21.4 矩形同步练习 2025-2026学年人教版八年级下册数学

八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.4 矩形 知识点1 矩形的性质和判定 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角． 2．矩形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角；如图，； （3）对角线互相平分且相等；如图，， （4）矩形是轴对称图形，也是中心对称图形． （5）矩形的面积：S矩形-=长×宽 3．矩形的判定 判定方法 文字表述 图形表述 符号表述 判定方法一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵=90，，∴矩形 判定方法二 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵== =90，∴矩形. 判定方法三 对角线相等的平行四边形的四边形是矩形 ∵=，∴矩形 4．矩形的特殊性质和判定的联系 矩形的特殊性质 矩形的判定 矩形的四个角是直角 三个角是直角的四边形是矩形 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 5．矩形的性质应用策略 （1）矩形的折叠问题常与勾股定理联系起来构建方程； （2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 6．判定矩形的常见思路 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 定义：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，； 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形与平行四边形的性质，根据两者共有的性质和矩形特有的性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边相等，平行四边形的对边相等， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形的对边平行，平行四边形的对边平行， ∴矩形与平行四边形都具有，不符合题意； 、∵矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的所有性质外，还具有四个角均为直角（即四个角相等）的性质， ∴矩形具有而平行四边形不具有，符合题意； 故选：． 2．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与矩形的判定，熟练掌握平行四边形及矩形的判定定理是解题的关键． 先判断各选项是否为平行四边形，再依据矩形的判定定理逐一验证，从而确定不一定为矩形的选项． 【详解】解：选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． 由于无直角条件，所以无法判定为矩形． 选项： ∵四边形中有三个角是直角，四边形内角和为， ∴第四个角也是直角． ∴四边形是矩形． 选项： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形． 选项： ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． 故选：． 3．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，，则的长为（    ） A．3 B．4.5 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，证出是等边三角形是关键． 根据矩形的性质，可以得到是等边三角形，则可以求得的长，进而求得的长． 【详解】解：在矩形中， ，， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 故选：C． 5．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，根据两点间距离公式求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 6．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 7．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 过点D作轴于点M，作轴于点N，则四边形是矩形，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可． 【详解】解：如图，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为． 故选：B 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：45． 10．在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 【答案】48 【分析】如图：连接，利用三角形中位线定理可求出的长度，再通过勾股定理的逆定理判断平行四边形的一个内角为直角，最后计算平行四边形的面积即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， ∵E，F分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∵，即 ∴是直角三角形，即， ∵在中，, ∴平行四边形是矩形， ∴． 【点睛】掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 11．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，的坐标为，，固定点，，把矩形沿轴正方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理．由已知条件得到，，，根据勾股定理得到，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为， ∴，， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形是解题的关键．根据矩形的判定定理，可知当时，四边形成为矩形，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∴当时，四边形为矩形 由题意得： ∴ ∴ 解得： 故答案为：4． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出角度即可； （2）借助角所对直角边是斜边的一半得到，再根据勾股定理求出的长度，进而求出面积． 【详解】（1）解：因为四边形是矩形，根据矩形性质， 对角线，且对角线互相平分， 即， ， 在中，， ， ． （2）在中，， 根据直角三角形中，斜边是角对边的2倍， ， 根据勾股定理可得， 故矩形面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，含角的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 14．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 15．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点作直线交于点．在边上存在一点、当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： (1)若，则________； (2)若，则________； (3)连结，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． 【答案】(1)2 (2)3 (3)2或 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先说明四边形是矩形，再说明，根据得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），分，情况，根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）如图所示，根据题意可知， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 故答案为：2； （2）∵， ∴， ∴； 故答案为：3； （3）2或. 当时， ∴， ∴； 当时， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质与矩形的判定定理，结合矩形的判定条件逐一分析每个条件是否能判定平行四边形为矩形即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，无法判定其为矩形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为矩形； ③∵，四边形是平行四边形， ∴为矩形； ④∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴为矩形； 综上，能够判定为矩形的有个． 故选：C． 2．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 3．如图，的对角线相交于点是等边三角形，且的面积为，则对角线的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质，推出，进而得到是矩形，根据含30度角的直角三角性质的性质，以及矩形的面积公式，求出的长，进而得到对角线的长即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点是等边三角形， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 故选B． 4．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由的垂直平分线经过点得，由，是的中点得． 【详解】解：的垂直平分线经过点， ， ，是的中点， ． 5．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形得出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， 故选：A． 6．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点是关键．首先求出，因为矩形的对角线、互相平分，则为中点，所以，因为点为的中点，所以，进而求解即可． 【详解】解：由条件可知， ∵矩形的对角线、互相平分， ∴为中点， ∴， 点为的中点， ． 故选：A． 7．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 8．如图，在中，，，，为边上一动点，过点作于点，于点，动点从点出发，沿着以每秒1个单位长度的速度匀速向终点运动，设运动时间为秒．下列说法正确的有（    ） ①线段的长度先减小后增大；    ②当时，的值最小； ③当时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题需要先根据矩形的性质得出，再结合直角三角形的性质确定的变化情况，进而分析的相关结论． 【详解】解：连接 ∵，，， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，，，， ∴． ∴当时，最短，此时最短． 根据勾股定理， ∴， 解得． 在中，，，， ∴，即时，最短，故②正确． ∵从运动到，先变小后变大（时最小 ）， ∴的长度先减小后增大，故①正确． 当时，，则． 在中，， ∴；，， ∴． ∴，故③错误． 综上，①②正确，共个， 故选： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、直角三角形的性质（含角的直角三角形性质、勾股定理），熟练掌握矩形的对角线相等以及直角三角形的相关性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 10．如图，以矩形的顶点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交及的延长线于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交的延长线于点G．若，，则_______ 【答案】2 【分析】过点作，垂足分别为点和，则，由平分得到，由四边形是矩形，进一步可得，则四边形是矩形，得到，由求得，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为点和，则， 由题意可知，平分， ， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为： 2 ． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质和尺规作图等知识，熟练掌握角平分线的性质、矩形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，根据矩形的性质可知，根据等腰直角三角形的性质可知，由折叠的性质可知，设，由勾股定理可知，列出方程即可求出，根据即可求出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠可知，，， 设， 则， ， 解得 ， ． 12．如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，连接．则的最大值是_______． 【答案】7 【分析】过点C作于点D，连接，则，在中，有，当O，D，C三点共线时，的值最大． 【详解】解：如图，过点C作于点D，连接， ， ， ∴，点是的中点， ∵， ∴， ∵在中，， 当O，D，C三点共线时，值最大， ∴的最大值为． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等腰三角形三线合一得到，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据垂线的定义得到，可证四边形是矩形； （2）根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，为中线． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 14．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论． （2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ． 15．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)直接写出边的长为_____； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或3或； 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． （1）过点B作于点H，证明四边形是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据列方程求解即可； （3）分，，三种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点B作于点H， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． （2）解：，，， 当四边形是矩形时，， ， 解得； （3）解：当时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解． 作，证明，根据平行线的性质与矩形性质即可求解． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图，重合的顶点记作，顶点在另一张纸的分隔线上，若，则的长为（   ） A．6 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及矩形的性质，解题的关键是设出小矩形的边长为未知数，利用勾股定理分别表示出相关线段长度，再结合已知条件建立方程求解． 设每个小矩形的边长为，由两张纸片大小相同且均分成7个小矩形，可得，；在中，根据勾股定理求出；再在含的直角三角形中，利用勾股定理得，结合，建立方程求出；最后代入，计算出的长． 【详解】解：如图，设， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴ 故选：D． 3．综合实践课上，老师让同学们利用尺规借助直角三角形作矩形，如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形，其中正确的是（    ） A．甲和丙 B．乙和丙 C．甲和乙 D．都正确 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的判定定理，甲利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形；乙和丙先构造出平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形得以证明． 【详解】甲：对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 乙：根据内错角相等，两直线平行，先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形． 