精品解析：天津市第二十中学2025-2026学年高二下学期第一次学情调研数学试卷

2025-2026第二学期高二年级数学学科第一次学情调查 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上） 1. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合分步乘法计数原理运算求解即可. 【详解】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择， 所以不同的报名方法种数是. 故选：D. 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式及导数的定义求解. 【详解】由题意得，， 则． 故选：B 3. 函数的定义域为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，再利用函数的单调性求解即可 【详解】构造函数，满足， 所以在上是增函数，又因为， 所以的解集为． 故选:B． 4. 将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项的两个函数图象特征，确定函数与其导函数图象即可. 【详解】对于A，在轴上方的曲线为的图象，该函数单调递减，则恒成立，的图象在轴下方，符合题意，A正确； 对于B，与轴有3个交点的曲线为的图象，另一条曲线为的图象，的零点即为的极值点，的单调性与的正负情况吻合，B正确； 对于C，平行于轴的直线为的图象，否则，不符合题意， 此时是大于0的常数，则是单调递增的一条直线，矛盾，C错误； 对于D，与轴相交的曲线为的图象，该函数单调递增，则恒成立，的图象在轴上方，符合题意，D正确. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据的正负性排除B、D，再根据其单调性排除C. 【详解】或时；时，排除B、D； ，则， 得；得或， 故在上单调递增，在和上单调递减， 排除C. 故选：A 6. 若函数在上不单调，则的取值范围 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：先求函数的定义域为．和函数的单调性有关，应先求导函数．求导得．令与，求得函数的增区间为，减区间为．由函数在上不单调，可得区间不是任一个单调区间的子集．所以或 进而求得所求范围． 详解：函数的定义域为． 因为 令，即 解得 令，即 解得或 所以函数的增区间为，减区间为． 因为函数在上不单调， 所以或 解得或 故选D． 点睛：由函数的单调性求参数的取值范围的问题，和函数的导函数有关． ⑴ 函数在区间上为增函数（减函数），则（）在区间上恒成立，转化为不等式恒成立，可求参数的取值范围． ⑵ 函数在区间上为单调函数，则则或在区间上恒成立，转化为不等式恒成立，可求参数的取值范围． ⑶函数在区间上不单调，可由区间不是函数的单调区间的子集来求参数的取值范围． 7. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 或 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由求得或，再分别代入验证极值确定值. 【详解】由题意得，又函数在处取得极小值， 则，解得或． 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极小值，故符合； 当时，，令，则或， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在处取得极大值，故不符合， 所以． 故选：B. 8. 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（ ） A. －1 B. 0 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题设图象，得到，根据，得出，即可求解. 【详解】由题意，可得曲线在处切线的斜率为，即， 又，可得，则， 由题意可知，所以. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9. 设函数.若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由恒成立，对分类讨论可知与零点相同，再根据构造函数，对其求导研究单调性，得到最小值. 【详解】令，，则. 当时，；当时，. ①当时，，但不一定保证恒成立，不符合题意； ②当时，可知当时，； 当时，，由于，， 得，即，，. 令，则，由得，得， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，的最小值为. 故选：C. 10. 函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋的单调递增区间是（ ） A. (－∞，－2] B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图象知，，不妨取，先对函数进行求导，根据，时函数取到极值点知，，故可求出，的值，再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案． 【详解】解：不妨取， ， 由图可知， ，，， ，，当时， 的单调递增区间为：， 故选：D． 11. 我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（ ） A. 22个 B. 21个 C. 20个 D. 19个 【答案】B 【解析】 【分析】法一：问题化为用2个隔板把6个排成一排的球从左到右分成三份，其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球，应用分类计数原理求吉祥数的个数；法二：化为求方程非负整数解的个数. 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把6个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先第1个隔板从左到右依次插入这一排球所形成的7个空的后6个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空， 共有个吉祥数. 法二：等价于从左到右三份分别对应且，， 若，则，即求出方程非负整数解的个数， 由隔板法有个吉祥数. 12. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，构造函数，求出函数的导数，结合已知不等式可得在上单调递增，由函数为奇函数，可求得，然后结合函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上） 13. 已知函数及其导函数满足，则_________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题设，则. 14. 函数的极大值点是________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，分析单调性，即可求出极大值点. 【详解】因为函数，则， 令，得到或，令，得到或； 即函数在区间和上单调递增； 令，得到；即函数在区间上单调递减； 故极大值点为， 故答案为： 15. 已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导确定单调区间，求得极值点，结合区间构造不等式求解即可. 【详解】由，可知， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 存在唯一极值点2， 所以，解得：， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 16. 若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为,利用导数的几何意义先求切线方程，由切线方程过点得，令，即与的图像有三个交点， 利用导数研究极值即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 故答案为：. 17. 已知函数，若，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，，得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 18. 已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求并利用导数分析函数的单调性和极值，画出函数图象，利用换元法以及数形结合将方程根的问题转化成关于的方程有两个不相等的实根，且满足，或；再由一元二次方程根的分布即可求得实数的取值范围. 【详解】当时，，， 所以在上单调递增， 当时，，， 则当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则. 所以的大致图象如图所示. 令，则方程可转化为； 结合图象可知，当时，函数与函数有三个交点， 当或时，函数与函数有两个交点， 当或时，函数与函数有一个交点； 若关于的方程有5个不同的实数根， 则方程有两个不相等的实根，且满足，或； 若可得，解得； 经检验当时，方程即为，解得，符合题意； 若方程有两个不相等的实根需满足 ，, 故，即，解得 综上可知，实数的取值范围为或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解方程根的嵌套问题时，经常利用换元法将方程转化，再结合函数图象利用根的分布情况得出参数满足的条件即可求得参数取值范围. 三、解答题：（本大题共2小题，共22分，将解题过程及答案填写在答程卡上） 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为和；极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）讨论导数的正负，求出单调区间，从而求出极值. 【小问1详解】 由题意知， 则 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为，由（1）知， 令，得或； 令，得或， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 易知的极大值为，极小值为． 20. 已知函数，，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用导数与单调性关系求出单调区间. （2）利用导数求出函数的单调区间，再将给定不等式等价转化并分离参数，构造函数并利用导数求出最值即可. 【小问1详解】 已知， 当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为. 则. 令，则，即，解得. 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 函数，则，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 又，， 所以可变形为或. 又，因此当时，，即， 所以，， 即当时，恒成立. 令函数，，， 令，即，解得. 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 令函数，，， 所以函数在上单调递增，所以. 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期高二年级数学学科第一次学情调查 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上） 1. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 2. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数及其导函数的大致图象画在同一个直角坐标系内，下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上不单调，则的取值范围 A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极小值，则的值为（ ） A. 或 B. C. 1 D. 8. 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（ ） A. －1 B. 0 C. 3 D. 4 9. 设函数.若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图，则函数y＝ax2＋的单调递增区间是（ ） A. (－∞，－2] B. C. D. 11. 我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（ ） A. 22个 B. 21个 C. 20个 D. 19个 12. 已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上） 13. 已知函数及其导函数满足，则_________． 14. 函数的极大值点是________． 15. 已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____. 16. 若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 17. 已知函数，若，则的最小值为________. 18. 已知函数若方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为______. 三、解答题：（本大题共2小题，共22分，将解题过程及答案填写在答程卡上） 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 20. 已知函数，，其中． （1）讨论的单调性； （2）当时，，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $