精品解析：湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一下学期4月月考数学试题

2025年4月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量不共线，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 4. 非零向量，满足，若，则，夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 已知，，则右图表示的函数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ） ①圆台的母线长为4；②球的直径为；③将圆台的母线延长交DA的延长线于点H，则得到的圆锥的高为；④点P的轨迹的长度是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共20分） 9. 已知平面向量，下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形 B. 一定是锐角三角形 C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D. 的最小值是 12. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 三、填空题（共20分） 13. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 14. 设向量的夹角的余弦值为，且，则_____ 15. 若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________. 16. 已知函数，且，则的最小值为__________． 四、解答题（共70分） 17. 已知复数满足和均为实数． （1）求复数； （2）若在复平面内对应点在第四象限，求实数的取值范围． 18. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 19. 已知． （1）求； （2）若，求的最小值． 20. 三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点． （1）求与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求证与平面平行． 21. 在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. （1）求角； （2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； （3）在（2）条件下,若边中点为,求中线取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 22. 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若，求在区间上的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年4月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法化简复数，再求得其共轭复数，然后求模. 【详解】复数, 所以，， 故选：C 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解方程组，结合交集的定义可求得集合. 【详解】解方程组得或， 因为，， 则. 故选：C. 3. 已知向量不共线，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的共线的充要条件建立方程组，即可求出结果. 【详解】因为，且， 所以，即， 又向量不共线，得到， 消得到，解得或， 故选：B. 4. 非零向量，满足，若，则，的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得，从而利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】∵非零向量，满足，且， 设，的夹角为， 则，且， 所以. ∴. ∵，∴. 故选:B． 5. 已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为，，且，的夹角为， 所以在上的投影向量为， ， 故选：C 6. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知算出，根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知，，则右图表示的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性可排除CD，根据函数值的符号可排除A，故可得正确的选项. 【详解】由图象可得题设中图象对应的函数为奇函数， 而，故为偶函数； 的定义域为，该定义域关于原点对称， 而，故为定义域上的偶函数，故CD错误； 当时，，故A错误； 故选：B. 8. 如图，四边形ABCD是直角梯形，其中AB=1，CD=2，AD⊥DC，O是AD的中点，以AD为直径的半圆O与BC相切于点P.以AD为旋转轴旋转一周，可以得到一个球和一个圆台.给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ） ①圆台的母线长为4；②球的直径为；③将圆台的母线延长交DA的延长线于点H，则得到的圆锥的高为；④点P的轨迹的长度是． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由球体、圆台的几何结构特征，以及已知条件确定圆台的母线长、高和球的半径，再根据圆锥与圆台的相关线段相似比求得圆锥的高，进而求得点的轨迹，由此得出结论是否正确，得到答案. 【详解】对于①中，由题意知，圆台的上下底面半径分别为， 设圆台的母线长为，高为，则球的直径为， 因为与半圆相切于点，则， 所以，所以①不正确； 对于②中，过点作于点，则， 所以，所以球的直径为，所以②不正确； 对于③中，因为，可得， 则，所以，所以③正确； 对于④中，过点作于点，延长与交于， 则点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 作与点，可得，则， 即，解得， 所以点P的轨迹的长度是，所以④错误. 故选：A. 二、多选题（共20分） 9. 已知平面向量，下列说法不正确的有（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用平面向量共线、线性运算以及数量积定义即可逐个选项判断. 【详解】对于A，当时， 满足，，但不一定成立，选项A错误； 对于B，因为是常数，则表示与共线的向量； 同理表示与共线的向量，所以与关系不确定，选项B错误； 对于C，，选项C正确； 对于D，由得，， 即， ，即，选项D正确. 故选：AB 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 11. 如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得的截面可能是五边形 B. 一定是锐角三角形 C. 当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D. 的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时， 故D正确. 故选：AD 12. 在中，设角所对的边分别为，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，，，则有唯一解 C. 若是锐角三角形，，，设的面积为S，则 D. 若是锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由余弦定理可判断； 由正弦定理可判断； 利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断； 由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断. 【详解】， ， ， 为锐角，但不能确定角是否为锐角， 故不一定是锐角三角形，故错误； 由正弦定理得， ， ， 有唯一解，故正确； ， ，， ， 又，解得， ，， ， ， ，即，故正确； 是锐角三角形，， 又， ，， 又在上单调递增， ，， ，故正确； 故选：. 三、填空题（共20分） 13. 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，则由题意可得在上是减函数，且在区间上恒成立，从而列不等式组可求得答案 【详解】令，因为在区间上减函数，且在上是增函数， 所以在区间上是减函数，且在区间上恒成立， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 设向量的夹角的余弦值为，且，则_____ 【答案】8 【解析】 【分析】由求解. 【详解】由，得， 又因为向量的夹角的余弦值为， 所以， ， 故答案为：8 15. 若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 16. 已知函数，且，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据可得，故可求的最小值. 【详解】因为，故， 所以， 故或， 所以或，而，故， 故答案为： 四、解答题（共70分） 17. 已知复数满足和均为实数． （1）求复数； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，化简和，根据其为实数列方程求解即可； （2）化简，根据其在复平面内对应的点的位置列不等式求解. 【小问1详解】 设，则， 所以， 因为和均为实数， 所以，解得， 故； 【小问2详解】 ， 因为在复平面内对应的点在第四象限， 所以， 解得或， 即实数的取值范围为. 18. 已知集合，集合． （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求其并集即可； （2）求出集合，再由题意可得是的真子集，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 解不等式，得，即， 解不等式，得，即， 所以； 【小问2详解】 由， 由是的充分不必要条件，可得是B的真子集， 所以，解得, 所以实数m的取值范围是. 19. 已知． （1）求； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求，然后直接求的平方即可得解； （2）利用向量的运算律，将转化为关于的二次函数，然后求出最值即可. 【小问1详解】 因为， ， 因为 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 所以当时，的最小值为 20. 三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点． （1）求与所成角的余弦值； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求证与平面平行． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，得到为与所成角，在中，利用余弦定理，即可求解； （2）确定即为平面与平面所成角的平面角，即可求解； （3）通过四边形为平行四边形，即可求证. 【小问1详解】 解：连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，得，且， 在三棱台中，可得，所以， 由，可得四边形是平行四边形，则， 所以为与所成角， 在中，由， 可得. 【小问2详解】 因为平面，在平面， 所以， 又又分别在平面与平面内， 平面与平面的交线为， 所以即为平面与平面所成角的平面角， 又，，分别是中点， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 由，， 由棱台的结构特征可知，又为的中点， 易知与平行且相等， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又在平面外，在平面内， 所以平面 21. 在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______. （1）求角； （2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围； （3）在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围. （注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分） 【答案】（1）条件选择见解析, （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①根据正弦定理化简，然后转化成余弦值即可；选②根据正弦定理化简即可求到余弦值，然后求出角度； 选③先根据向量条件得到等式，然后根据正弦定理即可求到正切值，最后求出角度. （2）根据（1）中结果和，把周长转化成，然后再求解范围. （3）根据中线公式和正弦定理，把转化成三角函数求解即可. 【小问1详解】 选①：因为， ,即， ，,. 选②：， , ， ,,. 选③：向量与平行， , , ,,. 【小问2详解】 , , . 为锐角三角形, ， ， . 周长的取值范围为. 【小问3详解】 ， 又由中线公式可得， . 即， 为锐角三角形， ， ,. . 22. 已知函数． （1）当时，求函数的零点； （2）若，求在区间上的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）当时，解方程可得函数的零点； （2）令，将问题转化为求函数在区间上的最大值，然后对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，进而可求得的表达式. 【详解】（1）当时，， ，由，可得，解得， 即当时，函数的零点为； （2）令，即求在区间上的最大值． 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，，，则； ③当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时，，则； ④当时，即当时，函数在区间上单调递减， 所以，. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$