丙：先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形． A、甲、丙都符合矩形的判定定理，少乙，该选项说法错误，不符合题意； B、乙、丙都符合矩形的判定定理，少甲，该选项说法错误，不符合题意； C、甲、乙都符合矩形的判定定理，少丙，该选项说法错误，不符合题意； D、甲、乙、丙都正确，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 4．如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，利用矩形的性质得到，,结合等腰三角形的性质的度数，由三角形内角和定理得，从而可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，, ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．如图，中，，，点是边上一点，点是边上一点，，过点作于点，过点作于点，则（   ） A． B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 如图，过A点作于H，过E点作于I，则，，得出，，勾股定理算出，证明，得出，证明四边形是矩形，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过A点作于H，过E点作于I， 则，， ∵，． ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，． ∴四边形是矩形． ∴， ∴， 故选：B． 6．在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是掌握翻折的性质，然后作出相应辅助线．由矩形的性质得到，，再根据M，N分别为的中点，易证四边形是矩形，推出，，由折叠的性质求出，利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片中，， ∴，， ∵M，N分别为的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴． 故选：D． 7．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．根据题中所给的思路，将可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长，可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：构造出如图，将问题转化为求的最小值， 可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长， 可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当A，P，B共线时，的最小值为，作交延长线于点E，故四边形是矩形， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为10， 故选：C． 8．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 连接，根据矩形的性质得到，的最小值即为的最小值，当，，三点共线时，的值最小，且为的长度，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ， 的最小值即为的最小值， 当，，三点共线时，的值最小，且为的长度， 四边形是矩形，， ， 的最小值为． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，由题意，易得均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 10．如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 【答案】40 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用“同底等高的两个三角形面积相等”求出的面积． 先根据矩形的性质得到，再根据平移至可得，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形为矩形， ， ， ∵平移至， ∴四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 11．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则矩形的周长为________． 【答案】32 【分析】本题考查的是三角形全等，以及矩形的性质和判定等相关知识点，根据题意画出相关的示意图是解题的关键．当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形，从而，则；延长交于K，则四边形是矩形，，再由三角形面积求出高，从而得，即可求得结果． 【详解】解：如图，当点G，H分别是的中点时，可以拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形， ∴，， ∴，； ∴； 延长交于K， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴矩形矩形的周长为； 故答案为：32． 12．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了距离和最小值问题，利用转化思想是解题的关键． 根据同底等高面积相等，知点的轨迹，再利用轴对称进行转化，找到最小值，再求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ． ． 过点作，则点的运动轨迹是直线． 即在直线上找一点使最小． ， ． 延长到，使，则点与关于对称， 则， ， 根据两点之间线段最短，， 根据勾股定理得：． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）根据题意得，结合即可求解； （2）根据题意可得，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 的周长 ， 故答案为：． 14．如图，在四边形中，，M是对角线的中点，垂直平分，垂足为N． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理． （1）连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据垂直平分线的性质得到，即，，进而根据角的和差得到，即可证明； （2）由（1）可知：，根据垂直平分线的性质得到，，根据勾股定理得到，即，即可求出的值． 【详解】（1）证明：连接，， ，M是的中点， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， ， 即， ； （2）解：由（1）可知：， 垂直平分， ，， 由勾股定理得：， ， ． 15．矩形的对角线交于点O，E是射线上一点（不与B，C重合），过点O作交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是的中点时，若，，求的长； (2)当E在的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)补全图形见解析，，证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，利用勾股定理可得长，则可得到的长，证明四边形是矩形，得到，据此可得答案； （2）先根据题意补全图形，分别延长交于G，连接，证明，得到，，证明垂直平分，得到；再证明；由勾股定理得，则． 【详解】（1）解：∵矩形的对角线交于点O， ∴， ∴， ∴； ∵E是的中点， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴； （2）解：补全图形如下所示，，证明如下： 如图所示，分别延长交于G，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 八年级下册数学｜清单・练・测 一体化复习专辑 第二十一章 四边形 21.4 矩形 知识点1 矩形的性质和判定 1．矩形的定义： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形． （2）矩形的定义有两个要素：①四边形是平行四边形；②有一个角是直角． 2．矩形的性质 （1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角；如图，； （3）对角线互相平分且相等；如图，， （4）矩形是轴对称图形，也是中心对称图形． （5）矩形的面积：S矩形-=长×宽 3．矩形的判定 判定方法 文字表述 图形表述 符号表述 判定方法一 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵=90，，∴矩形 判定方法二 有三个角是直角的四边形是矩形 ∵== =90，∴矩形. 判定方法三 对角线相等的平行四边形的四边形是矩形 ∵=，∴矩形 4．矩形的特殊性质和判定的联系 矩形的特殊性质 矩形的判定 矩形的四个角是直角 三个角是直角的四边形是矩形 矩形的对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形 5．矩形的性质应用策略 （1）矩形的折叠问题常与勾股定理联系起来构建方程； （2）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等． 6．判定矩形的常见思路 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 定义：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，； 【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线． （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．矩形是特殊的平行四边形，下面是矩形具有而平行四边形不具有的性质的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对边相等 C．矩形的对边平行 D．矩形的四个角相等 2．下列四边形中，不一定为矩形的是（   ） A． B． C．D． 3．如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，，则的长为（    ） A．3 B．4.5 C．6 D．12 5．如图，在平面直角坐标系中有一个矩形，点B的坐标是，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 6．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为，将沿翻折．点落在点位置，交轴于点，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形． 10．在中，E，F分别是边，的中点．若，，，则的面积是______． 11．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标为，的坐标为，，固定点，，把矩形沿轴正方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为___________． 12．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形的边运动，点P和点Q的速度分别为和，则最快_____s后，四边形成为矩形． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，求： (1)求的度数； (2)求矩形的面积． . 14．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 15．如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点作直线交于点．在边上存在一点、当点关于直线的对称点恰好落在边上时，解决下列问题： (1)若，则________； (2)若，则________； (3)连结，当是等腰三角形时，画出一种符合条件的示意图，并直接写出的长． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列条件：①；②；③；④．其中能够判定为矩形的有（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，的对角线相交于点是等边三角形，且的面积为，则对角线的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 4．如图，在中，，是边上一点，且的垂直平分线经过点，是的中点．若，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，点是矩形外一点，且在上方，连接，点在边上，连接交边于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线、相交于点，点为的中点，连接，若，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．2 7．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，在中，，，，为边上一动点，过点作于点，于点，动点从点出发，沿着以每秒1个单位长度的速度匀速向终点运动，设运动时间为秒．下列说法正确的有（    ） ①线段的长度先减小后增大；    ②当时，的值最小； ③当时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是___________ 10．如图，以矩形的顶点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交及的延长线于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点H，作射线交的延长线于点G．若，，则_______ 11．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为__________． 12．如图，，的顶点A在射线上，顶点B在射线上，已知，，连接．则的最大值是_______． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 14．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积 15．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． (1)直接写出边的长为_____； (2)当四边形是矩形时，求的值； (3)在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．如图，矩形的顶点A，C分别在直线a，b上．若且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图，重合的顶点记作，顶点在另一张纸的分隔线上，若，则的长为（   ） A．6 B．4 C．6 D．7 3．综合实践课上，老师让同学们利用尺规借助直角三角形作矩形，如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形，其中正确的是（    ） A．甲和丙 B．乙和丙 C．甲和乙 D．都正确 4．如图，矩形的对角线、相交于点，点在上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，点是边上一点，点是边上一点，，过点作于点，过点作于点，则（   ） A． B．3 C．5 D．6 6．在一张矩形纸片中，，M，N分别为的中点，现将这张纸片按图方式折叠，使点B落在上的点F处，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 7．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 8．如图，是矩形的对角线上一点，，，于点，于点，连接，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，则车位所占的宽度为______． 10．如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 11．综合实践活动课上，小亮将一张面积为，其中一边为的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形（如图2），则矩形的周长为________． 12．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为________． 三、解答题（每小题8分，共24分） 13．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天，人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，是延长线上一点，是上一点，并且． (1)求证：； (2)若，长方形面积为4，请直接写出的周长______． 14．如图，在四边形中，，M是对角线的中点，垂直平分，垂足为N． (1)求证：； (2)若，求的值． 15．矩形的对角线交于点O，E是射线上一点（不与B，C重合），过点O作交直线于点F，连接． (1)如图1，当E是的中点时，若，，求的长； (2)当E在的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $