2 2. 已知与共线，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 在△中，为边上中线，为的中点，则 A. B. C. D. 4. 的内角、、的对边分别为、、，若，则等于 A. B. C. 或 D. 或 5. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 6. 在ABC中，．则的取值范围是（ ） A. （0，] B. [，） C. （0，] D. [，） 7. 若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 已知的模为1，的模为2，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 10. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为（ ） A 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 顶角为非等腰三角形 D. 顶角为的等腰三角形 二、填空题（每小题4分，共计24分） 11. 若复数满足，则等于___________ 12. 已知中，，，，则的外接圆面积为___________. 13. 已知：在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为___________ 14. 已知与为互相垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是____________. 15. 在中，角的对边分别为，则下列命题中正确的序号为：___________ ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③P为所在平面内一点，且，则P为的内心． 16. 梯形中平行于，，，，P为腰所在直线上任意一点，则的最小值是___________． 三、解答题（17题8分，18题8分，19题10分，20题10分，共计36分） 17. 已知， （1）若与的夹角为，求； （2）若与垂直，求与的夹角． 18. 设复数. （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求共轭复数. 19. 在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB． （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值 20. 在三角形中，角所对的边分别为，且 （1）求的大小； （2）若三角形的面积，求最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $