精品解析：江苏无锡市惠山区2026年春学期九年级教学质量监测 数学试题

2026年春学期九年级教学质量监测 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 7 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正方形 D. 正五边形 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别是 ，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点 ，是凸透镜的焦点，，若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径．，是上的两点，连接，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点 作轴，垂足为点，若，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 11 10. 已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（ ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A. ①②③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置． 11. 的相反数是_____． 12. 据网络平台统计，截至 年月日，某市春节档电影观影人次突破，将数据用科学记数法表示为______． 13. 因式分解：=_____． 14. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是______． 15. 请写出的一个同类二次根式_______． 16. 如图，在正方形中，点 ， 分别在边 ，上，且 ，作 于点 交 于点，若 ，，则的长为________． 17. 在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为：，若直线把 分成面积相等的两部分，则的值为___________． 18. 如图，在中， ，点 在线段 上（不与 ，重合），， 交 于点，过点 作，垂足为 ，交 的延长线于点 ，则 与的数量关系为______：若（为常数），则_____（用含的代数式表示）． 三．解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程或解不等式组． （1）解方程： （2）解不等式组： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，点 、、 、 在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若， ，求 的度数． 22. 三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为 、 、． （1）若从中任选一种溶液，则选中溶液的概率为______． （2）已知 、 混合后溶液会变红色， 、混合后溶液也会变为红色， 、混合后溶液不变色．现从 、 、三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，请用“树状图”或“列表”的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 23. 睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A．少于 B． （含 不含 ) C． (含 不含 ) D．不少于 （1）在这次调查中，一共抽取了_______名学生； （2）补全条形统计图，并写出_______； （3）若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于 的学生有多少名？ 24. 如图，是的直径，点是圆外一点，连接分别交于点 ，． （1）求证： ； （2）若，求的长． 25. 如图，在 中， ， ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点，使得点到 的距离相等，且满足：（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线与交于 ，若 ，则 的长为________．（如需草图，请用备用图） 26. 根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离 为，斜坡长为． 【素材2】图2中的矩形为一辆大巴车的侧面示意图，车长为，车高为． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形的顶点 与点 重合，点 与指示路牌底端点之间的距离为，且． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离为． （1）问题1：如图1，求； （2）问题2：如图3，当点与指示牌底端在同一条直线上，试求小李距大巴车尾 的距离 ． 27. 已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点和是该二次函数图象上的两点，当 时，试比较与的大小，并说明理由； （3）点 是直线上的动点，过点 作直线的垂线，记点关于直线的对称点为 ．当以点 ， ，， 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点 的坐标． 28. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点，将四边形沿直线 翻折，点 ，的对应点分别是点 ， ，其中点 始终落在 边上． （1）如图2，当点 恰好落在直线 上，且 时，求的长； （2）如图3，当点 与点 重合时，求的值； （3）当直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期九年级教学质量监测 数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗、描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 3 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用有理数的加法法则求解即可． 本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故选项A错误； B．和不是同类项，不能合并，故选项B错误； C．，故选项C正确； D．，故选项D错误． 3. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：C． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 正方形 D. 正五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员在选拔赛中，每人射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别是 ，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定．比较四名运动员的方差，最小者即为最稳定． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙、丁的方差分别为，且 ， ∴ 丁的方差最小， ∴ 成绩最稳定的是丁． 6. 通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点 ，是凸透镜的焦点，，若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有一道“假田”问题．具体如下：今有田亩租赁，出租第一年3亩收1钱；第二年4亩收1钱；第三年5亩收1钱．三年共收得地租100钱．问租赁田多少亩？若设租赁田亩，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 8. 如图，是 的直径．，是 上的两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵是 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据轴可知，的高为点的纵坐标，利用三角形面积公式结合反比例函数解析式即可求解．  【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∵点在第二象限， ∴，即， ∴， 即，解得 ． 10. 已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（ ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A. ①②③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】 对于每个函数，需要计算，并与进行比较，看是否满足． 【详解】解： 设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为 判断结论① ：已知函数， ∴， ， ∴． ∵，满足，此时， ∴函数是“3-利普希兹条件函数”，结论①正确； 判断结论②： 对于函数， ∴，， ∴， 当时，，，而，不满足， ∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，结论②错误； 判断结论③： 已知函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴， ∴． ∵函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴，即 ． 由于， ∴，两边同时除以可得，则m的最大值为2026，结论③正确； 判断结论④： 已知函数，当时， ∴，， ∴，整理，得， ∵， ∴， ∴，即， ∴，满足，则k的最小值为11，结论④正确． 综上，正确的是①③④，答案选D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡上相应的位置． 11. 的相反数是_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】此题依据相反数的概念求值．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 【详解】解： 相反数只是符号不同，故3的相反数为−3−3. 【点睛】错因分析  容易题.失分原因是：相反数与绝对值的概念混淆. 12. 据网络平台统计，截至 年月日，某市春节档电影观影人次突破，将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定的值时，观察原数变为时小数点移动的位数，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，为正整数． 【详解】解：将用科学记数法表示：． 13. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 14. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】设底面圆的半径为 ，根据扇形的弧长等于底面圆的周长列出方程，进而得出底面圆半径． 【详解】解：设底面圆的半径为 ， 根据题意可得：， 解得： ， ∴底面圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的弧长和围成圆锥的底面圆的周长的关系，熟知扇形的弧长等于底面圆的周长是解本题的关键． 15. 请写出的一个同类二次根式_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】的一个同类二次根式为2（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了同类二次根式，正确把握定义是解题关键． 16. 如图，在正方形中，点， 分别在边 ，上，且 ，作 于点交于点，若 ，，则 的长为________． 【答案】 6 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质得到， ，再利用同角的余角相等证明，从而证得，利用相似比求出的长，进而求出的长，最后利用相似比求出的长． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴，  ∴，即，  又∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 则 的长为6． 17. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，若直线把分成面积相等的两部分，则的值为___________． 【答案】0.6 【解析】 【分析】首先，将直线，变形得出，知直线恒过定点，然后根据题意得直线过点，再将此点代入即可得出的值． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴直线恒过定点． ∵直线，把分成面积相等的两部分， ∴直线过线段 的中点． ∵， ∴直线过点． 把点代入，得，解得． 18. 如图，在中，，点在线段上（不与，重合），， 交 于点，过点作，垂足为，交的延长线于点 ，则与的数量关系为______：若（为常数），则_____（用含的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，则，得出，进而得出；作，交于点J，交于点K，根据求出，得出，再证明，得出，证明，得出，设 ，则，解方程求出结论即可． 【详解】解：， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ； 作，交于点J，交于点K， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ，则， 解得：（不合题意舍去）， 故． 三．解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解方程或解不等式组． （1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法进行求解即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤，先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ， 解得； 【小问2详解】 解： 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【解析】 【分析】先根据分式的减法运算化简，再将代入计算即可． 【详解】解： ， 由，则原式． 21. 如图，点、、、在同一条直线上，，， （1）求证：； （2）若， ，求 的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵ ， ∴ 22. 三个外观完全相同的细口瓶中分别装有一种无色溶液，记为、、． （1）若从中任选一种溶液，则选中溶液的概率为______． （2）已知、混合后溶液会变红色，、混合后溶液也会变为红色，、混合后溶液不变色．现从、、三种溶液中随机选择两种在烧杯中混合，请用“树状图”或“列表”的方法，求混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）通过列表法列出从、、三种溶液中随机选择两种混合的所有等可能结果和混合后溶液为红色的结果数，再利用概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：从、、中任选一种溶液，则选中溶液的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列出从、、三种溶液中随机选择两种的所有等可能结果如下： 由表可知，所有等可能的结果共有种，其中混合后溶液颜色为红色的结果有种， 混合后烧杯中溶液颜色为红色的概率是． 23. 睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校学生健康成长中心的工作人员，随机选取部分学生开展了一次问卷调查活动，并根据调查结果制成以下尚不完整的统计图： 调查问卷 你每天的睡眠时长大约（ ） A．少于 B． （含 不含 ) C． (含 不含 ) D．不少于 （1）在这次调查中，一共抽取了_______名学生； （2）补全条形统计图，并写出_______； （3）若该校共有2000名学生，估计该校每天睡眠时长少于 的学生有多少名？ 【答案】（1） （2） 补全条形图如下： （3）该校每天睡眠时长少于 的学生约为200名． 【解析】 【分析】（1）先根据C组的人数和占比求出总人数； （2）根据B组的人数除以总人数进而可求出m的值，补全条形统计图即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解： （名）， 则一共抽取了40名学生； 【小问2详解】 解：B组的人数为： （名）， ， 则 ； 补全条形图略 【小问3详解】 解： （人） 答：该校每天睡眠时长少于 的学生约为200名． 24. 如图，是 的直径，点是圆外一点，连接分别交 于点 ，． （1）求证： ； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是 的内接四边形， ∴， ∵ ， ∴． ∴． ∵ ， ∴． ∴． ∴ ； （2） 【解析】 【分析】（1）首先，根据四边形 是 的内接四边形，得出，再由 ， ， 证得，即可得出 ； （2）首先，添加辅助线，然后，由，得是等腰三角形，再证得 ，得出，，再证得，得出，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解:连接 ． 由（1）知， ∴， ∴是等腰三角形， ∵ 是 的直径， ∴ ． ∴，． 由（1）知，又知， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】掌握圆的有关性质、等腰三角形的判定与性质，证得，再运用相似三角形的性质得出对应边成比例是本题解题的关键． 25. 如图，在中， ， ． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点，使得点到 的距离相等，且满足：（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线 与交于，若 ，则的长为________．（如需草图，请用备用图） 【答案】（1） 如图，即为所求. （2） 【解析】 【分析】（1）先作的角平分线，再过作角平分线的垂线即可. （2）如图2，记的交点为，连接 ，过作于，证明，可得，证明 为等边三角形， ， 是的垂直平分线，可得，设，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，记的交点为，连接 ，过作于， 由作图可得：，，而， ∴， ∴， ∵ ， ． ∴， 为等边三角形，， ∴ ，，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴. 26. 根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离 为，斜坡长为． 【素材2】图2中的矩形为一辆大巴车的侧面示意图，车长为，车高为． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形的顶点 与点重合，点与指示路牌底端 点之间的距离为，且． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离为． （1）问题1：如图1，求； （2）问题2：如图3，当点与指示牌底端 在同一条直线上，试求小李距大巴车尾 的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出第三边进而求出； （2）作交 延长线于点O，作于点T，交于点R，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可． 【小问1详解】 解：由题意得：在中，为，斜坡长为， ， ； 【小问2详解】 解：如图，作交 延长线于点O，作于点T，交于点R， 则四边形为矩形，四边形为矩形， ， ， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ． 27. 已知二次函数的图象经过点，，顶点为点，与轴交于点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点和是该二次函数图象上的两点，当 时，试比较与的大小，并说明理由； （3）点是直线上的动点，过点作直线的垂线，记点关于直线的对称点为 ．当以点，，， 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，；当时，；当时， （3）和 【解析】 【分析】（1）将A、B两点坐标代入二次函数解析式中求解即可； （2）把点和代入解析式得、表达式，采用作差法计算并化简，结合已知 的取值范围，以差式的正负分三种情况讨论即可明确与的大小关系； （3）先根据二次函数解析式求出顶点、与轴交点的坐标，结合点坐标求出直线的解析式，设出直线上动点的坐标；再利用轴对称的性质，由垂直、与 关于对称，得出，结合平移的坐标变化规律、平行线的性质、中点坐标公式，推导出点 的坐标；最后根据平行四边形对角线互相平分的核心性质，对四个点构成平行四边形的对角线组合进行分类，利用中点坐标公式建立方程求解，舍去无效解后得到符合条件的点的坐标． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，即， 解得， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点和是二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 结合 ，分三种情况讨论： ①当，即时，； ②当，即时，； ③当，即时，； 【小问3详解】 解：∵抛物线与轴交于点，顶点为点， ∴，， 设直线 的解析式为，将，代入得 ， 解得， ∴直线解析式为， ∵点是直线上的动点， ∴设， ∵、 关于直线对称， ∴垂直平分， 又 ， ∴， ∴到 的平移规律，与到的平移规律完全一致， 设到中点 的横坐标变化为，则纵坐标变化为， ∴， 如图，中点 在对称轴上，且 ， ∴ 为直角三角形， ∴， ∵， ， ， ∴， 整理得， ∵点和点重合时无法构成平行四边形，故， ∴两边同时除以，得 ， ∴， 设，则 ，， 化简得，， ∴， 若以点，，， 为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论： ①以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； ②以和为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得 ， ∴此情况不成立； ③以和 为平行四边形的对角线，则的中点的中点， ∴横坐标相等，得， 解得， 纵坐标相等，得， 解得， ∴； 综上，点的坐标为和． 【点睛】四点平行四边形存在性问题，初中阶段最稳、零漏解的通法，就是“对角线中点重合三分类”：四个点中，任选两个点为对角线，仅有种不重复的组合，分别用中点坐标公式列方程，横纵坐标解一致则为有效解，自动舍去无效情况，完全避免了按边分类的漏解、错解问题． 28. 如图1，在中，，， ，分别是， 边上的动点，将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点， ，其中点 始终落在边上． （1）如图2，当点恰好落在直线上，且 时，求的长； （2）如图3，当点 与点重合时，求的值； （3）当直角三角形时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得 ，由折叠的性质可得 ，，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果； （2）设，则，连接，作交于点，设，则，由勾股定理可得，从而得出，，由勾股定理可得，由题意可得点、关于对称，从而可得，进而得出，求解可得，从而可得，，即可得出结果； （3）分两种情况：当时，延长 交的延长线于点；当时，延长交于点，分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，， ， ∴，， ∴ ， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点， ， ∴ ，，， ∴， ∴ ， ∴， 如图，作交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴设，则， 如图，连接，作交于点， ， ∵， ∴设，则， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点， ，点 与点重合， ∴点、关于对称， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵直角三角形时， ∴当时，如图，延长 交的延长线于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $