第九章 图形的变换（复习讲义）数学新教材苏科版七年级下册

第九章 图形的变换（复习讲义） 1. 理解平移、轴对称、旋转的概念，识别三种变换的基本要素：平移的方向与距离、轴对称的对称轴、旋转的中心、方向与角度，区分三种变换的异同，明确图形变换前后形状、大小不变，仅位置改变的本质特征； 2. 掌握三种变换的基本性质，能结合方格纸完成简单平面图形的平移、轴对称、旋转作图，规范作图步骤，准确找出对应点、对应线段、对应角； 3.认识轴对称图形与中心对称图形，能运用图形变换的性质，解决简单的几何计算、图案识别与图案设计问题，初步体会三种变换之间的内在联系与综合应用。 知识点 重点归纳 常见易错点 平移变换 1.平移概念： 在平面内,将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到 另一个图形的平面变换叫作平移。 2.平移的性质： （1）平移前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）平移前后的两个图形中,两组对应点的连线段平行(或在同一 条直线上)且相等. 3.平移作图：作对应点→连线 平移变换的关键要素是方向和距离，在描述一个平移变换时，必须说清楚平移的方向和平移的距离。 轴对称变换 1.轴对称概念： 将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴。 2.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）成轴对称的两个图形中,不在对称轴上的两个对应点的连线 段被对称轴垂直平分。 3.垂直平分线： 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 轴对称是两个图形之间的一种关系，与轴对称图形是两个不同的概念，轴对称图形说的是一个图形的特点。 轴对称图形 轴对称图形： 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身,那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 轴对称图形是一个图形的特点，与轴对称是不同的概念 旋转变换 1.旋转概念： 在平面内,把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。 2. 旋转性质： （1）旋转前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等。 （2）旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角。 旋转变换的要素有三个：旋转中心、旋转方向、旋转角 中心对称 中心对称图形 1.中心对称概念： 在平面内,若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的,则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心,两个对称图形上的对应点叫作对称点 . 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过对称中心, 且被对称中心平分。 中心对称是特殊的旋转,所以具有旋转的所有性质 .例 如,成中心对称的两个图形可以重合,对应边相等,对应角也 相等 . 题型一 利用平移的性质求解问题 【例1】如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据题意，分别得出、、的长度，根据等量代换得出，求解即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 【变式1-1】如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积___．（结果化成最简形式） 【答案】/ 【分析】此题考查了平移的性质，首先得到，，求出，然后得到． 【详解】解：由平移得，， ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么________cm． 【答案】6 【分析】本题考查了平移，理解平移的性质是解题的关键．根据平移能够得到，求得即可求得 【详解】解：由平移，得， ， 可以看作向右平移得到，可以看作向左平移得到， ， ， ， 故答案为：． 题型二 平移的作图问题 【例2】在如图所示的正方形网格中，，，都在格点上．在给定的六个格点（网格中加点处）中找一个点，并满足下列条件． (1)平移图1中的三角形，使得给定的六个格点只有一个格点在其内部（不包括边上），画出平移后的格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形）： (2)在图中找一个格点，画和，使得． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 【分析】（1）根据平移的性质：将的三个顶点，，，向上平移2个单位长度，得，，，依次连接，，，据此画出平移的图形，此时三角形中给定的六个格点只有一个格点在其内部； （2）根据两直线平行，内错角相等，过点作，连接，则，利用网格的特点作出即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求： （2）解：如图2，点D、和即为所求： 【变式2-1】如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，20 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是四边形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是． 【变式2-2】如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 【答案】(1)画图见解析，和，和，和，、和 (2)和，和，和，、和 (3)和，和，和 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是： （1）先找出A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点D、E、F，如何顺次连接即可，再根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 相等的线段有：和，和，和，、和； （2）解：互相平行的线段：和，和，和，、和； （3）解：三角形和其平移后的图形中相等的角有：和，和，和． 题型三 利用轴对称性质求解问题 【例3】木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 【变式3-1】如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是根据轴对称图形的性质得到四边形与四边形的面积相等． 由题意可得，四边形与四边形的面积相等，从而得到阴影部分的面积就是的面积，即可求解． 【详解】解：由四边形与四边形关于所在直线对称可得四边形与四边形的面积相等， 从而得到阴影部分的面积就是的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式3-2】如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为__________． 【答案】12 【分析】本题主要考查轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 根据题意易得，，然后根据三角形的周长及线段的数量关系可求解． 【详解】解：由轴对称的性质可得：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：12． 题型四 轴对称图形识别 【例4】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可解答． 【详解】解：、图形是轴对称图形，不符合题意； 、图形是轴对称图形，不符合题意； 、图形不是轴对称图形，符合题意； 、图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：． 【变式4-1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一、下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 题型五 轴对称作图问题 【例5】图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：画图如下： 【变式5-1】按要求完成下列各小题．    (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）利用轴对称图形的性质画出对称轴即可； （2）利用轴对称图形的性质补全图形即可． 【详解】（1）解：作图如下：    （2）解：作图如下：    【变式5-2】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为． (1)观察图中所画的图形，然后各补画一个小正方形，使图中所成的图形是轴对称图形，图中所成的图形也是轴对称图形，但两幅图形不能全等． (2)补画后，图中的图形是不是正方体的表面展开图？ 答：中的图形 ；中的图形 （填“是”或“不是”） 【答案】(1)画图见解析； (2)不是，是． 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案和正方体的展开图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据轴对称图形性质即可画出图形； （）利用折叠的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：中的图形不是正方体的表面展开图；中的图形是正方体的表面展开图， 故答案为：不是，是． 题型六 折叠问题 【例6】如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 【变式6-1】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角．由折叠的性质可得，求出，即可判断C；求出即可判断B；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ， ∴与互余，故C正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 不能得出平分，故A错误，符合题意； 故选：A． 【变式6-2】如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． (1)判断与是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】此题考查了折叠问题及平行线的判定与性质，三角形内角和定理，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论； （2）先由三角形内角和定理得到，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 题型七 利用旋转的性质解决问题 【例7】如图，将绕点按顺时针方向旋转76°后，得到，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，解题关键是掌握旋转前后的两个图形全等以及对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角等知识．本题据此依次分析各选项即可求解． 【详解】解：由旋转可知：， ∴， 故A、B选项正确，不符合题意； ∵将绕点按顺时针方向旋转， ∴， 故D选项正确，不符合题意； ∵ 故C选项错误，符合题意； 故选：C． 【变式7-1】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 【变式7-2】综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动如图，将两块三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 操作探究： (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)当三角板绕点A旋转到如图2所示的位置，且时，求的度数． (3)深入思考：在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理． （1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出．，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图1，过点A作， ． ， ， ， ． （3）解：或． 理由：分以下两种情况： 若在下方， 当时，， ∵， ∴， 即当时，； 若在上方， 当时，， ∴， 即当时，． 故当或时，． 题型八 旋转作图问题 【例8】如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再顺次连接即可； （2）作出各点绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，△即为所求； （2）解：如图所示，△即为所求． ． 【变式8-1】如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． (1)线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； (2)线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查利用网格作图——旋转变换，轴对称的性质； （1）与是关于对称的，根据轴对称的性质，利用网格找到A点正上方两格处的E点，连接即为所求，是由绕点B顺时针旋转90°得到，找到B点下两格右四格的F点，连接即为所求； （2）由图2中网格可得，，所以. 【详解】（1）解：如图1中，线段BE，BF即为所求； （2）解：由图2中网格可得：，， ∴. 故答案为：． 【变式8-2】作图： (1)如图①，以点O为中心，把线段逆时针旋转； (2)如图②，以点O为中心，把三角形顺时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查旋转； （1）根据旋转的性质，找出端点A，B绕点O旋转后的对应点，连接即可； （2）根据旋转的性质，找出端点A，B，C绕点O旋转后的对应点，连接即可． 【详解】（1）解：如图，线段为所求； （2）解：如图，三角形为所求； 题型九 中心对称图形的识别 【例9】下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：中心对称图形是字母N，对应选项C. 【变式9-1】神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（    ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：依题意, 既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C． 【变式9-2】下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 题型十 利用中心对称的性质解决问题 【例10】八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故该选项正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故该选项正确，不符合题意； C、，是对顶角， ∴，故该选项正确，不符合题意； D、与不是对应角，是， 不成立，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式10-1】如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又∵ ∴在的垂直平分线上， ∴ 故选B． 