精品解析：湖南岳阳市岳阳县第一中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试题

2026年3月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 函数 的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】结合选项可知，因为函数和在均为增函数， 所以函数在上单调递增， 又， ， ， 所以函数的零点在区间上. 2. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再将弦化切，代入计算可得. 【详解】因为角的终边过点， 所以，所以. 故选：D 3. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． 5. 若函数的定义域为，且满足的图象关于成中心对称，为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的一个周期为4 B. C. 图象的一条对称轴为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽象函数的性质推出函数的周期和对称轴，判断选项A，C；求出相应函数值，结合函数周期性计算判断选项B，D． 【详解】的图象关于中心对称， 是奇函数，即， 为偶函数， ，把替换为，则， ，把替换为，得， ， 周期为4， ， 的对称轴为，又周期为4， 的对称轴为， 是奇函数， ， ， ， 选项A：，故周期为4，故A正确； 选项B：， ， ，，， ，故B错误； 选项C：的对称轴为， 当时，对称轴为，故C正确； 选项D：，周期为4， ， ，故D正确． 故选：B． 6. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 设点，则，，， 所以，， 则， 当且仅当，时，取最小值. 故选：B. 7. 下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义，图像和性质求解. 【详解】，均不是幂函数， 在上单调递增， 是幂函数，且在上单调递减． 故答案为：B. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】结合正弦函数性质结合图象中最大最小值可先计算出，再利用点计算出，最后借助点代入计算即可得的值. 【详解】因为，所以，解得， 所以，则， 因为，所以，可得， 因为，所以， 即，因为，所以. 故选：D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，利用不等式的性质可以判断；对B，利用特殊值可以判断；对C、D通过作差比较可以判断. 【详解】对A，因为，根据不等式的基本性质可得，故A正确； 对B，当时，，故B不正确； 对C，由，得，所以，故C正确； 对D，由，得，且不同时为0， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正切关系得到正余弦关系，结合，分别求出和，判断出AB选项，再由二倍角公式和和差角公式判断出CD选项. 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∴，B选项正确， ∴，A选项错误， ∴ ，C选项正确 ， ∵，∴，∴，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，利用三角函数的性质，求得，结合三角函数的对称性，以及图象变换，逐项判断，即可求解. 【详解】A，由函数的图象，可得，可得，所以，所以A正确； B，由，可得，可得， 解得，因为，所以，所以B正确； C，由，令，可得， 令，可得，所以不是函数的一条对称轴，所以C错误； D，将函数的图象向左平移个单位， 可得，所以D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积的坐标表示即可求值. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 【答案】40 【解析】 【分析】根据给定的指数函数模型及已知可得，再令求即可. 【详解】由题设，有，可得， 令，可得. 故答案为： 14. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 【答案】 【解析】 【分析】在中，求得，在中，根据正弦定理求出，在中，由余弦定理得出答案. 【详解】在中，，，则， 其中 ， 由正弦定理，得， 在中，，，则， 又，则， 又， 在中，由余弦定理，得 ， 所以. 故答案为： 四、解答题（共80分） 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据向量模的坐标公式即可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解； （3）根据数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 ,. 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用集合的交集运算和并集运算即可求解； （2）由知，得的不等式组解得即可. 【小问1详解】 当时，， 又， 故， ． 【小问2详解】 ， 当时，，解得， 当时，解得， 故的取值范围是． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 18. 已知函数的最大值为. （1）求函数的最小正周期和常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1）最小正周期为；. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质即可求解； （2）利用正弦函数的单调性求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 此时函数的最小正周期， 因为的最大值为，且函数的最大值为，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为. 【小问3详解】 由，得， 即，所以， 解得， 因此，满足的的取值集合为. 19. 若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）求函数在内的最值； （3）若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数解一元二次不等式，利用分母恒大于零的性质，去分母简化运算即可； （2）先将分式函数变形，再利用均值不等式，并结合参数进行分类讨论，从而确定函数的值域与最值； （3）将“三角形函数”的条件转化为“两倍最小值大于最大值”，结合第（2）问的最值结论，分情况求解参数的范围． 【小问1详解】 当时，由于， 所以， 从而不等式的解集为． 【小问2详解】 变形得． 当时，； 当时，由于，所以， 当且仅当即时取等号， ①当时，， 从而，即无最小值，当且仅当时，； ②当时，， 从而，即无最大值，当且仅当时，． 【小问3详解】 当时，，符合题意； 当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即， 所以； 当时，要使得函数为“三角形函数”，则，即， 所以． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 函数 的零点所在的一个区间是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 3. 若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，且满足的图象关于成中心对称，为偶函数，则下列说法错误的是（ ） A. 的一个周期为4 B. C. 图象的一条对称轴为 D. 6. 已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，既是幂函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的有（ ） A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，，若，则_________. 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 14. 如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，在河岸这边取点，，测得，，，，，设，，，在同一个平面内，试求，两点之间的距离为______； 四、解答题（共80分） 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 16. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角A； （2）若D是线段的中点，且，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18. 已知函数的最大值为. （1）求函数的最小正周期和常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 19. 若函数的定义域为，且，以为边长的三角形总存在，则称函数为“三角形函数”．现有函数 （1）当时，求不等式的解集； （2）求函数在内的最值； （3）若函数为“三角形函数”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $