第六章平行四边形 培优训练 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第六章　平行四边形 第一节　平行四边形的性质及判定 培优点1　利用性质进行线段和角度计算 1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为(　　) 第1题图 A．4 B．6 C．8 D．5 2．【多结论】如图，在▱ABCD中，∠ADC＝60°，AD＝2AB，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，连接OE.下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S四边形OECD＝S△AOD；④OE垂直平分AC；⑤∠COD＝60°.其中正确的有(　　) 第2题图 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．(2025梅州期末)如图1，已知在▱ABCD中，AD＝DC，若点P从顶点A出发，沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象，则a的值为(　　) 第3题图 A．5 B． C． D． 4．(2025梅州期末)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作▱PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为________． 第4题图 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD⊥AD于点D，∠BAD＝30°，BD＝4.E为AB上的一动点，连接EO并延长，交CD于点F. (1)当EF⊥AB时，∠BOE的度数为_________________； (2)当四边形ADFE为平行四边形时，求AE的长； (3)当点O在BE的垂直平分线上时，连接DE，求△BDE的面积． 第5题图　　　　　　　　备用图 培优点2　平行四边形的判定 6．如图是4×4的正方形网格，其中每个小正方形的顶点称为格点，已知线段AB的两个端点都在格点上，若线段AB为▱ABCD的一边，且▱ABCD的四个顶点都在格点上，则满足上述条件的▱ABCD的个数为(　　) 第6题图 A．3 B．4 C．8 D．11 变式6.1　如图，在4×4的正方形(每个小正方形的边长均为1)网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点(网格的交点)上，且面积为2的平行四边形共有(　　) 变式题图 A．10个 B．12个 C．14个 D．27个 7．(2025河源期末)如图，在等边三角形ABC中，BC＝8 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以2 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以4 cm/s的速度运动．设它们运动的时间为t s，则当t＝________时，以点A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形． 第7题图 8．【跨学科】(新RJ八下P66)如图，在长方形台球桌面上击球，得到球的运动轨迹恰好为四边形EFGH.当台球每次撞击一条桌边时，入射方向与这条桌边的夹角等于反弹方向与这条桌边的夹角，如∠BEH＝∠AEF，则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ 第8题图 9．【开放性】(2025深圳期中)如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线BD所在直线上的两个不同的点(不在线段BD上)，AC与BD相交于点O. (1)下列条件：①CE∥AF；②CE＝AF；③BE＝DF.请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程． (2)若四边形AECF是平行四边形，且BD＝2DF，△BCD的面积为5，求△AEC的面积． 第9题图 培优专题5　巧构辅助线解题 类型1　平行线＋线段中点→全等三角形 1．如图，在▱ABCD中，E为AD的中点，点G，F分别在AB，CD上，连接GE，GF，EF，已知GE⊥EF，求线段AG，DF与GF之间的数量关系，并说明理由． 第1题图 变式1.1　如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，过点B作BF⊥AD于点F，连接EF.若AB＝5，BC＝4，DF＝1，则EF的长为________． 变式题图　 2．【方程思想】如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF.若DF＝，则AE的长为(　　) 第2题图 A．2 B． C． D． 类型2　构造平行四边形 3．如图，BC是▱ABCD与▱BCFE的公共边．连接AF与DE交于点O.求证：AF与DE互相平分． 第3题图 4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD. (1)求证：AC＝BD； (2)若AC⊥BD，AD＝2，BC＝8，求梯形ABCD的面积． 第4题图 第二节　三角形的中位线 培优点1　中位线定理的其他证明方法 1．证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点． 求证：DE∥BC，且DE＝BC. 下面是两种添加辅助线的证明方法，请选择其中一种，完成证明． 方法一　如图1，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，CD，AF. 方法二　如图2，过点E作EF∥AB，交BC于点F，过点A作AM∥BC，交FE的延长线于点M. 第1题图 培优点2　中位线定理的应用 2．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN，若MN＝5，则CD的长为(　　) 第2题图 A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 3．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，若AB＝CD，∠EGF＝124°，则∠GEF的度数为________． 第3题图 4．如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形的面积记为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形 的面积记为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形的面积记为S3，若△ABC的面积为64，则S1＋S2＋S3＝(　　) 第4题图 A．21 B．24 C．27 D．32 5．如图，点D是△ABC内一点，且BD⊥CD，连接AD，E，F，G，H分别为线段AB，AC，CD，BD的中点，若AD＝13，CD＝6，BD＝8，则图中阴影部分的周长为________． 第5题图 6．如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，连接EF，DG.请判断DG与EF之间的位置关系和数量关系，并说明理由． 第6题图 培优专题6　构造中位线 类型1　三角形 已知一边的中点，构造另一边的中点 已知两个或多个中点 【条件】AD＝BD 【辅助线】取AC的中点E，连接DE 【结论】DE∥BC，且DE＝BC 【条件】AD＝BD 【辅助线】延长AC至点E，使CE＝AC，连接DC，BE 【结论】DC∥BE，且DC＝BE 【条件】AD＝BD，AE＝CE 【辅助线】连接BC 【结论】DE∥BC，且DE＝BC 1.(2025深圳期末)如图，点E为▱ABCD的对角线BD上一点，DE＝1，BE＝5，连接AE并延长至点F，使EF＝AE，则CF的长为(　　) 第1题图 A．3 B． C．4 D． 2．(2025清远期末)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，连接CF，DF，若AB＝6，AC＝3，则DF的长为(　　) 第2题图 A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 3．如图，在四边形ABCD中，R是CD的中点，P是CB上一动点，连接AP，RP，E，F分别是AP，RP的中点，当动点P在CB上从C向B移动时，线段EF的长(　　) 第3题图 A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．不能确定 变式3.1　如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝，M，N分别为线段BC，AB上的动点(点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则线段EF的最大值为________． 变式题图 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.求证： (1)△BEF是等腰三角形； (2)BD＝(BC＋BF). 第4题图 类型2　四边形 已知四边形对边中点 已知四边形两条对角线中点 【条件】AE＝DE，BF＝CF 【辅助线】取BD的中点G，连接EG，FG 【结论】EG綊AB，FG綊CD 【条件】BE＝DE，AF＝CF，AD与BC不平行 【辅助线】取BC的中点G，连接EG，FG 【结论】EG綊CD，FG綊AB 【条件】BE＝DE，AF＝CF，AD∥BC 【辅助线】取CD的中点G，连接FG 【结论】EG綊BC，FG綊AD 5．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝40°，∠ABC＝50°，M，N分别是对角线AC，BD的中点，连接MN.若AD＝BC＝2，则MN的长为________． 第5题图 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是对角线BD，AC的中点．若AD＝6，BC＝18，求EF的长． 第6题图 7．【性质应用】(1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，P为对角线BD的中点，连接PE，PF，若∠PEF＝26°，则∠EPF＝________°. 【方法迁移】(2)如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由． 【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：∠BME＝∠CNE. 第7题图 第三节　多边形的内角和与外角和 1．一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则这个多边形是________边形． 2．如图，已知线段AB，BC，CD是一个正多边形的三条边，延长AB，DC交于点M，若∠M＝90°，则这个正多边形是(　　) 第2题图 A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 3．如图，将正五边形ABCDE沿BF折叠，若∠1＝18°，则∠2的度数为(　　) 第3题图 A．96° B．97° C．98° D．99° 4．(2025淮安)如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A，C分别在直线a，b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　) 第4题图 A．15° B．20° C．30° D．40° 5．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于点O.若∠1，∠2，∠3，∠4对应的外角的度数之和为220°，则∠BOD的度数为(　　) 第5题图 A．30° B．35° C．40° D．45° 6．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的平分线与∠CBE的平分线相交于点P，若∠D＋∠C＝210°，则∠P＝(　　) 第6题图 A．10° B．15° C．30° D．40° 7．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝________°. 第7题图 变式7.1　如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝________°. 变式题图 8．【新定义】规定：有一对相对的角互补的四边形叫作智慧四边形．例如，在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°或∠B＋∠D＝180°，则四边形ABCD是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形ABCD是智慧四边形，其中三个内角∠A，∠B，∠C的度数之比是4∶3∶2，则∠D的度数为________． (2)如图2，D为△ABC内一点，且∠BDC＝90°＋∠A，△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线相交于点E，判断四边形DBEC是否为智慧四边形，并说明理由． 第8题图 本章重难压轴 1．综合与实践 如何设计窗户限位器位置 信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图1是这种平开窗滑撑支架的实物展示图． 信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如图2所示的示意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，CF固定在窗页底边，B，E，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点C与点A重合，DC和DB均落在AB上；当点O在AB上滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中OC＝6 cm，CD＝10 cm，BE＝13 cm． 图2 信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OE与AB形成一个角∠EOB.出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在30°以内(即∠EOB≤30°)． 问题解决 任务1 求解关键数量 滑撑支架中DE的长度为________cm，滑动轨道AB的长度是________cm. 任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器P，控制平开窗的开启角度，要求当点O滑动到点P时，∠EOB＝30°，则限位器P应装在离点A多远的位置？(结果保留根号) 2.(2025佛山期末)综合与探究 折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 如图1，在平行四边形纸片ABCD中，点P是AB边上的一个动点，连接DP，把平行四边形ABCD沿着线段PD对折，点A的对应点为点A′. 【探究1】如图2，当点P与点B重合时，连接A′C，求证：A′C∥BD，请完成下面的证明过程： 证明：由折叠的性质，得∠DBA＝∠A′BD，AB＝A′B. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DBA＝________，A′B＝CD. ∴∠________＝∠________＝(180°－∠DEB).∴EB＝ED. ∴A′B－EB＝DC－ED，即________＝________．∴∠EA′C＝∠ECA′＝(180°－∠A′EC). ∵∠DEB＝∠A′EC，∴________＝________．∴A′C∥BD. 【探究2】如图3，若点A′刚好落在BC的中点处，且BP＝1，求AP的长． 【探究3】如图4，已知∠A＝30°，AD＝2，P是AB的中点，Q是DC的中点，连接A′Q，若△A′DQ是直角三角形，直接写出AB的长． 第2题图 第六章　平行四边形 第一节　平行四边形的性质及判定 1．A　2.B　3.C　4.3 5．解：（1）30°. （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，OD＝OB.∴∠ODF＝∠OBE. 又∵∠DOF＝∠BOE， ∴△DOF≌△BOE（ASA）.∴DF＝BE. ∵四边形ADFE为平行四边形， ∴AE＝DF.∴AE＝BE＝AB. ∵BD⊥AD，∠BAD＝30°，BD＝4， ∴AB＝2BD＝8.∴AE＝4. （3）如答图1，连接DE. 答图1 ∵BD⊥AD，∠BAD＝30°， ∴∠ABD＝60°. ∵点O在线段BE的垂直平分线上， ∴OE＝BO. ∴△OBE为等边三角形． ∴OE＝BE＝BO＝DO＝BD＝2，∠BOE＝∠OEB＝60°. ∴∠OED＝∠ODE. 又∵∠OED＋∠ODE＝∠BOE＝60°，∴∠OED＝30°. ∴∠DEB＝∠OED＋∠OEB＝90°. ∴DE＝＝＝2. ∴S△BDE＝BE·DE＝×2×2＝2. 6．D　变式6.1　D　7.或4 8．解：四边形EFGH是平行四边形．理由如下： 由题意可知，∠BEH＝∠AEF，∠AFE＝∠DFG. ∵∠A＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°. ∴∠BEH＋∠DFG＝90°. ∵∠BEH＋∠HEF＋∠AEF＝180°， ∴∠HEF＝180°－2∠BEH. ∵∠AFE＋∠EFG＋∠DFG＝180°， ∴∠EFG＝180°－2∠DFG. ∴∠HEF＋∠EFG＝180°－2∠BEH＋（180°－2∠DFG）＝360°－2（∠BEH＋∠DFG）＝360°－180°＝180°. ∴EH∥FG.同理，得EF∥HG. ∴四边形EFGH是平行四边形． 9．解：（1）选择①.证明如下： ∵CE∥AF，∴∠AFE＝∠CEF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC.∴∠ADB＝∠CBD. ∴180°－∠ADB＝180°－∠CBD，即∠ADF＝∠CBE. ∴△ADF≌△CBE（AAS）.∴AF＝CE. 又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形． （或选择③.证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO. ∵BE＝DF，∴BO＋BE＝DO＋DF，即EO＝FO. 又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形．） （2）∵四边形AECF和四边形ABCD都是平行四边形， ∴OE＝OF，OB＝OD，AO＝CO. ∴OE－OB＝OF－OD，即BE＝DF. 又∵BD＝2DF，∴DF＝OD＝OB＝BE. ∴S△COB＝S△BCD＝×5＝2.5. ∴S△COE＝2S△COB＝2×2.5＝5. ∴S△AEC＝2S△COE＝2×5＝10. 培优专题5　巧构辅助线解题 1．解：GF＝AG＋DF.理由如下： 如答图1，延长GE，FD交于点H. 答图1 ∵E为AD的中点，∴EA＝ED. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD.∴∠A＝∠EDH. 在△AEG和△DEH中， ∴△AEG≌△DEH（ASA）.∴AG＝DH，EG＝EH. 又∵GE⊥EF，∴EF垂直平分GH. ∴GF＝HF＝DH＋DF＝AG＋DF. 变式1.1　　2.B 3．证明：如答图2，连接AE，DF. 答图2 ∵四边形ABCD和BCFE是平行四边形， ∴AD綊BC，BC綊EF.∴AD綊EF. ∴四边形ADFE是平行四边形． ∴AF与DE互相平分． 4．（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠BAD＝∠CDA. 在△ABD和△DCA中， ∴△ABD≌△DCA（SAS）.∴AC＝BD. （2）解：如答图3，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BC于点F. 答图3 ∵AD∥CB，DE∥AC， ∴四边形ADEC是平行四边形． ∴DE＝AC，CE＝AD＝2. ∴BE＝BC＋CE＝10. 由（1），得AC＝BD. ∴DE＝AC＝BD. ∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DE⊥BD. ∴△BDE是等腰直角三角形．∴DE＝BE＝5. 又∵DF⊥BC，∴BF＝EF＝BE＝5. ∴DF＝＝5. ∴梯形ABCD的面积为 ×（2＋8）×5＝25. 第二节　三角形的中位线 1．证明：方法一：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴AD＝BD，AE＝CE. 又∵EF＝DE，∴四边形ADCF是平行四边形． ∴AD∥CF，AD＝CF.∴BD∥CF，BD＝CF. ∴四边形BDFC是平行四边形． ∴DF∥BC，DF＝BC.∴DE∥BC，DE＝BC. 方法二：∵EF∥AB，AM∥BC， ∴四边形AMFB是平行四边形． ∴AM＝BF，AB＝MF. ∵AM∥BC，∴∠M＝∠CFE. ∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴AD＝BD＝AB，AE＝CE. 在△AME和△CFE中， ∴△AME≌△CFE（AAS）.∴AM＝CF，ME＝EF＝MF. 又∵AM＝BF，∴AM＝BF＝CF＝BC. ∵AD＝AB，ME＝MF，AB＝MF，∴AD＝ME. 又∵EF∥AB，即AD∥ME， ∴四边形ADEM是平行四边形．∴AM＝DE，AM∥DE. 又∵AM∥BC，AM＝BC， ∴DE∥BC，DE＝BC.（任选其一即可） 2．D　3.28°　4.A　5.23 6．解：DG∥EF，DG＝EF.理由如下： 如答图1，连接AO. 答图1 ∵CE是△ABC的中线， ∴E是AB的中点． 又∵F是BO的中点， ∴EF是△ABO的中位线． ∴EF∥AO，EF＝AO. 同理，得DG∥AO，DG＝AO. ∴DG∥EF，DG＝EF. 培优专题6　构造中位线 1．C　2.C　3.C　变式3.1　2.5 4．证明：（1）∵AB＝BC，BD⊥AC， ∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD，∠BAC＝∠ACB. 又∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°.∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°. 又∵∠CBE＝90°，∠CDE＝90°， ∴∠BEF＝67.5°，∠BFE＝∠CFD＝67.5°. ∴∠BEF＝∠BFE. ∴BE＝BF.∴△BEF是等腰三角形． （2）如答图1，延长AB至点M，使BM＝AB，连接CM. 答图1 由（1），得AD＝CD. ∴BD∥MC，BD＝MC. ∴∠BFE＝∠MCE. 由（1）得，∠BEF＝∠BFE，BE＝BF. ∴∠BEF＝∠MCE.∴ME＝MC. ∴BD＝MC＝ME＝（BM＋BE）＝（AB＋BF）＝（BC＋BF）. 5. 6．解：如答图2，取AB的中点G，连接EG. 答图2 ∵E，F分别是对角线BD，AC的中点， ∴EG∥AD，EG＝AD＝×6＝3，GF∥BC，GF＝BC＝×18＝9. 又∵AD∥BC，∴G，E，F三点共线． ∴EF＝GF－EG＝9－3＝6. 7．（1）解：128. （2）解：△OMN是等腰三角形．理由如下： 如答图3，取BD的中点H，连接HE，HF. 答图3 ∵E，F分别是BC，AD的中点， ∴HF∥AB，HE∥CD，HF＝AB，HE＝CD. 又∵AB＝CD，∴HF＝HE. ∴∠HFE＝∠HEF. ∵HF∥AB，HE∥CD，∴∠HFE＝∠ONM，∠HEF＝∠OMN. ∴∠ONM＝∠OMN.∴OM＝ON. ∴△OMN是等腰三角形． （3）证明：如答图4，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF. 答图4 ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴HE∥BM，HF∥CN，HE＝AB，HF＝CD. 又∵AB＝CD，∴HE＝HF. ∴∠HEF＝∠HFE. ∵HE∥BM，HF∥CN，∴∠HEF＝∠BME，∠HFE＝∠CNE. ∴∠BME＝∠CNE. 第三节　多边形的内角和与外角和 1．九　2.D　3.D　4.B　5.C　6.B　7.360　变式7.1　360 8．解：（1）90°. （2）四边形DBEC为智慧四边形．理由如下： ∵△ABC的两个外角∠MBC，∠BCN的平分线相交于点E， ∴∠CBE＝∠MBC，∠BCE＝∠BCN. ∴∠CBE＋∠BCE＝∠MBC＋∠BCN＝（∠MBC＋∠BCN）＝（180°－∠ABC＋180°－∠ACB）＝（180°＋∠A）＝90°＋∠A. 又∵∠CBE＋∠BCE＋∠E＝180°， ∴90°＋∠A＋∠E＝180°. 又∵∠BDC＝90°＋∠A，∴∠BDC＋∠E＝180°. ∴四边形DBEC为智慧四边形． 本章重难压轴 1．解：任务一：6　29. 任务2：如答图1，当点O与点P重合时，∠EOB＝30°，过点E作EH⊥OB于点H，则∠OHE＝∠BHE＝90°. 答图1 ∵四边形OCDE为平行四边形， ∴OE＝CD＝10 cm，DE＝OC＝6 cm. ∴EH＝OE＝5 cm. ∴OH＝＝＝5（cm），BH＝＝＝12（cm）. ∴PA＝OA＝AB－OH－BH＝29－5－12＝（17－5）cm. 答：限位器P应装在离点A（17－5）cm的位置． 2．解：探究一：∠CDB　EBD　EDB　A′E　CE　∠ECA′ ∠EDB. 探究2：如答图2，延长PA′，DC交于点M. 答图2 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB.∴∠MDP＝∠DPA. 由折叠的性质，得∠DPA＝∠DPA′，AP＝A′P. ∴∠MDP＝∠DPA′.∴MD＝MP. 设AP＝A′P＝x. ∴AB＝CD＝AP＋BP＝x＋1. ∵CD∥AB，∴∠PBA′＝∠MCA′，∠A′PB＝∠M. ∵A′是BC的中点，∴A′B＝A′C. 在△PA′B和△MA′C中， ∴△PA′B≌△MA′C（AAS）. ∴BP＝CM＝1，A′P＝A′M＝x.∴MP＝A′P＋A′M＝2x. ∵MD＝CD＋CM＝x＋1＋1＝x＋2，MD＝MP， ∴x＋2＝2x.解得x＝2.∴AP＝2. 探究3：AB的长是4或 或 或2. 学科网（北京）股份有限公司 $