【变式10-2】如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O， ∴①，正确； ②，，错误； ③和关于点O成中心对称，正确； ④将绕点O旋转能与重合，正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移和旋转的定义，掌握平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变是解题的关键． 根据平移的定义，判断每个选项的运动形式，平移是沿直线移动且方向不变，旋转是绕点转动方向改变． 【详解】解：A、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意； B、压钳绕点转动，属于旋转，不符合题意； C、物体沿直线向下移动，形状和方向均未改变，属于平移，符合题意； D、杠杆绕点转动，属于旋转，不符合题意． 故选：C． 2．如图，将周长为8的沿方向向右平移1个单位得到，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】解：由平移可知：， ∴的周长， ∵的周长， ∴的周长． 3．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 4．下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； D、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 5．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方形的性质可得，则，再根据折叠的性质可得，然后根据邻补角的定义和可得，最后根据三角形的内角和定理可得． 【详解】解：四边形是长方形， ， ，， ． 由折叠可知，，， ， ， 故选：C． 7．下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 【答案】A 【分析】本题考查生活中的旋转现象，熟记旋转定义是解决问题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，根据选项中的常见现象，结合旋转定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：旋转的本质是物体绕一个固定点转动， A. 秋千绕悬挂点摆动，做圆弧运动，属于旋转，符合题意； B. 火车沿轨道直线行驶，属于平移，不符合题意； C. 标枪被掷出后主要做平移运动，属于平移，不符合题意； D. 电梯垂直上下运动，属于平移，不符合题意； 故选：A． 8．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 9．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义，正确理解图形旋转的定义是解题的关键．根据图形旋转的定义及平角的定义，即得答案． 【详解】解：将绕点旋转，得到， ， 当旋转方向为顺时针时，旋转角度为； 当旋转方向为逆时针时，旋转角度为． 故选：A． 10．一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 【答案】A 【分析】本题考查了平移和旋转的性质，熟知平移和旋转的性质是解题的关键． 根据平移和旋转的性质分析即可得出答案． 【详解】A．平移后对应线段平行或共线，旋转对应线段不一定平行，故本选项说法错误，符合题意； B．无论平移还是旋转，对应线段相等，故本选项正确，不符合题意； C．无论平移还是旋转，对应角相等，故本选项正确，不符合题意； D．无论平移还是旋转，图形的形状和大小都没有发生变化，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本题共6小题） 11．将线段平移1cm，得到线段，则对应点与的距离为________． 【答案】1cm 【分析】本题考查平移的性质，解题关键是理解平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等．根据平移的性质，将线段平移1cm得到线段，那么对应点与的距离就等于平移的距离，即1cm． 【详解】解：将线段平移1cm，得到线段， 则. 故答案为1cm． 12．如图，已知四边形与四边形关于直线对称，四边形的周长为，，则四边形的周长为______，的度数为______． 【答案】 12 /度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的对应边相等、对应角相等以及对称轴是对应点连线的垂直平分线是解决此题的关键．根据轴对称的性质，两个图形关于某直线对称，对应边相等，对应角相等，周长也相等，所以四边形的周长四边形的周长，的度数等于的度数，即可得解 【详解】四边形与四边形关于直线对称， 四边形的周长四边形的周长，， 故答案为：12，． 13．如图，在中，，，将沿着直线折叠，点B恰好与点A重合，折痕为，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质和三角形的周长． 由折叠的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长 故答案为：． 14．如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 【答案】/90度 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，通过连接对应点与旋转中心，观察夹角大小来确定旋转角． 【详解】在正方形网格中，找到与的垂直平分线的交点，点即为旋转中心， 如图所示，连接、、、、 观察可得，旋转角为， 故答案为：． 15．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故答案为：． 16．如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 【答案】 B 45°/45度 【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于与都是等腰直角三角形，由此可以得到与都是，如果经过旋转后能与重合，那么根据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上， ∴与都是， 而经过旋转后能与重合， 那么旋转中心为点B，旋转角为， ∴旋转角度为． 故答案为：B，． 三、解答题（本题共4小题） 17．将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，熟练掌握平移不变性是解题的关键． （1）分别作出点向右平移8格，再向上平移2格的点，再顺次连接即可； （2）利用的平移的性质求解； （3）利用的平移的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：由平移的性质可得， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 由平移的性质可得，， 故答案为：． 18．如图所示的是的正方形网格，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． (1)如图①，在图中画出关于直线l成轴对称的三角形． (2)在图②中画出与成轴对称的其他格点三角形，并画出相应的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换、生活中的轴对称现象，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）结合轴对称的性质作图即可． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2）如图②，和直线即为所求（答案不唯一）． 19．分别在下面的正方形网格中画图． (1)在图1中画出以O为中心旋转后的图形； (2)在图2中画出以为轴对折后的图形； (3)在图3中画出向右平移一个单位长度后的图形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了画旋转图形、轴对称图形、平移作图，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）由以点为中心旋转可知经过点的直线旋转后与原直线在一条直线上，不经过点的直线旋转后与原直线平行，且旋转后的图形与原图形全等，由此画出旋转后的图形即可得； （2）由以为轴作原图的轴对称图形可知在上的线段轴对称后仍是它本身；有一个端点在上时，垂直平分另一端点与其对称点的连线；两个端点都不在上时，垂直平分端点与其对称点的连线；由此画出对称后的图形即可得； （3）由向右平移一个单位长度可知图中所有线段均向右平移一个单位长度，平移后的图形与原图形全等，由此画出平移后的图形即可得． 【详解】（1）解：在图1中画出以为中心旋转后的图形如下： （2）解：在图2中画出以为轴对折后的图形如下： （3）解：在图3中画出向右平移一个单位长度后的图形如下： 20．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出旋转角度； (2)若，求的长． 【答案】(1)旋转中心为点C，旋转角度为 (2)3 【分析】本题主要考查了图形的旋转．熟练掌握旋转的定义和性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，可知旋转中心为点C，旋转角为，再由周角的定义，即可求解； （2）根据旋转的性质，可得，由中点性质得，即得． 【详解】（1）∵由逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴旋转中心为点C，旋转角度为； （2）由（1）知，， ∵点D为的中点， ∴， ∴． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换，熟练掌握平移是解题的关键； 根据平移可进行求解． 【详解】解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移， 故选：A． 2．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是图形的平移，根据平移的性质逐一判断即可． 【详解】解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且，即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 故选：B． 3．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 4．下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形是指沿一条直线折叠，两边的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形，故该选项不符合题意； 5．已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是长方形与折叠的问题，平行线的性质，由折叠性质得到角相等是关键．先利用长方形的直角与对边平行性质，结合第一次折叠得到等角关系推出，再由平行线性质得到；接着结合第二次折叠的等角关系，算出，最后通过平角定义推出，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 由折叠得：，， ∴ ， ∵， ∴， 由折叠得，且在上， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 6．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 7．如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心是解题的关键．如图根据题意，可知点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，点绕某点旋转后的对应点为点，连接，，借助网格，画出线段，的垂直平分线，找到其垂直平分线的交点，即可所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 故选：C． 8．如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，则，即可解答． 【详解】解：∵将绕着点顺时针旋转后，得到， ∴， ∴． 故选B． 9．如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 10．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题） 11．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，其中，，，则阴影部分的面积是______________． 【答案】7 【分析】根据平移的性质，将阴影部分的面积转化为梯形的面积，进行计算即可． 【详解】解：∵平移， ∴，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积． 12．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 【答案】/108度 【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，，再结合和平角的定义，求出，即可得解． 【详解】解：， ， 由折叠的性质可知，， ，且， ， ， ， 13．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：． 14．如图是由绕点顺时针旋转得到的，若____________________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的不变性和旋转的三要素． 由旋转的性质即可得到，，再由角的和差计算求解的度数． 【详解】解：由旋转得，， ∵， ∴， 故答案为：，． 15．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 16．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 三、解答题（本题共4小题） 17．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 18．如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在上方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ， ； 当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ； 综上分析可知，此时或． 19．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 【答案】见解析 【分析】根据轴对称的性质画出及对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示 20．如图，方格纸中四边形的四个顶点均在格点上，将四边形向右平移4格得到四边形．将四边形绕点A旋转，得到四边形． (1)在方格纸中画出四边形和四边形； (2)四边形经过一次________可以与四边形重合（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (3)写出四边形与四边形经过（2）中变换的两条性质． 【答案】(1)见解析 (2)旋转 (3)四边形与四边形形状大小都相同 【分析】本题考查轴对称和中心对称作图，掌握轴对称和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质和中心对称的性质作图即可； （2）根据两图形的位置进行判断解题即可； （3）根据两图形得到性质即可解题． 【详解】（1）解：如图所示，四边形和四边形即为所作； （2）解：四边形可以看作是四边形绕着中点旋转得到的， 故答案为：旋转； （3）四边形和四边形的形状相同，大小相同． 2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 图形的变换（复习讲义） 1. 理解平移、轴对称、旋转的概念，识别三种变换的基本要素：平移的方向与距离、轴对称的对称轴、旋转的中心、方向与角度，区分三种变换的异同，明确图形变换前后形状、大小不变，仅位置改变的本质特征； 2. 掌握三种变换的基本性质，能结合方格纸完成简单平面图形的平移、轴对称、旋转作图，规范作图步骤，准确找出对应点、对应线段、对应角； 3.认识轴对称图形与中心对称图形，能运用图形变换的性质，解决简单的几何计算、图案识别与图案设计问题，初步体会三种变换之间的内在联系与综合应用。 知识点 重点归纳 常见易错点 平移变换 1.平移概念： 在平面内,将一个图形沿直线的某个方向平行移动一定的距离后得到 另一个图形的平面变换叫作平移。 2.平移的性质： （1）平移前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）平移前后的两个图形中,两组对应点的连线段平行(或在同一 条直线上)且相等. 3.平移作图：作对应点→连线 平移变换的关键要素是方向和距离，在描述一个平移变换时，必须说清楚平移的方向和平移的距离。 轴对称变换 1.轴对称概念： 将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称,这条直线叫作对称轴。 2.轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等； （2）成轴对称的两个图形中,不在对称轴上的两个对应点的连线 段被对称轴垂直平分。 3.垂直平分线： 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 轴对称是两个图形之间的一种关系，与轴对称图形是两个不同的概念，轴对称图形说的是一个图形的特点。 轴对称图形 轴对称图形： 如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身,那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 轴对称图形是一个图形的特点，与轴对称是不同的概念 旋转变换 1.旋转概念： 在平面内,把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角。 2. 旋转性质： （1）旋转前后的两个图形可以重合,对应线段相等,对应角也相等。 （2）旋转前后的两个图形中,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角。 旋转变换的要素有三个：旋转中心、旋转方向、旋转角 中心对称 中心对称图形 1.中心对称概念： 在平面内,若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的,则称这两个图形成中心对称,这个点叫作对称中心,两个对称图形上的对应点叫作对称点 . 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中,对应点的连线段经过对称中心, 且被对称中心平分。 中心对称是特殊的旋转,所以具有旋转的所有性质 .例 如,成中心对称的两个图形可以重合,对应边相等,对应角也 相等 . 题型一 利用平移的性质求解问题 【例1】如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 【变式1-1】如图，把两个相同的直角三角板重叠后，沿边推动其中一块，使它平移到某一位置，已知，，，用含的代数式表示四边形的面积___．（结果化成最简形式） 【变式1-2】如图，在四边形中，，，将，分别平移到和的位置，如果，，那么________cm． 题型二 平移的作图问题 【例2】在如图所示的正方形网格中，，，都在格点上．在给定的六个格点（网格中加点处）中找一个点，并满足下列条件． (1)平移图1中的三角形，使得给定的六个格点只有一个格点在其内部（不包括边上），画出平移后的格点三角形（三个顶点都在格点上的三角形）： (2)在图中找一个格点，画和，使得． 【变式2-1】如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【变式2-2】如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 题型三 利用轴对称性质求解问题 【例3】木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为_____． 【变式3-2】如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为__________． 题型四 轴对称图形识别 【例4】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B．C． D． 【变式4-2】“书法”是我国汉字特有的一种传统艺术，它是我国十大国粹之一、下面的“美”字分别采用楷书、行书、草书、篆书等四种不同字体书写而成，它们呈现出美的不同形态．其中符合轴对称美的是（　　） A．B．C． D． 题型五 轴对称作图问题 【例5】图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【变式5-1】按要求完成下列各小题． (1)在图1中，画出灰色图形的对称轴直线； (2)在图2各图中的适当位置涂灰一个小方格，使整个灰色图形关于直线成轴对称． 【变式5-2】如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为． (1)观察图中所画的图形，然后各补画一个小正方形，使图中所成的图形是轴对称图形，图中所成的图形也是轴对称图形，但两幅图形不能全等． (2)补画后，图中的图形是不是正方体的表面展开图？ 答：中的图形 ；中的图形 （填“是”或“不是”） 题型六 折叠问题 【例6】如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 【变式6-2】如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠，使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H． (1)判断与是否平行，并说明理由． (2)若，求的度数． 题型七 利用旋转的性质解决问题 【例7】如图，将绕点按顺时针方向旋转76°后，得到，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 【变式7-2】综合与探究 问题情境：在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动如图，将两块三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 操作探究： (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由． (2)当三角板绕点A旋转到如图2所示的位置，且时，求的度数． (3)深入思考：在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 题型八 旋转作图问题 【例8】如图，已知点O和．请在网格中画图： (1)画出，使与关于点O成中心对称； (2)把绕点O顺时针旋转，画出旋转后对应的． 【变式8-1】如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． (1)线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； (2)线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 【变式8-2】作图： (1)如图①，以点O为中心，把线段逆时针旋转； (2)如图②，以点O为中心，把三角形顺时针旋转． 题型九 中心对称图形的识别 【例9】下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】神舟二十一号载人飞船于2025年10月31日发射，成功将三名中国航天员送入天宫空间站．某同学画了如图所示的天宫空间站（部分）示意图，对于该图形，下列说法正确的是（    ） A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 【变式9-2】下列图形中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型十 利用中心对称的性质解决问题 【例10】八年级某数学兴趣小组在一次综合实践活动中，为研究中心对称图形的性质，对于已知以及外的一点O，分别作A，B，C关于O的对称点，，，得到，如图， 则下列结论不成立的是（ ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式10-1】如图，与关于点成中心对称，连接，，．若，，则的长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式10-2】如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 基础巩固通关测 一、选择题（本题共10小题） 1．下面四个图形中，在力的作用下，物体做平移运动的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将周长为8的沿方向向右平移1个单位得到，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 4．下列图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．下列运动形式中，属于旋转的是（   ） A．小明在荡秋千 B．飞驰的火车 C．运动员掷出的标枪 D．电梯从一楼运行到12楼 8．如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 9．如图，在中，，将绕点C旋转，得到，若点A的对应点D恰好在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（   ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 10．一个图形无论经过平移还是旋转，以下说法不正确的是（   ） A．对应线段平行； B．对应线段相等； C．对应角相等； D．不改变图形的形状和大小， 二、填空题（本题共6小题） 11．将线段平移1cm，得到线段，则对应点与的距离为________． 12．如图，已知四边形与四边形关于直线对称，四边形的周长为，，则四边形的周长为______，的度数为______． 13．如图，在中，，，将沿着直线折叠，点B恰好与点A重合，折痕为，则的周长为______． 14．如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 15．在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是__________ 16．如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 三、解答题（本题共4小题） 17．将下列方格纸中的向右平移8格，再向上平移2格，得到． (1)画出平移后的三角形； (2)若，，则_______． (3)如果，则_______． 18．如图所示的是的正方形网格，网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形． (1)如图①，在图中画出关于直线l成轴对称的三角形． (2)在图②中画出与成轴对称的其他格点三角形，并画出相应的对称轴． 19．分别在下面的正方形网格中画图． (1)在图1中画出以O为中心旋转后的图形； (2)在图2中画出以为轴对折后的图形； (3)在图3中画出向右平移一个单位长度后的图形． 20．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出旋转角度； (2)若，求的长． 能力提升进阶练 一、选择题（本题共10小题） 1．如图，央视2026马年春晚主标识是由四马拾级而上构成，象征国人齐头并进、步步登高．从数学角度观察，四马之间存在的图形变换关系为（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．中心对称 2．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 4．下列图形中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．已知四边形为长方形．如图，点在线段上，将其沿折叠得到图，分别交于，再将沿折叠得到图，点恰好落在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 6．虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在的正方形网格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图，将绕着点顺时针旋转后，得到，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 10．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 二、填空题（本题共6小题） 11．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，其中，，，则阴影部分的面积是______________． 12．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，C、D两点分别与、对应，若，则的度数为___________ 13．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______． 14．如图是由绕点顺时针旋转得到的，若____________________． 15．如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 16．如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为__________°． 三、解答题（本题共4小题） 17．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 18．如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 19．在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出符合条件的及对称轴．（每个正方形格点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种）． 20．如图，方格纸中四边形的四个顶点均在格点上，将四边形向右平移4格得到四边形．将四边形绕点A旋转，得到四边形． (1)在方格纸中画出四边形和四边形； (2)四边形经过一次________可以与四边形重合（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (3)写出四边形与四边形经过（2）中变换的两条性质． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $