21.3.1 矩形(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（人教版2024）

口数学 八年级下册（人教版） 1.3 特殊的平行四边形 21.3.1矩形（第一课时) 知识梳理四形成联系 【知识点1】矩形的定义 ©有一个角是 的平行四边形叫作矩形， 【知识点2】矩形的性质 ◎矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是() A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.如图21.3-1，在直角坐标系中，矩形OABC,点B的坐标是(1,3)，则AC的长是 () A.3 B.V7 C.V10 D.4 图21.3-1 图21.3-2 3.如图21.3-2，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=4,则矩形 对角线的长为() A.4 B.8 C.4V3 D.4V5 【知识点3】矩形性质的推论 ©直角三角形斜边上的中线等于斜边的 如图21.3-3，Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点， 点E在BD上，且AE=AD,连接CE,点F为CE的中点，连接 DF,若DF=1,则BD的长为() A.V2 B.V3 C.2 D.3 图21.3-3 58 四边形 第二十一章 例题点拨Q素养导向 -多 【例1)如图21.3-4，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE= BD,连接AE,若∠ABD=60°，则∠E=() A.45 B.30° C.20° D.15° 图21.34 【点拨】由CE=BD可以想出连接AC,使AC,BD相交于点O,根据矩形的性质得出 ∠ABC=90°，AC=BD,OB=OC,则∠OBC=∠OCB=30°，通过证明CE=CA,得出∠E=∠CAE, 即可解答 【例2】如图21.3-5，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE= AD,过点D作DF⊥AE于点F (1)求证：AF=BE. E 图21.3-5 (2)已知BC=5,CD=3,求EF的长 【点拨】(I)根据矩形的性质和垂直的定义可以得到∠DAF=∠AEB,∠AFD=∠EBA, 再根据AD=AE,利用AAS可以判断△ADF和△EAB全等，从而可以得到结论成立.(2)根 据矩形的性质和勾股定理，可以得到BE的长，再根据(1)AF=BE,即可得到AF的长，然 后根据AE=5,即可计算出EF的长. 【例3】如图21.3-6，在△ABC中，D是BC上的一点，AB=AD, E,F分别是AC,BD的中点，EF=3,则AC的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 【点拨】连接AF,由AB=AD,F是BD的中点，根据等腰三角形 三线合一的性质得出AF⊥BD.再根据直角三角形斜边上的中线等于 图21.3-6 斜边的一半，求得EF=AC,即AC=2EF=6. 夯实四基U达标闯关 1.两个矩形的位置如图所示，若∠1=，则∠2=（) A.a-90° B.180°-ax C.a-45° D.270°-x 第1题图 59 口数学 八年级下册（人教版） 2.如图，在矩形ABCD中，AB=5,CB=12,连接AC,∠BAC的平分线交BC于点E, 则线段BE的长为( A.0 B. 3 C.3 D.4 E D E B D 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使 EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则GE=(） A.3 B.2 C.1 D.2 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC,则图 中与∠A互余的角共有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,AE平分∠BAD交BC于点E,点F,G分别为 AD,AE的中点，则FG= 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED,若BC=2,∠CBE=45°， 则AB= 7.某房梁如图所示，立柱ADLBC,E,F分别是斜梁AB,AC的中点.若AB=AC=8m, 则DE的长为 m. 8.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD于 点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE. (1)求证：四边形AECF是平行四边形. (2)若AB=1,BE=EO,求BC的长. 第8题图 60 四边形 第二十一章 能力提升螂综合拓展 9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,F是经过点B且与AC平行的直 线上一点，且∠BAF=∠ADB,点E在线段OD上，且满足AE=CD,连接CE. (1)若∠BAF=35°，求∠EAC的度数. (2)若BF=2OE,求证：CE⊥BD 0 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2025·兰州)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交 于点O,点E,F分别在边AB,BC上，连接EF交对角线BD于点P.若 P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE=() B A.959 B.100° C.110° D.145° 第10题图 11.(2025·吉林)如图，在矩形ABCD中，点E,F在边BC上，连 接AE,DF,∠BAE=∠CDF (1)求证：△ABE≌△DCF (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长 第11题图 的数学 八年级下册（人教版） AG∥BC,.∠G=∠EFC,∴.△AEG≌△CEF: EC=2.EF⊥AC于点F,∠C=60°，∴.∠FEC=30°， (AAS),.AG=CF,EG=EF,..BD=EF..BD// ∠DEF∠EFC90P,fC=EC=l,放EF=V2TF EF,.四边形BDEF为平行四边形，.DE=BF, DE∥BF.在△ABC中，E是边AC的中点，AE V3. CE.AG∥BF,∴∠AGE=∠CFE,即在△AEG和 (2)G为EF的中点，EG=Y5,DG= ∠AGE=∠CFE, △CEF中， ∠AEG=∠CEF,∴.△AEG≌△CEF 、 vc-24于Y 2 AE=CE, 10.D11.B (AAS),∴AG=CF.又AG=BF,∴AG=CF=BF, 21.3特殊的平行四边形 BFBC,DE=BC.DE=号BC,DE∥BC 21.3.1矩形（第一课时） 【例】证明：（1)如图1,4E⊥BE, 【知识点1】直角 【知识点2】直角相等1.A2.C3.B ∠AED=∠AEB-90°，.∴.∠BAE+∠ABE-90°，∠DAE+ 【知识点3】一半C ∠ADE=90°.∠BAE=∠DAE,∴.∠ABE=∠ADE, ∴AB=AD.AE⊥BE,BE=DE.BF=FC,EF= 【例1】D 【例2】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， IDC=1(AC-AD)=1(AC-AB). .AD∥BC,∠ABE=90°，∴.∠DAF=∠AEB.,DF⊥ AE,∴.∠DFA=90°，.∠ABE=∠DFA.在△MDF ∠AFD=LEBA, 和△EAB中 ∠DAF∠AEB,∴.△ADF≌△EAB AD-EA, 图1 (AAS),..AF=EB. 2)结论：F号(M-AG (2)解：四边形ABCD是矩形，BC=5, CD=3,AD=BC=5,AB=CD=3,∠B=90°.AD= 理由如下：如图2，延 4E,ME=5,.BE=VA-AB2=V52-3=4.由 长AC交BE的延长线于点P (1)知，AF=BE,∴AF=4,.EF=4E-AF=5-4=1, AE⊥BP,∴.∠AEP=∠AEB= 即EF的长是1. 90°，.∠BAE+∠ABE=90, 【例3】D解析：如 ∠PAE+∠APE=90°..∠BAE= B 图，连接AFAB=AD,F ∠PAE,∴∠ABE=∠APE, 图2 是BD的中点，AF⊥BD. ∴AB=APAE⊥BP,BE=PE 例题答图 在Rt△MCF中，∠AFC= -G.(AP-AC)-(AB-AC). 90°，E是AC的中点，EF 2 3,4C=2EF6.故选D. 例3题答图 1.B2.B3.B4.B5.144°6.2 7.证明：BE,CD都是△ABC的中线，DE是 1.B2.A3.B4.C5.V106.V27.4 △ABC的中位线，DE∥BC,DE=BCE,G分别 8.(1)证明：：AE⊥BD,CF⊥BD,∠AEF= ∠CFE=∠AEB=∠DFC=90°，.AE∥CF四边形ABCD 是0B,0C的中点，fc∥BC,FG=BC,DE∥FG 是矩形，，AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=LFDC.在△ABE ∠ABE=∠FDC, 且DE=FG,.四边形DEGF是平行四边形，.DF=EG. 和△CDF中， ∠AEB=∠DFC,..△ABE≌△CDF 8.B AB-CD, 9.解：(1)连接DE,: (AAS),AE=CF,.四边形AECF为平行四边形 在边长为4的等边三角形ABC (2)解：四边形ABCD是矩形，AC=2AO. 中，D,E分别为AB,BC的中 .AE 1BO,BE =EO,.AO=AB=1,.AC=2,..BC= 点，DE是△ABC的中位线， DE=2,且DE∥AC,BD=BE= E VAC2-AB=V22-12=V3. 第9题答图 9.(1)解：：四边形ABCD是矩形，.∠BAD= 68 参 考答案 90°，∠ABD+∠ADB=90°.BF∥AC,.∠ABF= 7.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∠OAB.∠BAF=∠ADB,∠ABF+∠BAF=90°. .AD∥BC,AD=BC.DE=AF,.EF=BC,EF∥BC, ∠BAF=35°，∴.∠ABF=90°-35°=55°，∴.∠OAB=∠DBA= 四边形BCEF是平行四边形.又CE⊥AD,.∠CEF= 55°.AE=CD,AE=AB,.∠AEB=∠ABD=55°， 90°，.平行四边形BCEF是矩形 ∠BAE=180°-（∠AEB+∠ABD)=180°-(55°+55°）=70°， (2)解：四边形ABCD是平行四边形，.CD= .∠EAC=∠BAE-∠OAB=70°-55°=15° AB=3.CF=-4,DF=5,.CD+CF2=DF2,.△CDF是直 (2)证明：如图，在 OB上截取OH=OE,连接 角三角形，∠DCF-90P,San=-DFXGE=-号CxCD, CH,在△AOE和△COH H :CE=CxCD=4x3-12.由(1)得，EF=BC,四边形 DF 5 5 0A=0C, 中 ∠AOE=∠COH,.. 第9题答图 BCEF是矩形，LBC=-0,BF-CB=号，BC= OE=OH, △AOE≌△COH(SAS),.∠AEB=∠CHO,AE=CH.. VaF-Ve号9.r9 ∠AEB=∠ABD=∠ABF,AB=AE,∴AB=CH.BF= 8.解：(1)四边形EGFH是平行四边形.理由如 2OE,.BF=HE,.△ABF≌△CHE(SAS),.∠AFB= 下：由题意，得AE=CF=t.:四边形ABCD是矩形， ∠CEH=90°，.∴.CE⊥BD. AD∥BC,AD=BC,.∠GAE=∠HCFG,H分别是 10.C 11.(1)证明：在矩形ABCD中，AB=CD,∠B= AD,BC的中点，AG=AD,CH=2BC,AG=CH, ∠BAE=∠CDF. ∴.△AEG≌△CFH(SAS),.EG=FH,∠AEG=∠CFH, ∠C=90,在△ABE和△DCF中，AB=CD, ∴.∠FEG=∠EFH,.∴EG∥HF,.四边形EGFH是平行 ∠B=∠C=90° 四边形. △ABE≌△DCF(ASA). (2)如图1，连接GH,由 (2)解：由(1)知，△ABE≌△DCF,.AE=DF= (I)得AG=BH,AG∥BH,∠B= 13..AB=12,..BE=VAE2-AB =5. 90°，.四边形ABHG是矩形， ..GH=AB=6. 21.3.1矩形（第二课时） ①如图1，当四边形EGFH 图 【知识点】平行四边形相等直角1.B 是矩形时，EF=GH=6.AE=CF=t, 2.A3.C .EF=10-2t=6,.t=2. 【例1】4 ②如图2，当四边形EGFH 【例2】(1)证明：四边形ABCD是平行 是矩形时，，EF=GH=6,AE=CF= 四边形，DF∥EB,AB=CD.又CF=AE,DF= t,.EF=+t-10=2t-10=6,t=8.综 BE,四边形ABCD是平行四边形.DE⊥AB,上，四边形ECFH为矩形时t=2 图2 ∴.∠DEB=90°，∴.四边形BFDE是矩形 或t=8. 第8题答图 (2)解：AF平分∠DAB,DC∥AB,. 9.(1)证明：0是AC的中点，.OA=0C.0B= ∠DAF=∠FAB,∠DFM=∠FMB,∠DAF=∠DFA.:OD,.四边形ABCD是平行四边形.LABC=90°，∴ DF=5,∴AD=FD=5.AE=CF3,DE⊥AB∴DE= 平行四边形ABCD是矩形. VAD-AE=4,.矩形BFDE的面积是DFDE= (2)解：记AB=a,BC=b,△A0B的周长为l1, △BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l,.l2-l= 5x4=20. 1.D2.A3.C4.CD=BE(或∠ADB=90°或 BC-ABb-2,4-24B+BC)-2a6)=28,6-=2, CE⊥DE)5.3 b+a=14, 6.（1）证明：：AD∥BC,EC=AD,.四边形 /6, .AB=6,BC=8,.AC=VAB+BC2=10 b=8, AECD是平行四边形.又∠D=90°，.四边形AECD 是矩形. 10.(1)证明：，D,E分别为AB,AC的中点， (2)解：AC平分∠DAB,.∠BAC=∠DAC. DE是△ABC的中位线，.DE∥BC.DG=FC,.四边 形DFCG是平行四边形.又，DF⊥BC,.∠DFC=90°， AD∥BC,∠DAC=∠ACB,∠BAC=∠ACB,BA= .平行四边形DFCG是矩形. BC=5..EC=2,.BE=3. (2)解：DF⊥BC,.∠DFB=90°.∠B=45°，