精品解析：2026年甘肃酒泉市中考适应性第一次检测试卷数学

2026年中考适应性第一次检测试卷 数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 2. 图是一个正方体展开图，与6号相对的面是（　　）号面． A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 45° D. 50° 5. 某服装电商销售某新款羽绒服，标价为250元，若按标价的八折出售，仍可获利50元，则这款羽绒服进价为每件（ ） A. 250元 B. 200元 C. 150元 D. 100元 6. 已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 9. 2023年，双峰县第十三次党代会明确了建设“文明双峰”的行进方向，提出了创建全国文明城市（县级）的具体目标，为宣传环保意识，周末小明对到县内某景区游玩人群的垃圾处理习惯（A就地扔掉、B带回处理、C丢入垃圾桶，三者任选其一）进行了随机抽样调查. 小明根据调查情况进行统计，绘制的扇形统计图和条形统计图尚不完整，如图所示. 请结合统计图中的信息，判断下列说法错误的是（ ） A. 抽样调查的样本数据是240 B. “A就地扔掉”所在扇形的圆心角为 C. 样本中“C丢入垃圾桶”的百分比为 D. 周末到景区游玩的1000名游人中，“C丢入垃圾桶”垃圾的人数大约为168人 10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a＋b的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 把多项式分解因式的结果是______． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 13. 方程=1的解是_____． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 15. 如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________． 16. 将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1）每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n个图形为“雪花曲线”，其周长为，若“雪花曲线（2012）”的周长为，则________． 三、解答题：本题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．请你根据以下步骤完成这个作图过程． （1）如图，是上一点，仅用圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①以点为圆心，长为半径，自点起，在上顺时针方向依次截取． ②依次连接点，得圆内接正六边形． （2）根据（1）中完成的图，若的半径为2，求六边形的面积． 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 22. 2025年8月7日傍晚，甘肃兰州市榆中县等地遭遇连续强降雨，牵动了社会各界的心．为精准掌握山区地形数据，助力灾后隐患排查与防汛监测，某学习小组开展实地测量实践．他们设计了如下方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点E，C，D在同一条直线上，从B处测得塔底C的仰角为37°，测得塔顶E的仰角为，，求两座山之间水平距离的长．（参考数据：，） 23. 为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某中学把劳动教育纳入积分考核．为了解本期学生的劳动情况，学生处随机抽取了名男生和名女生的积分．收集得到了以下数据（单位：分）： 【收集数据】 男生：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 女生：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 【整理数据】 积分 男生 女生 【分析数据】规定积分达到分以上的可以被评为“劳动达人”，并颁发奖品． 平均数 中位数 众数 获奖率 男生 女生 和 （1）请将上面的表格补充完整：______，______，______，______． （2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计该校名学生中被评为“劳动达人”的同学约有______人； （3）老师看了表格数据后，认为该校女生本学期的劳动情况比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持老师观点的理由． 24. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 25. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即一线三等角模型和字模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系____； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． （4）如图4，正方形中，，，求的面积． 27. 如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． （3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性第一次检测试卷 数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用有理数大小比较的基本规则即可求解． 【详解】解：∵负数小于0，0小于正数． ∴ ． ∴ 四个选项中最小的数是． 2. 图是一个正方体展开图，与6号相对的面是（　　）号面． A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据展开图中隔一相对的原理解答即可． 本题考查了展开图问题，熟练掌握展开图是解题的关键． 【详解】解：根据展开图中隔一相对的原理，得６和２相对， 故选：B． 3. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，该选项计算错误，不符合题意； B、，故该选项计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D、，故该选项计算错误，不符合题意； 故选： B． 4. 已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 20° B. 30° C. 45° D. 50° 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可． 【详解】因为，所以∠2=∠1+30°， 所以∠2=30°+20°=50°， 故选D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键． 5. 某服装电商销售某新款羽绒服，标价为250元，若按标价的八折出售，仍可获利50元，则这款羽绒服进价为每件（ ） A. 250元 B. 200元 C. 150元 D. 100元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设这款羽绒服进价为每件元，根据折扣价等于标价乘以折扣，利润等于折扣价减去进价，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设这款羽绒服进价为每件元，由题意，得： ， 解得； 故选C． 6. 已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系．分类讨论，这个边长可能为底边长也可能为腰长． 【详解】解：当底边为2时，腰长，符合题意； 当腰长为2时，底边，而，，不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 7. 下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 8. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 9. 2023年，双峰县第十三次党代会明确了建设“文明双峰”的行进方向，提出了创建全国文明城市（县级）的具体目标，为宣传环保意识，周末小明对到县内某景区游玩人群的垃圾处理习惯（A就地扔掉、B带回处理、C丢入垃圾桶，三者任选其一）进行了随机抽样调查. 小明根据调查情况进行统计，绘制的扇形统计图和条形统计图尚不完整，如图所示. 请结合统计图中的信息，判断下列说法错误的是（ ） A. 抽样调查的样本数据是240 B. “A就地扔掉”所在扇形的圆心角为 C. 样本中“C丢入垃圾桶”的百分比为 D. 周末到景区游玩的1000名游人中，“C丢入垃圾桶”垃圾的人数大约为168人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想． 【详解】解：A、调查的总人数是：25%=240（人），故本选项正确，不合题意； B、“A就地扔掉”所在扇形的圆心角为：，故本选项正确，不合题意； C、样本中“C丢入垃圾桶”的所占百分比是：，故本选项正确，不合题意； D、样本中“C丢入垃圾桶”垃圾的人数占调查总人数的，所以估计“五一”假期间的白家湾玩的1000名游人中“就地扔掉”垃圾的人数大约为：人．故本选项错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a＋b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A、C关于BD对称，推出PA＝PC，推出PC＋PE＝PA＋PE，推出当A、P、E共线时，PE＋PC的值最小，观察图象可知，当点P与B重合时，PE＋PC＝6，推出BE＝CE＝2，AB＝BC＝4，分别求出PE＋PC的最小值，PD的长即可解决问题． 【详解】解：∵在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点， ∴易证AE⊥BC， ∵A、C关于BD对称， ∴PA＝PC， ∴PC＋PE＝PA＋PE， ∴当A、P、E共线时，PE＋PC的值最小，即AE的长． 观察图象可知，当点P与B重合时，PE＋PC＝6， ∴BE＝CE＝2，AB＝BC＝4， ∴在Rt△AEB中，AE＝， ∴PC＋PE的最小值为， ∴点H的纵坐标a＝， ∵BC∥AD， ∴， ∵BD＝， ∴PD＝， ∴点H的横坐标b＝， ∴a＋b＝； 故选：C． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意得， 解得m=4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，理解并熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 13. 方程=1的解是_____． 【答案】x=3 【解析】 【详解】去分母得：x﹣1=2， 解得：x=3， 经检验x=3是分式方程的解， 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查解分式方程，解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程，然后求解．去分母后解出的结果须代入最简公分母进行检验，结果为零，则原方程无解；结果不为零，则为原方程的解． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 15. 如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设A（t，）, ∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点， ∴B（-t，-）, ∵轴，轴， ∴C（t，-）, ∴； 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等． 16. 将等边三角形（记为“雪花曲线（1）”，如图（1）每一边三等分，以居中的那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（记为“雪花曲线（2）”，如图（2）），接着对每个等边三角形凸出的部分继续作上述过程，即在每条边三等分后的中段，像图（3）那样向外画新的等边三角形．不断重复这样的过程，得到一系列的“雪花曲线”，记第n个图形为“雪花曲线”，其周长为，若“雪花曲线（2012）”的周长为，则________． 【答案】2684 【解析】 【分析】根据题意和图形，易得后一个图形的周长比前一个图形的周长多了前一个周长的，即后一个图形的周长是前一个图形周长的倍，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知：后一个图形的周长比前一个图形的周长多了前一个周长的，即后一个图形的周长是前一个图形周长的倍， ∵， ∴． 三、解答题：本题共11小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，首先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】-7＜≤1 数轴上表示不等式组的解集为 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得≤1， 解不等式②，得＞-7， ∴不等式组的解集为-7＜≤1． 在数轴上表示不等式组的解集为 故答案为-7＜≤1． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了“的原则是解此题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．请你根据以下步骤完成这个作图过程． （1）如图，是上一点，仅用圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①以点为圆心，长为半径，自点起，在上顺时针方向依次截取． ②依次连接点，得圆内接正六边形． （2）根据（1）中完成的图，若的半径为2，求六边形的面积． 【答案】（1） 解：依题意，圆内接正六边形如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正多边形与圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的描述过程进行作图，即可作答． （2）连接，结合六边形是正六边形，证明是等边三角形，把数值代入进行计算，得，再计算的面积，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 过点作于点G， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 则， 则， 则， ∴， ∴的面积为， ∴六边形的面积为． 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 22. 2025年8月7日傍晚，甘肃兰州市榆中县等地遭遇连续强降雨，牵动了社会各界的心．为精准掌握山区地形数据，助力灾后隐患排查与防汛监测，某学习小组开展实地测量实践．他们设计了如下方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点E，C，D在同一条直线上，从B处测得塔底C的仰角为37°，测得塔顶E的仰角为，，求两座山之间水平距离的长．（参考数据：，） 【答案】两座山之间水平距离的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，设，分别表示出和，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ∴， 两座山之间水平距离的长约为． 23. 为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某中学把劳动教育纳入积分考核．为了解本期学生的劳动情况，学生处随机抽取了名男生和名女生的积分．收集得到了以下数据（单位：分）： 【收集数据】 男生：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 女生：，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 【整理数据】 积分 男生 女生 【分析数据】规定积分达到分以上的可以被评为“劳动达人”，并颁发奖品． 平均数 中位数 众数 获奖率 男生 女生 和 （1）请将上面的表格补充完整：______，______，______，______． （2）已知该年级男女生人数差不多，根据调查的数据，估计该校名学生中被评为“劳动达人”的同学约有______人； （3）老师看了表格数据后，认为该校女生本学期的劳动情况比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持老师观点的理由． 【答案】（1），，， （2） （3） ①从平均数上看，女生的比男生的高，因此女生成绩较好； ②从获奖率上看，女生的比男生的高，因此女生成绩较好（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查频数统计表、中位数、众数、平均数的意义和计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）根据频数统计的方法分别统计调查m和n的值，利用中位数、众数、获奖率分别求出a、b即可； （2）根据男女生样本中积分达到90分以上的所占的百分比，进而求出相应的人数； （3）从平均数和获奖率得出结论（答案不唯一）． 【小问1详解】 根据频数统计方法可得，， 男生积分中从小到大排列，第个和第个为和，所以中位数， 女生获奖率为； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 （人）， 答：估计该校名学生中被评为“劳动达人”的同学约有人； 故答案为：； 【小问3详解】 略 24. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）首先把代入反比例函数中，就可以确定m的值，从而确定反比例函数的表达式，再把代入反比函数解析式确定n的值，再利用待定系数法确定一次函数的表达式； （2）先求出直线AB与y轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积； 【详解】解：（1）∵反比例函数经过点， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． ∴， 把，的坐标代入， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）如图设直线交轴于，则， ∴． 【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数的解析式，，以及一次函数的应用，难易适中．在求解面积时要注意运用分割法，把总面积分割为两个小三角形的面积之和． 25. 如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且． （1）求证：DF是的切线； （2）求线段OF的长度． 【答案】（1）证明：连接OD ∵是等边三角形 ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴OD//AB ∵ ∴ ∴ ∴DF是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明； （2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）∵OD//AB， ∴OD为的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ 由勾股定理，得： ∴在中，． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 26. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即一线三等角模型和字模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系____； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． （4）如图4，正方形中，，，求的面积． 【答案】（）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （） （） （） 【解析】 【分析】本题考查同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，与三角形的高相关的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由结合同角的余角相等，结合已知可得 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差，即可证得结论； （2）由同角的余角相等，结合已知可得，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，代入三角形的面积公式，即可得的面积； （4）过作，交延长线于点，正方形中，，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，代入三角形的面积公式，即可得的面积. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴的面积为． （4）解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的面积为． 27. 如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接 （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标． （3）若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）时，有最大值，最大值为，点的坐标为 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解； （3）根据平行四边形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点、， ∴，解得，， ∴该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2，过点作轴交于点， 设所在直线的解析式为：，过点， ∴，即所在直线的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：抛物线的表达式为，点的横坐标为， ∴，即，且， ①如图所示，四边形为平行四边形， ∴，且， ∴点的纵坐标为，，解得，，， ∴点的坐标为， ∴， 设点， ∵， ∴，则，即； ②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于， ∴，，， ∴， ∴，且,设，， ∴，解得，，， 当时，，即，则；当时，，即，则， ∴点的坐标为或； ③如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴设，则， ∴，即点的坐标为； 综上所示，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $