《8.3特殊的平行四边形--三角形的中位线》专项训练2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第八章《特殊的平行四边形--三角形中位线》 第9课时 三角形的中位线 1、 三角形的中位线：三角形两条边中点的连线叫作三角形的中位线。 2、 如下图，在△ABC中，点E、F分别是边AB、AC上的中点，连接EF，则EF为△ABC的中位线。 3、三角形中位线的性质：三角形的中位线等于底边的一半且平行与底边。 证明：如下图，将△AEF绕点F旋转180°，使点A与点C重合，点E与点E’重合， 可得：△AEF≌△CE’F， ∵ AE=BE，AE=CE’， ∴ BE=BE’， ∵ BE∥BE’， ∴四边形BCE’E是平行四边形， ∴EE’=BC， EE’∥BC。 又∵EF=FE’， ∴EF=BC， EF∥BC。 4、在题目条件中，如果条件中出现边的中点，我们要能想到构造三角形的中位线。 ·当堂练习： 1、如图，在△ABC中，D、E分别是AB，AC边上的中点，已知BC=6，则DE的长为 （ ） A.2 B. 3 C. 6 D. 12 2、顺次连接矩形各边中点所得的四边形一定是 （ ） A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 3、如图，D是△ABC内一点，连接AD，BD，CD，已知BD⊥CD，BD=8，CD=6，AD=12，E、F、G、H分别是 AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长为 （ ） A.18 B.20 C. 22 D. 24 （第3题图） （第4题图） 4、如图，AD=BC，AD∥BC，AC交BD于点P，E，F分别是AD，DC的中点，若选择图中的四个点为顶点画四边形，则其中能画出的平行四边形有 （ ） A.2个 B. 3个 C.4个 D. 5个 5、如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，连接DE，已知∠CED=72°，∠B=60°，则∠C的度数为 。 （第5题图） （第6题图） 6、如图，人字梯保险杠两端点D，E分别是梯柱AB，AC的中点，梯子打开时DE=36cm，此时梯脚BC的距离为 cm。 7、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB=4，EF=1，则 BC的长为 。 （第7题图） （第8题图） 8、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点。若▱ABCD的周长为14，OE=1.5，则 BC的长为 。 9、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法，如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC沿AF，DE分割后拼接成长方形BCHG，若DE=8，BG=6，则△ABC的面积是 。 10、如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，E、F、G、H分别是BD，BC，AC，AD的中点，连接EG，HF， EH，EF，GF，HG，已知AB=CD，有下列结论:① HF 垂直平分EG；② 四边形EFGH是菱形； ③ HF平分 ∠EHG； ④ 四边形EFGH的周长等于2AB。其中正确结论有 (填序号)。 （第9题图） （第10题图） 11、如图，在▱ABCD中，AB=2，∠B=60°，M、N分别是边CD，BC上的动点，连接AM，MN，E、F分别是 AM，MN的中点，连接EF，则EF的最小值为 。 （第11题图） （第12题图） 12、如图，在边长为a的等边△ABC中，分别取△ABC三边的中点A1，B1，C1，得到△A1B1C1；再分别取△A1B1C1 三边的中点A2，B2，C2 ，得到△A2B2C2；··· ；依此规律，经过第2 025次操作后得到△A2025B2025C2025，则 则△A2025B2025C2025的周长为 。 13、如图，强强和乐乐两人被一处池塘隔开，强强在点A处发出声音，经过2.5s，站在点B处的乐乐接收到声音。设AC，BC的中点分别为M，N，若强强和乐乐分别沿着AC，BC走至点M，N处，求此时强强和乐乐之间的距离MN（已知声音在空气中的传播速度约为340 m/s）。 14、如图，在△ABC中，E、F分别为AB，AC的中点，连接EF，EC，过点F作FD∥EC交BC的延长线于点 D，求证：CD= BC。 15、如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边的中点，连接EF，FG，GH，EH得到 四边形EFGH，连接AC，BD。 （1）判断四边形EFGH的形状； （2）若四边形ABCD的对角线AC=18，BD=22，求四边形EFGH的周长。 16、【课本再现】 如图①，在△ABC中，D，E分别是AB与AC的中点，连接DE，可以猜想：DE∥BC，且DE=BC。即三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 【定理证明】（1）证明上述猜想； 【结论应用】（2）如图②，在四边形ABCD中，AD=BC，连接BD，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，连接EF，FM，ME。试判断∠EFM与∠FEM的数量关系，并说明理由。 ·家庭作业： 1、 如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，则四边形DEFB的周长是 （　　） A．10 B．11 C．9 D． （第1题图） （第2题图） （第3题图） 2、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC边上的中线，DE是△ABC的中位线，若DE＝10，则BF的长为 （　　） A．10 B．5 C．8 D．6 3、如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°则∠PFE的度数是 （　 　） A．15° B．20° C．25° D．35° 4、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P为△ABC外一点，连接AP、BP，点M、N分别为AP、BP的中点，若MN＝2，则BC的长为 （　　） A．2 B． C． D．5 （第4题图） （第6题图） （第7题图） 5、等边三角形的一条中位线长为6，则此等边三角形的周长为 。 6、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝140°，E、F分别是AB，AD的中点，且∠AFE＝50°，若BC＝10，CD＝6，则EF＝　 　。 7、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN、MN的中点，则DE的最小值是　 　 。 8、如图，△ABE中，BA＝BE，BD⊥AE于点D，C是BE延长线上一点，F是AC的中点，连接DF，若CE＝8，则DF的长为　 　。 9、如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边AB的中点．DE⊥AC，求证：E是AC边的中点。 10、如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC。 （1）利用直尺与圆规先作∠ACB的平分线，交AD于F点，再作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，最后 连接EF。 （2）若线段BD的长为6，则EF= 。 11、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使 CD＝BC，连结DM、DN、MN，求DN的长。 （1）求DN的长； （2）直接写出△BDM的面积为 　 　 。 12、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别是AC，CD的中点，连接BM，MN，BN。 （1）求证：BM＝MN； （2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2。 ① 求∠BMN的度数； ②则BN= 。 13、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点。 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）； （2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论。 添加辅助线构造三角形中位线 1、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，BC=6，CD=4，G为线段BC的中点，连接AG，E，F分别为AG，AD 的中点，连接EF，则EF的长为 （ ） A. 2.5 B.4 C.5 D.6 （第1题图） （第2题图） 2、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在网格格点上，连接AB，CB，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE，则DE的长为 。 3、如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF⊥BC于点F，连接DF。若BC=8，EF=3，则DF的长为 。 （第3题图） （第4题图） 4、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，F，G分别是OC，CE的中点，连接FG。若AB=4，则FG的长为 。 5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6，D为BC的中点，E为AB上一点，连接DE，若∠DEB=30°，则DE的长为 。 （第5题图） （第6题图） 6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，E是CB延长线上一点，连接DE。若AB=CE=8，CD=5，则DE的长为 。 7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AD，E是对角线BD的中点，连接AE，若AD=6，AC=8，BC=12，求AE的长。 8、如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E，F分别是AB，DC的中点，连接EF，G，O分别是BC，EF的中点，连接GO。求证:OG⊥EF。 9、如图，△ABC，△BDE均为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BD=BE，点A，B，D共线，点 E在BC上，P，M，N分别为边DE，AD，AC的中点。连接PM，MN，若MN=4，求PM的长。 10、如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，EF叫作梯形的中位线。 （1）小华对线段EF，AD，BC之间的位置和数量关系做了如下探究：连接AF并延长交BC的延长线于点G,可证△ADF≌△GCF，再结合三角形中位线的定理可得出 ； （2）请利用（1）中结论解决下列问题： 如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC和∠DCB的平分线相交于点P，且点P在梯形中位线EF上。若梯形ABCD的周长为24cm，求EF的长。 第八章《四边形》答案解析 第9课时 三角形的中位线 ·当堂练习： 1、B 2、C 3、C 4、C 5、48° 6、72cm。 7、6 8、4 9、96 10、① ② ③ ④ 11、 。 12、 13、证明： 340×2.5=17×50=850m， 850÷2=425m 。 14、证明：∵点E，F分别为AB,、AC中点， ∴EF∥BD， FD∥EC， ∴EFDC为平行四边形， ∴CD=EF， ∵EF= BC， ∴CD= BC。 15、证明：（1）在△ABD中，点E，H分别为AB，AD中点， ∴EH∥BD， EH= BD。 在△BCD中，点F，G分别为BC，CD的中点， ∴FG∥BD， FG= BD。 ∴ EH=FG，EH∥FG， ∴四边形EFGH为平行四边形。 （2）∵EH= BD， FG= BD。 ∴四边形EFGH的周长=AC+BD， ∵AC=18，BD=22， ∴四边形EFGH的周长=18+22=40。 16、（1）证明：将△ADE绕点E旋转180°，证明四边形BCD’D是平行四边形，∴DD’∥BC， DD’=BC， ∵DE=D’E， ∴DE∥BC， DE= BC。 （2）在△ABD中，E，M分别为AB，BD中点， ∴EM=AD， EM∥AD， 在△BCD，M，F分别为BD、DC中 ∴ MF=BC， MF= BC， ∵ AD=BC， ∴MF=ME， ∴∠EFM=∠FEM。 ·家庭作业： 1、B 2、A 3、D 4、C 5、36。 6、4 7、 。 8、4 9、证明：连接CD， ∵△ABC中，∠C=90°， 点D为AB中点， ∴CD= AB， CD=AD， ∵DE⊥AC。DE=DE， ∴Rt△ADE≌Rt△CDE ， ∴AE=CE， ∴点E是AC中点。 10、（1）如图所示， （2）EF=3。 11、证明：（1）∵点M，N分别是AB，AC中点， ∴MN平∥BC， MN= BC， ∵BC=6， AB=10 ， ∴AC=8，CN=4， ∵CD= BC， ∴CD=3， 在Rt△CDN中，CN=4， CD=3， ∴DN=5。 （2）△BDM的面积是18。 12、（1）∵∠ABC=90°， 点M为AC中点， ∴BM= AC， ∵点N为CD中点， ∴MN为△ACD中位线。 ∴MN= AD， ∵AC=AD， ∴BM=MN。 （2）①∵MN∥AD， ∴∠DAC=∠NMC， ∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD， ∴∠NMC= ∠BAD=30°， 又∵∠BMC=∠BAC+∠ABM=30°+30°=60°， ∴∠BMN=30°+60°=90°。 ② BN=。 13、（1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠DAE， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=∠AED=90°， 在△AEB与△AED中， ∠BAE=∠DAE， AE=AE， ∠AEB=∠AED， ∴△AEB≌△AED， ∴BE=ED， ∴点E为BD中点， ∵点F为BC中点， ∴EF为△BCD中位线， ∴EF＝CD， ∵CD=AC-AD，AD=AB， ∴EF＝（AC﹣AB）； （2）证明：AB-AC=2EF， 如图，延长BE与AC交于点H， 同理可证：△ABE≌△AHE， ∴BE=EH，点E为BH中点， ∵点F为BC中点， ∴EF= CH， ∵AB=AH，AB-AC=CH。 ∴ AB-AC=2EF 。 添加辅助线构造三角形中位线 1、A； 2、； 3、5； 4、1； 5、6； 6、； 7、证明：取CD中点H，连接EH。 ∵点E为BD中点， ∴EH为△BCD中位线， ∴EH= BC=6，EH∥BC, ∵AD=6，AD∥BC， ∴AD∥EH， AD=EH， ∴四边形AEHD是平行四边形， ∴ AE=DH， ∵AC⊥AD， ∴在Rt△ACD中，AC=8，AD=6， ∴ CD=10， ∴DH=5， ∴AE=5。 8、证明：连接EG，FG， ∵点E，点G分别为AB，BC，CD的中点， ∴EG，FG分别为△ABC，△BCD中位线。 ∴EG= AC， GF= BD， ∵AC=BD， ∴EG=GF。 ∵点O为EF中点， ∴OG⊥EF。 9、证明：连接AE，CD， ∵点P，M分别为DE，AD中点， ∴MP为△ADE中位线， ∴MP= AE， ∵M，N分别为AD，AC中点， ∴MN为△ACD中位线， ∴MN= CD， 可证△ABE≌△CBD， ∴AE=CD， ∴MN=MP=4。 10、证明：（1）EF∥AD∥CD且EF= （AD+BC）； （2）EF= （AD+BC）= （AB+CD）， AD+AB+BC+CD=24， ∴AD+BC=12，∴EF=×12=6。 学科网（北京）股份有限公司 $