专题03图形的变换期中复习讲义(20大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题03图形的变换期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平移、轴对称、旋转的定义及核心要素（方向、距离、旋转中心等） 2.牢记共性（形状、大小不变，仅位置改变）及各变换独有性质 3.区分轴对称图形与成轴对称，熟记常见图形对称轴 1.快速完成3种变换作图（找关键点→作对应点→连接成图） 2.运用变换性质计算线段长度、求解角度，搞定基础计算与阴影面积问题 3.识别复合变换，能简单设计图案、还原变换前的原图形 1.基础题零失误，中档题稳拿分，综合题巧得分 2.规避易错点，作图规范、解题步骤清晰完整 题型01.平移现象的识别与判定 题型02.线段垂直平分线的作图 题型03.对称轴的性质与作图 题型04.旋转图形的识别与判定 题型05.中心对称图形的判定 题型06.平移性质的运算及应用 题型07.垂线的作法与综合求解 题型08.旋转的三要素应用 题型09.旋转性质的计算与求解 题型10.中心对称性质的几何计算 题型11.平移类实际应用题 题型12.角平分线的作图与性质应用 题型13.台球桌面的轴对称问题 题型14.轴对称中的折叠问题 题型15.镜面对称与坐标变换 题型16.中心对称图形的补画设计 题型17.轴对称图形的性质综合 题型18.光线反射的路径求解问题 题型19.轴对称折叠综合体 题型20.旋转变换综合 解答题5题 知识点01.平移 1.核心概念 在平面内，将图形上所有点按同一方向移动相同距离的变换，叫平移。 三要素：原图形位置、平移方向、平移距离。 对应元素：对应点、对应线段、对应角（如△ABC 平移得△A'B'C'，A 与 A' 为对应点）。 2.核心性质 (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线。 3.作图要点 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点，得到平移后图形。 (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02.轴对称 1.核心概念 轴对称：两个图形沿某条直线折叠后完全重合，这条直线叫对称轴。 轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分完全重合，该图形为轴对称图形，这条直线是对称轴。 核心区别：轴对称是两个图形的位置关系；轴对称图形是单个图形的特殊形状。 左图轴对称图形 右图轴对称 核心性质 (1)对应线段相等，对应角相等。 (2)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (3)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。 1.AB=A′B′,BC=B′C′，AC=A′C′；∠A=∠A′,∠B=∠B′，∠C=∠C′ 2.直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′ 3.若对应线段（或其延长线）相交，则交点在直线 MN 上 作图要点 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 1.连接对应点 A、A′； 2.作线段 AA′ 的垂直平分线 MN，则直线 MN 即为所求的对称轴 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 核心性质 (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 作图步骤 1.确定三要素：确定旋转中心 O、旋转方向和旋转角。 2.旋转关键点： 连接 OA，以 O 为圆心，OA 长为半径画弧； 按指定方向作 ∠AOD=旋转角，在弧上截取 OD=OA，得到点 A 的对应点 D； 同理作出点 B 的对应点 E，点 C 的对应点 F。 3.连接对应点：连接 DE、EF、FD，则 △DEF 即为所求作的旋转后图形。 知识点04.中心对称 左图中心对称图形 右图是中心对称 1.核心概念 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后完全重合，该点叫对称中心。 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合，该点叫对称中心。 2.核心性质 对应线段相等，对应角相等。 对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 核心对比表 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 旋转 中心、方向、旋转角 形状、大小；对应点到中心距离相等；对应角等于旋转角 定中心→旋转关键点→连对应点 中心对称 对称中心（旋转 180°） 形状、大小；对应点连线过中心且被平分 延长对应点连线→截等距→连对应点 易错点与提醒 1.平移方向需区分水平 / 竖直 / 斜向，距离是对应点间的线段长度，非格数（斜向）。 2.轴对称作图时，对称轴是直线，需标注完整；注意区分 “轴对称” 与 “轴对称图形”。 3.旋转需明确旋转方向（顺时针 / 逆时针），旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是图形边的夹角。 4.中心对称是旋转的特例（旋转 180°），作图时直接按 180° 旋转关键点即可。 题型01.平移现象的识别与判定 【典例】如图，甲，乙两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，若甲，乙两只蚂蚁所用时间分别为与，则它们的大小关系是_____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【跟踪专练1】下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【跟踪专练3】如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 题型02.线段垂直平分线的作图 【典例】如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【跟踪专练1】根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的________． 【跟踪专练2】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为______． 题型03.对称轴的性质与作图 【典例】如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有______条． 【跟踪专练2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 题型04.旋转图形的识别与判定 【典例】汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【跟踪专练1】下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【跟踪专练3】观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 题型05.中心对称图形的判定 【典例】下图中，是中心对称图形的是 _________________________．(填序号) 【跟踪专练1】遵守交通，人人有责，下列四个图形是生活中常见的交通标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有______（填序号）； （2）中心对称图形有______（填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有______（填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有______（填序号）． 【跟踪专练3】窗，聪也；于内窥外，为聪明也．在窗棂的装饰中，图案大多是几何纹样，现从中选取以下四种窗棂图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型06.平移性质的运算及应用 【典例】如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是________． 【跟踪专练1】如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪专练2】如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是_____． 【跟踪专练3】将直角梯形平移得梯形，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．36 C．20 D．40 题型07.垂线的作法与综合求解 【典例】在中，，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心为半径画弧，交于点D；②分别以C，D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（    ） A．E是中点 B． C． D． 【跟踪专练1】观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【跟踪专练2】小明用尺规作图作钝角三角形边上的高．下面是打乱的作图步骤：如图，①分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E；②作射线，交于点H；③以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D；则就是所求作的高．下列作图步骤正确的顺序是（　　） A．①③② B．③①② C．③②① D．①②③ 【跟踪专练3】已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确 C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确 题型08.旋转的三要素应用. 【典例】如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【跟踪专练1】如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是______． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ____． 【跟踪专练3】如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 题型09.旋转性质的计算与求解 【典例】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 【跟踪专练1】如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则___________． 【跟踪专练3】如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型10.中心对称性质的几何计算 【典例】八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【跟踪专练1】如图，与关于点C成中心对称，则线段_______． 【跟踪专练2】如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【跟踪专练3】如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 题型11.平移类实际应用题 【典例】如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的两条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为___________． 【跟踪专练2】如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为_______． 【跟踪专练3】如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化面积为（    ） A．560 m2 B．600 m2 C．616 m2 D．660 m2 题型12.角平分线的作图与性质应用 【典例】下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（    ） A．   B．   C．   D．   【跟踪专练1】如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为_____． 【跟踪专练2】如图所示，已知，求作射线，使平分，作法的合理顺序是__．（将①②③重新排列） ①作射线； ②以为圆心，任意长为半径画弧交、于、； ③分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点． 【跟踪专练3】已知，①分别在，上取点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线．这样得到的与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 题型13.台球桌面的轴对称问题 【典例】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】2024年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【跟踪专练2】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 题型14.轴对称中的折叠问题 【典例】将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是__________． 【跟踪专练1】现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 【跟踪专练3】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 题型15.镜面对称与坐标变换. 【典例】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【跟踪专练1】小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【跟踪专练2】如图，在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是___________． 【跟踪专练3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 题型16.中心对称图形的补画设计 【典例】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练1】如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有__________________个．    【跟踪专练2】如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【跟踪专练3】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 题型17.轴对称图形的性质综合 【典例】如图，的周长是12，它与关于直线对称，则图中阴影部分周长为（   ） A．6 B．12 C．16 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为_____． 【跟踪专练2】如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【跟踪专练3】如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 题型18.光线反射的路径求解问题 【典例】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【跟踪专练3】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 题型19.轴对称折叠综合体 【典例】如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将，沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与BD上的点E重合．若，则________． 【跟踪专练1】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点． (1)请用尺规作图法作出折痕，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，试说明，，三点共线． 【跟踪专练3】已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系． 题型20.旋转变换综合 【典例】如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【跟踪专练1】如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【跟踪专练2】已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【跟踪专练3】将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 【解答题】 1．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 2．某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 3．如图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． (1)画线段； (2)过点A画线段的平行线m； (3)过点O画线段的垂线，垂足为D； (4)在线段中，最短的线段为_______，判断理由是_____． 4．如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 5．如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的变换期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平移、轴对称、旋转的定义及核心要素（方向、距离、旋转中心等） 2.牢记共性（形状、大小不变，仅位置改变）及各变换独有性质 3.区分轴对称图形与成轴对称，熟记常见图形对称轴 1.快速完成3种变换作图（找关键点→作对应点→连接成图） 2.运用变换性质计算线段长度、求解角度，搞定基础计算与阴影面积问题 3.识别复合变换，能简单设计图案、还原变换前的原图形 1.基础题零失误，中档题稳拿分，综合题巧得分 2.规避易错点，作图规范、解题步骤清晰完整 题型01.平移现象的识别与判定 题型02.线段垂直平分线的作图 题型03.对称轴的性质与作图 题型04.旋转图形的识别与判定 题型05.中心对称图形的判定 题型06.平移性质的运算及应用 题型07.垂线的作法与综合求解 题型08.旋转的三要素应用 题型09.旋转性质的计算与求解 题型10.中心对称性质的几何计算 题型11.平移类实际应用题 题型12.角平分线的作图与性质应用 题型13.台球桌面的轴对称问题 题型14.轴对称中的折叠问题 题型15.镜面对称与坐标变换 题型16.中心对称图形的补画设计 题型17.轴对称图形的性质综合 题型18.光线反射的路径求解问题 题型19.轴对称折叠综合体 题型20.旋转变换综合 解答题5题 知识点01.平移 1.核心概念 在平面内，将图形上所有点按同一方向移动相同距离的变换，叫平移。 三要素：原图形位置、平移方向、平移距离。 对应元素：对应点、对应线段、对应角（如△ABC 平移得△A'B'C'，A 与 A' 为对应点）。 2.核心性质 (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线。 3.作图要点 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点，得到平移后图形。 (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点02.轴对称 1.核心概念 轴对称：两个图形沿某条直线折叠后完全重合，这条直线叫对称轴。 轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两旁部分完全重合，该图形为轴对称图形，这条直线是对称轴。 核心区别：轴对称是两个图形的位置关系；轴对称图形是单个图形的特殊形状。 左图轴对称图形 右图轴对称 核心性质 (1)对应线段相等，对应角相等。 (2)对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。 (3)对应线段或延长线相交，交点在对称轴上。 1.AB=A′B′,BC=B′C′，AC=A′C′；∠A=∠A′,∠B=∠B′，∠C=∠C′ 2.直线 MN 垂直平分 AA′、BB′、CC′ 3.若对应线段（或其延长线）相交，则交点在直线 MN 上 作图要点 (1)作对应点：过已知点作对称轴的垂线，并延长至等距，得到对应点。 (2)连接对应点，得到轴对称图形。 (3)作对称轴：作对应点所连线段的垂直平分线。 1.连接对应点 A、A′； 2.作线段 AA′ 的垂直平分线 MN，则直线 MN 即为所求的对称轴 知识点03.旋转 1.核心概念 在平面内，将图形绕旋转中心按旋转方向（顺时针 / 逆时针）转动旋转角的变换，叫旋转。 三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 核心性质 (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 作图步骤 1.确定三要素：确定旋转中心 O、旋转方向和旋转角。 2.旋转关键点： 连接 OA，以 O 为圆心，OA 长为半径画弧； 按指定方向作 ∠AOD=旋转角，在弧上截取 OD=OA，得到点 A 的对应点 D； 同理作出点 B 的对应点 E，点 C 的对应点 F。 3.连接对应点：连接 DE、EF、FD，则 △DEF 即为所求作的旋转后图形。 知识点04.中心对称 左图中心对称图形 右图是中心对称 1.核心概念 中心对称：两个图形绕某点旋转180°后完全重合，该点叫对称中心。 中心对称图形：一个图形绕某点旋转180°后与自身重合，该点叫对称中心。 2.核心性质 对应线段相等，对应角相等。 对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分。 核心对比表 变换类型 核心要素 核心性质（不变量） 关键作图步骤 平移 方向、距离 形状、大小；对应线段 / 角相等；对应点连线平行且相等 定关键点→按方向距离平移→连对应点 轴对称 对称轴 形状、大小；对应线段 / 角相等；对称轴垂直平分对应点连线 作对应点垂线→截等距→连对应点 旋转 中心、方向、旋转角 形状、大小；对应点到中心距离相等；对应角等于旋转角 定中心→旋转关键点→连对应点 中心对称 对称中心（旋转 180°） 形状、大小；对应点连线过中心且被平分 延长对应点连线→截等距→连对应点 易错点与提醒 1.平移方向需区分水平 / 竖直 / 斜向，距离是对应点间的线段长度，非格数（斜向）。 2.轴对称作图时，对称轴是直线，需标注完整；注意区分 “轴对称” 与 “轴对称图形”。 3.旋转需明确旋转方向（顺时针 / 逆时针），旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是图形边的夹角。 4.中心对称是旋转的特例（旋转 180°），作图时直接按 180° 旋转关键点即可。 题型01.平移现象的识别与判定 【典例】如图，甲，乙两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，若甲，乙两只蚂蚁所用时间分别为与，则它们的大小关系是_____．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】根据平移可得出两蚂蚁行程相同，结合二者速度相同即可得出结论． 【详解】解：∵甲、乙两只蚂蚁的行程相同，且两只蚂蚁的速度相同， ∴两只蚂蚁同时到达，即t甲=t乙． 故答案为：=． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，结合图形找出甲、乙两只蚂蚁的行程相等是解题的关键． 【跟踪专练1】下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项中的图形能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； B选项中的图形能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； C选项中的图形能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； D选项中的图形不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意； 【跟踪专练2】在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，、、，、、、，且，这两块绿化带的面积分别为和，则与的大小关系是______．    【答案】 【分析】设矩形花园的宽，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积． 【详解】解：设矩形花园的宽， 根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为，宽为的长方形的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键． 【跟踪专练3】如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 题型02.线段垂直平分线的作图 【典例】如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果． 【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 【跟踪专练1】根据图中尺规作图的痕迹，可判断一定为的________． 【答案】中线 【分析】本题考查了尺规作图，三角形的中线，根据尺规作图痕迹判断即可． 【详解】解：由作图的痕迹可知点D是线段的中点，所以线段一定为的中线． 故答案为：中线． 【跟踪专练2】如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图——复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质和尺规作图，点P到点A，点B的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：点P到点A，点B的距离相等， 点P在线段的垂直平分线上， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交边于点，连接，则的周长为______． 【答案】17 【分析】本题主要考查的是垂直平分线的运用，由题意可得为的垂直平分线，所以，进一步可以求出的周长． 【详解】解：∵在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，． ∴为的垂直平分线， ， 的周长为：． 故答案为：17． 题型03.对称轴的性质与作图 【典例】如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形对称轴的画法即可得到结果． 【详解】解：∵该图形是轴对称图形，可画出条对称轴， 故选． 【点睛】本题考查的轴对称图形对称轴的画法，根据图形画出对称轴是解题的关键． 【跟踪专练1】太空舱是飞船进入轨道后航天员工作和生活的场所．如图是一个太空舱的简易图，它的对称轴有______条． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟知对称轴是对应点连接线段的垂直平分线是解决问题的关键．观察图形，结合格点的特征，根据轴对称的性质找出对称轴，画出即可． 【详解】解：如图，共有2条对称轴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面的图形中对称轴最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别作出各个图形的对称轴，进行比较即可得到答案． 【详解】 A选项图形有2条对称轴； B选项图形有2条对称轴； C选项图形有3条对称轴； D选项图形有1条对称轴； 所以，C选项图形的对称轴最多． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出每个图形的对称轴是解题的关键． 【跟踪专练3】下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的对称轴的概念，解题的关键是熟练掌握对称轴的概念． 发布求出各图形的对称轴，即可得答案． 【详解】A．根据它的组合特点，它有1条对称轴； B．根据它的组合特点，有1条对称轴； C．这个组合图形有1条对称轴； D．这个图形有4条对称轴． 故选：D． 题型04.旋转图形的识别与判定 【典例】汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【答案】 平移 旋转 【分析】本题考查平移与旋转的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据平移与旋转的定义，即可解答． 【详解】解：汽车在笔直的公路上移动属于平移现象，车轮运动属于旋转现象． 故答案为：平移，旋转． 【跟踪专练1】下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【跟踪专练2】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 【跟踪专练3】观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 题型05.中心对称图形的判定 【典例】下图中，是中心对称图形的是 _________________________．(填序号) 【答案】②④⑥ 【分析】本题考查中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；观察哪个图形绕一个点旋转能和它本身重合即可得到答案． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得：正方形、正六边形、正八边形是中心对称图形， 故答案为：②④⑥． 【跟踪专练1】遵守交通，人人有责，下列四个图形是生活中常见的交通标志，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练2】观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有______（填序号）； （2）中心对称图形有______（填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有______（填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有______（填序号）． 【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形； ②是轴对称图形，但不是中心对称图形； ③是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形； ⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形． 所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧； （2）中心对称图形有①③⑥⑦； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦． 故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦． 【跟踪专练3】窗，聪也；于内窥外，为聪明也．在窗棂的装饰中，图案大多是几何纹样，现从中选取以下四种窗棂图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 题型06.平移性质的运算及应用 【典例】如图，沿方向平移得到，已知，，则平移的距离是________． 【答案】1 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握平移的性质是关键． 根据平移的性质得到线段就是平移距离，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵沿方向平移得到， ∴平移的距离是1． 故答案为：1 【跟踪专练1】如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】对于本题，重点把握平移的不变性，即对应边相等． 由平移的性质得到，，，再根据四边形的周长求解即可． 【详解】解：将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到， ，，， 四边形的周长． 【跟踪专练2】如图，将直角三角形平移2个单位得到直角三角形，点A的对应点D落在上，已知，，，则梯形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，进而得到，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将直角三角形平移2个单位得到直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积． 故答案为：． 【跟踪专练3】将直角梯形平移得梯形，若，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．32 B．36 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得． 【详解】解：由图可知，在直角梯形中，， 由平移的性质可知，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是直角梯形， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ． 题型07.垂线的作法与综合求解 【典例】在中，，小明按照下面的方法作图：①以B为圆心为半径画弧，交于点D；②分别以C，D为圆心大于为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，交于点E．根据小明画出的图形，判断下列说法正确的是（    ） A．E是中点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，熟练掌握尺规作垂线的方法是解题的关键．根据尺规作图即可解答． 【详解】解：由作图可得，是的垂线， ． 故选：C． 【跟踪专练1】观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：D． 【跟踪专练2】小明用尺规作图作钝角三角形边上的高．下面是打乱的作图步骤：如图，①分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E；②作射线，交于点H；③以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D；则就是所求作的高．下列作图步骤正确的顺序是（　　） A．①③② B．③①② C．③②① D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的高定义及作图方法可得答案． 【详解】解：以点C为圆心，的长为半径作弧，交的延长线于点D； 分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E； 作射线，交于点H； 则就是所求作的高． 即作图步骤正确的顺序是③①②． 故选：B． 【跟踪专练3】已知，，；用尺规在边上求作一点P．使，如图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是（    ） A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确 C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 对于甲同学的作图，利用作图痕迹得，则可计算出，于是可判断甲同学的作图正确；对于乙同学的作图，利用作图痕迹得平分，由于，所以，所以，从而可判断乙同学的作图不正确． 【详解】解：对于甲同学的作图： 由作图痕迹得， ， ， ， ∴甲同学的作图正确； 对于乙同学的作图：由作图痕迹得平分， ， ， ， ， ， ∴乙同学的作图不正确． 故选：C． 题型08.旋转的三要素应用. 【典例】如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， . ∴旋转中心是点B． 【跟踪专练1】如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点B，与旋转中心O连线的夹角是旋转角，据此解答． 【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在正方形网格中，图②是由图①经过变换得到的，其旋转中心可能是点 ____． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的定义和旋转，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．根据“对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心”即可找到答案． 【详解】解：如图，连接，，作线段，的垂直平分线，交点就是旋转中心． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，三角形是由三角形绕点旋转得到的，则下列结论不成立的是（    ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．同时要注意旋转的三要素：①定点——旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．旋转后，对应点与旋转中心共线，对应线段平行且相等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等，其中与不是对应角，不能判断相等． 【详解】解：根据旋转的性质可知， 点与点是对应点，，，． 故选：C． 题型09.旋转性质的计算与求解 【典例】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 【跟踪专练1】如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∵， ∴； 故选B． 【跟踪专练2】如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质． 根据旋转的性质得到，根据平行线的性质得到，即旋转角． 【详解】解：∵，将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 即旋转角． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转前后对应角相等，可得，结合，可得，可证结论D正确． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到， ，， 又， ， ， 故选项D结论一定正确， 现有条件，不能证明选项A，B，C中结论一定正确， 故选D． 题型10.中心对称性质的几何计算 【典例】八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，得到，如图， 则下列结论不成立的是（   ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等；根据中心对称的性质判断即可，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 【详解】解：、关于点O成中心对称，A，B，C关于O的对称点分别为，则； 故选项A、B正确； 而是对顶角， 则， 故选项C正确； 的对应角是，不是， 故选项D错误； 故选：D． 【跟踪专练1】如图，与关于点C成中心对称，则线段_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心对称的定义，根据中心对称的定义即对应边相等可求解， 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴ ∴ 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 【跟踪专练3】如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 题型11.平移类实际应用题 【典例】如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的两条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形平移的性质，几何图形面积的计算，掌握图形平移的性质是解题的关键． 根据题意，把两条道路平移，则长为，宽为，由此即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴绿化的面积为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，小明从家到学校分别有①、②、③三条路可走： ①为折线段，②为折线段，③为折线段． 三条路的长依次为、、，则a，b，c的大小关系为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质、两点之间线段最短，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，则可得，再根据两点之间线段最短可得，则，由此即可得． 【详解】解：由平移的性质得：，， ∵路①为折线段：， 路②为折线段：， 由平移的性质可知：，， ∴， 由两点之间线段最短得：， ∵路②为折线段：， 路③为折线段：， ∴， 综上，． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，某公园里一处长方形风景欣赏区，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米．若米，米，小明沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，则他所走的路线（图中虚线）长为_______． 【答案】98米 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是某公园里一处矩形风景欣赏区，长米，宽米， 所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故答案为：98米． 【跟踪专练3】如图，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化面积为（    ） A．560 m2 B．600 m2 C．616 m2 D．660 m2 【答案】A 【分析】方法1：利用图形平移将两条小路平移至长方形最边上，余下部分长方形即为绿化面积，利用矩形面积公式求出结果．方法2：利用割补法将两条小路平移为宽2m，长分别30m、22m的长方形，重叠部分为边长为2m的正方形，利用矩形面积将长方形面积减去两条小路面积即为所得． 【详解】方法1： 解：如图，设余下部分长方形长、宽分别为，， 因为（m），（m）， 所以绿化面积（m2）． 方法2： 解：因为长方形的面积：（m2）， 两条小路的面积：（m2）， 所以绿化的面积：（m2）． 故选：A． 【点睛】本题考查图形平移的实际运用．恰当将长方形内部两条“之”字路进行平移（最上边、最左边）或补齐为长方形是解本题的关键． 题型12.角平分线的作图与性质应用 【典例】下列尺规作图中，属于作一个锐角平分线的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图．作一个角的平分线． 【详解】解：选项A属于作一个锐角平分线； 故选：A． 【跟踪专练1】如图，与它的余角相等，在上，分别截取，，使，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，则的度数为_____． 【答案】 【分析】题目主要考查角平分线的作法及角的计算，理解题意是解题关键． 根据题意得出，平分，然后求解即可． 【详解】解：∵与它的余角相等， ∴， 根据题意得平分， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图所示，已知，求作射线，使平分，作法的合理顺序是__．（将①②③重新排列） ①作射线； ②以为圆心，任意长为半径画弧交、于、； ③分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点． 【答案】②③① 【分析】根据角平分线的作法求解． 【详解】作法：（1）以为圆心，任意长为半径画弧交、于、； （2）分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，在内，两弧交于点， （3）作射线， 所以就是所求作的的平分线． 故题中的作法应重新排列为：②③①． 故答案为：②③①． 【点睛】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握角平分线的作法是解题关键． 【跟踪专练3】已知，①分别在，上取点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线．这样得到的与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】根据角平分线的尺规作图法可知，由于不能确定，大小关系，因此射线不一定是的角平分线，即可的得解． 此题考查角平分线的尺规作图，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键． 【详解】由于不能确定，大小关系，就不能确定与的大小关系． 故选：D． 题型13.台球桌面的轴对称问题 【典例】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了台球桌上的轴对称问题，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【跟踪专练1】2024年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 【跟踪专练2】如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____ 【答案】673 【分析】如图，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环， 经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次， ∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹， ∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 题型14.轴对称中的折叠问题 【典例】将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的大小是__________． 【答案】/65度 【分析】本题考查了轴对称的性质，平角的定义，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得到，再结合，即可求得答案． 【详解】解：由图形折叠可知，， ， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质． 根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵长方形彩带， ∴， ∴， ∵折叠， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在等宽纸带ABCD中，．将该纸带沿折叠后，点C，D分别落在，的位置．若，则________． 【答案】112 【分析】根据折叠性质得到，根据求出，进而得到﹒根据求出，即可求出﹒ 【详解】解：由折叠可得﹒ ∵， ∴， ∴﹒ ∵， ∴， ∴﹒ 【跟踪专练3】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角．由折叠的性质可得，求出，即可判断C；求出即可判断B；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ， ∴与互余，故C正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 不能得出平分，故A错误，符合题意； 故选：A． 题型15.镜面对称与坐标变换. 【典例】小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 【跟踪专练1】小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称如图1，若从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间为如图2所示，则电子钟的实际时间应该是______． 【答案】15∶01 【分析】本题镜面对称的知识；得到相应的对称轴是解决本题的关键；难点是作出相应的对称图形；注意2，5的关于竖直的一条直线的轴对称图形是5，2． 实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，画出相关图形可得实际时间． 【详解】解：实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 电子钟的实际时间应该是， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是___________． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 由轴对称的性质得：实际时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握轴对称图形的有关性质． 【跟踪专练3】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 题型16.中心对称图形的补画设计 【典例】围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子．若白方落子后的对奔图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：由图可知，当放入白子的位置在点①处时，是中心对称图形． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在4×4的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的有__________________个．    【答案】2 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：       则这样的有个 故答案为：2． 【跟踪专练2】如图，在的方格中，有3个被涂黑的小正方形．若在其余空白的小正方形中选择1个涂黑，使涂黑的小正方形组成的新图形是中心对称图形，则可选择的小正方形有（    ） 　 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，据此求解即可． 【详解】解：选择一个正方形涂黑，使得4个涂黑的正方形组成轴对称图形，如图，      共有2个， 故选：B． 【跟踪专练3】如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 题型17.轴对称图形的性质综合 【典例】如图，的周长是12，它与关于直线对称，则图中阴影部分周长为（   ） A．6 B．12 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由题意可得，由轴对称的性质可得，，，，，，，进而可得图中阴影部分的周长为，于是得解． 【详解】解：由题意可得：， 与关于直线对称， ，，，，，，， 图中阴影部分的周长为： ， 故选：． 【跟踪专练1】如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是根据轴对称图形的性质得到四边形与四边形的面积相等． 由题意可得，四边形与四边形的面积相等，从而得到阴影部分的面积就是的面积，即可求解． 【详解】解：由四边形与四边形关于所在直线对称可得四边形与四边形的面积相等， 从而得到阴影部分的面积就是的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】/58度 【分析】主要考查了轴对称的性质及平行线的性质，正确理解轴对称的性质是解答本题的关键． 先求出的度数，然后利用对称性即可求解． 【详解】解：， ， ， 直线是四边形的对称轴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 题型18.光线反射的路径求解问题 【典例】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，为平面镜，为水面，．一束光线从点射入，经过平面镜反射后，从光线变成光线，再经过水面折射，从光线变成光线．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识，如图所示，由反射性质得到，再由平行线性质、对顶角相等确定，最后数形结合表示出即可得到答案．数形结合，掌握反射性质、平行线性质、对顶角相等等知识是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 由反射性质可知，， ， ，则， ， ， ， ， ， 故选：B． 【跟踪专练2】如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从点平行于进入棱镜，在边上点处反射，到达边点处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点处离开棱镜，若，则的度数为________． 【答案】/64度 【分析】本题主要考查轴对称，平行线的性质的应用，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，由光的反射定律得到，求出，由直角三角形的性质求出，即可求出的度数． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由光的反射定律得到：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 题型19.轴对称折叠综合体 【典例】如图，点F，G是长方形ABCD边AD上两点，点H是边CD上的点，连接BF，GH，分别将，沿BF，GH翻折，点A，D恰好都与BD上的点E重合．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，平行线的性质，熟练掌握折叠中角的相等关系是解题的关键． 由沿翻折，，可得，由平行线的性质得到，再由沿翻折，可得，则，即可得到的度数． 【详解】解：∵将沿翻折， ． ， ， ． 四边形为长方形， ， ． 将沿翻折， ， ， ， ． 【跟踪专练1】如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换，平行线的性质．根据长方形纸带的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减去即可得的度数． 【详解】解：如图：延长到H，由于纸带是长方形， . ∴， ∴， 根据翻折不变性得， ∴， 又∵， ∴，． 在梯形中，， 根据翻折不变性，． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，四边形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，沿着某条直线翻折，使得恰与重合，折痕与交于点． (1)请用尺规作图法作出折痕，补全图形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，试说明，，三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，折叠的性质． （1）利用尺规作图作出的平分线即可； （2）利用折叠的性质求得，即可证明、M、F三点共线． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： ； （2）证明：∵翻折， ∴，， ∵， ∴， ∴、M、F三点共线． 【跟踪专练3】已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出； （2）过点M作，证明，再证明，得出； （3）根据折叠可知：，，，，，，， 设，，，得出，，即可得出，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点M作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 根据折叠可知：，，，，，，， 设，， 则， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在中，， 设， ， ∴， 在四边形中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质． 题型20.旋转变换综合 【典例】如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)在旋转过程中，试探究与之间的关系； (3)当旋转速度为秒时，且它的边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间t的所有值． 【答案】(1)15 ，图见解析 (2)当时，；当时，；当时， (3) 或 7 或 9 【分析】本题考查了旋转的性质，三角尺中角度的计算，解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置，还注意分类求解，避免遗漏． （1）根据得出，根据即可求解； （2）设，在旋转过程中，分当时，当时，当时，三种情况根据平行线的性质即可求解； （3）①当时，②当时，③当时，，分别作出图形，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，，如图： ， ， ， 故答案为： 15 ； （2）解：设：， 如图，当时，， 故， 即； ②当时，， 即， 当时，， 即， ∴，即； （3）解：①当时，， ， ． ②当时， 则， ， ， ， ； ③当时，， ∴， ∴； 综上， 或 7 或 9 ． 【跟踪专练2】已知直角三角板中，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图，当旋转方向为逆时针方向时，点为上一点．．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)①或；② 【分析】（）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据题意画出图形即可； （）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出的值即可求解； 本题考查了旋转，角的和差，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∴， ； （2）解：如图，即为所求； （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，， ∵， ∴， 解得； 如图，当旋转方向为顺时针方向时，， ， ∴， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵与始终满足为定值， ∴， 解得， ∴常数的值为． 【跟踪专练3】将三角板与三角板摆放在一起，与重合（如图1），，，．固定三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转后停止，设旋转得． (1)当边落在内时（如图2），求的度数； (2)设三角板绕点旋转的速度为每秒5度，旋转时间为．若的一边与三角板的某边平行（不包含重合情况），请写出所有符合条件的的值． 【答案】(1) (2)15秒或24秒或27秒或33秒 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质、三角板中角的运算、一元一次方程等知识，分情况讨论和数形结合是解题的关键． （1）由题意可得，作差即可得到答案； （2）按照旋转时间的变化分情况画图进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 即的度数为； （2）解：如图1，当时，， （秒）； 如图2，当 时，， （秒）； 如图3，当时，， （秒）； 如图4，当时，， （秒）； 如图5，当时，， （秒）； 综上可知，所有符合条件的的值为15秒或24秒或27秒或33秒． 【解答题】 1．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的外角的性质求解； （2）利用平移的性质，证明与周长的和． 【详解】（1）解：边沿着方向平移到， ， ， ， ； （2）由平移可得，， 与周长的和 ． 2．某公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图①，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），求草地的面积． (2)如图②，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走到出口F处，所走的路线（图中虚线）长． 【答案】(1)平方米 (2)108米 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）结合图形，利用平移的性质求解； （2）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）解：小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：（平方米）； （2）解：将小路往边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线（图中虚线）长为：（米）． 故答案为：108米． 3．如图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． (1)画线段； (2)过点A画线段的平行线m； (3)过点O画线段的垂线，垂足为D； (4)在线段中，最短的线段为_______，判断理由是_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，垂线段最短 【分析】本题考查作图，垂线段最短． （1）连接，，即可； （2）点O可以看作由点B向上平移1个单位长度，向左平移3个单位长度得到，将点A也作同样的平移，得到点，则由平移的性质得到，作过点A，的直线m即为所求； （3）根据网格特点可直接解答； （4）根据垂线段最短进行解答． 【详解】（1）解：如图，线段为所求； （2）解：如图，直线m为所求； （3）解：如图，为所求垂线． （4）解：在线段中，最短的线段为，判断理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 4．如图，中，点P为边上一点，请用无刻度的直尺和圆规完成以下作图，要求：保留作图痕迹，不需要写作法． (1)如图①，作一条直线l，使点A关于l的对称点为点． (2)如图②，过点P作直线，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的定义，尺规作垂线，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）连接，作的垂直平分线即可； （2）以点P为圆心，任意长为半径作弧，交于E、F两点，再分别以E、F两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，即为所求． 5．如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的作法，解题的关键是熟练掌握以上基本尺规作图的步骤． 连接，作的垂直平分线和的平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $