21.3.2 菱形 知识点讲解&同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.2 菱形 知识框架 · 菱形的性质 · 菱形的判定 一、性质 复习：平行四边形有哪些性质？ （1）边：对边平行且相等．（2）对角线：互相平分．（3）角：对角相等、邻角互补． 观察： 菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 特点：（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． 思考回答以下问题： （1）有哪些相等的线段？（2）有哪些相等的角？ （3）有哪些直角三角形？（4）有哪些等腰三角形？ （5）有哪几对全等三角形？ 相等的线段：AB＝BC＝CD＝DA，OA＝OC，OB＝OD． 相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA； ∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°；∠1＝∠2＝∠3＝∠4；∠5＝∠6＝∠7＝∠8． 直角三角形：Rt△AOB，Rt△BOC，Rt△COD，Rt△DOA． 等腰三角形：△ABC，△BCD，△CDA，△DAB． 全等三角形：Rt△AOB≌Rt△COB≌Rt△COD≌Rt△AOD，△DAB≌△DCB，△ABC≌△ADC． 思考：菱形可能具有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质？ 猜想1：四条边相等． 由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，因此得到： 菱形的性质1：菱形的四条边都相等． 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA． 猜想2：两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． 已知：如图，四边形ABCD是菱形． 求证：AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ADC和∠ABC． 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝AB（菱形的定义），OD＝OB（平行四边形的对角线互相平分）． ∴AC⊥DB，AC平分∠DAB（等腰三角形三线合一）． 同理：AC平分∠DCB；DB平分∠ADC和∠ABC． 得到菱形的性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形． ∴AC⊥DB，AC平分∠DAB和∠DCB，DB平分∠ADC和∠ABC． 同时可以得出：菱形是轴对称图形，对称轴有两条，是菱形两条对角线所在的直线． 总结一下菱形具有哪些性质？ （1）边：菱形的对边平行且相等；菱形的四条边都相等． （2）角：菱形的两组对角分别相等；菱形的邻角互补． （3）对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角． （4）轴对称性：菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线． 例题精析 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 解：∵花坛ABCD的形状是菱形， ∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝×60°＝30°． 在Rt△OAB中，AO＝AB＝×20＝10（m），（m）． ∴花坛的两条小路长AC＝2AO＝20（m），（m）． 花坛的面积（）． 巩固练习 菱形ABCD两条对角线BD，AC长分别是6cm和8cm，求菱形的面积． ． 得出：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 练习1 1．已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______． 2．如下图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，则∠ABD＝______． 3．如图（题2的图），菱形ABCD的两条对角线相交于点O．若AC＝6，BD＝4，则菱形的周长是______． 检测1 1．如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（ ）． A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 2． 已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若，且AE＝6， 则菱形的边长为 A．12 B．8 C．4 D．2 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E．若 ∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）． A．75° B．65° C．55° D．50° 作业1 1． 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝10cm，则AC＝______cm，BD＝______cm． 2．已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD＝∠CBE． 3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO． 2、 判定 探究1：“菱形的两条对角线互相垂直平分”的逆命题是否为真？ 已知：□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD． 求证：□ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD． 又∵AC⊥BD，∴AO垂直平分BD．∴AB＝AD． ∴□ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）． 得出菱形的判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 几何语言： ∵□ABCD，AC⊥BD（已知）， ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 探究2：“菱形的四条边都相等”的逆命题是否为真？ 已知：四边形ABCD，AB＝BC＝CD＝DA． 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AB＝BC＝CD＝DA，∴AB＝CD，BC＝DA． ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形． 得出菱形的判定定理2：四条边相等的四边形是菱形． 几何语言： ∵AB＝BC＝CD＝DA（已知）， ∴四边形ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）． 总结归纳菱形的判定方法： （1）定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定定理2：四条边相等的四边形是菱形． 例题解析 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，BO＝3． 求证：□ABCD是菱形． 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3，∴． ∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，∴AC⊥BD． ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 巩固练习 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，且AE＝AB． （1）求证：∠ABE＝∠EAD； （2）若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形． 练习2 1．判断下列说法是否正确． （1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（ ） （2）对角线互相垂直平分的四边形是菱形；（ ） （3）对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；（ ） （4）两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．（ ） 2．□ABCD的对角线AC与BD相交于点O． （1）若AB＝AD，则□ABCD是_______形；（2）若AC＝BD，则□ABCD是_______形； （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是_______形． （4）若∠BAO＝∠DAO，则□ABCD是_______形． 总结： 检测2 1．下列命题中正确的是（ ）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．三条边相等的四边形是菱形 C．四条边相等的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是菱形 2．对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）． A．矩形 B．一般的平行四边形 C．菱形 D．以上都不对 3．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）． A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC＝CD＝DA C．AB＝BC，AD＝CD，且AC⊥BD D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由． 作业2 1． 如图，用直尺和圆规作一个菱形，得到四边形ABCD是菱形的依据是（ ）． A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 2．边长为5cm的平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为___________形，其面积为___________． 3．如图在菱形ABCD中，CE⊥AB，CF⊥AD，则CE______CF，BE______DF． 4．如图，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由． 答案 练习1： 1．3cm． 2．60°．3．． 解析：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，且AO＝CO，BO＝DO． 又因为AC＝6，BD＝4，所以AO＝3，BO＝2．所以．再根据菱形的四条边相等得到该菱形的周长为． 检测1： 1、C．2、C．3、B． 作业1： 1、解析：连接ACBD交于点O，菱形ABCD中，∠BAD＝120°， ∴∠B＝60°，∴三角形ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝10cm． 由菱形的性质知，OA＝5cm，∴OB＝cm．∴BD＝cm． 2、证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，∠BCE＝∠DCE． 又CE＝CE，∴△BCE≌△DCE．∴∠CBE＝∠CDE． ∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD＝∠FDC．∴∠AFD＝∠CBE． 3、证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，∠COD＝90°． ∵DH⊥AB于H，∴∠DHB＝90°．∴OH＝OB．∴∠OHB＝∠OBH． 又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC．∴∠OHB＝∠ODC． 在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°， 在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，∴∠DHO＝∠DCO． 巩固练习： 解答：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC．∴∠AEB＝∠EAD． 又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB．∴∠ABE＝∠EAD． （2）∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC． 又∵∠AEB＝2∠ADB，∠AEB＝∠ABE，∴∠ABE＝2∠DBC．∴∠ABD＝∠DBC． ∴∠ABD＝∠ADB．∴AB＝AD． 又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是菱形． 练习2： 1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×． 2．（1）菱；（2）矩；（3）矩；（3）菱． 检测2： 1．C．2．C．3．C． 4．四边形AEDF是菱形 理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形． ∵DE∥AC，∴∠2＝∠3． ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2．∴AE＝DE．∴□AEDF是菱形． 作业2： 答案：1．B． 2．菱，． 3．＝，＝． 4．解：四边形AEDF是菱形；理由如下： ∵EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF． 又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF． 同理可得DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF 又∵□AEDF的对角线AD，EF互相垂直平分，∴□AEDF是菱形． 学科网（北京）股份有限公司 $