精品解析：江苏省无锡市惠山区2025年九年级中考第一次模拟考试数学试题

2025年春学期九年级教学质量监测 数学试题 2025.03 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 4的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的概念是关键． 根据一个正数的平方根有两个，其中正的是算术平方根，由此即可求解． 【详解】解：4的算术平方根是， 故选：A ． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：C． 3. 下列运算中，计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则进行解答即可． 【详解】解：A．，故本选项错误； B．，故本选项正确； C．，故本选项正确； D．，故本选项正确． 故选A． 4. 下列字母中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．“H” 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B．“S”是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．“J”既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．“Y” 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 5. 一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意得：360°÷60°=6， 所以，该多边形为六边形. 故选：C. 6. 已知一组数据：34，34，32，37，31，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 34，32 B. 34，34 C. 35，32 D. 34，31 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键； 将数据从小到大重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为： 31，32，34，34， 37， ∵34出现次数最多， ∴这组数据的众数是34， ∵最中间的数是34， ∴这组数据的中位数为34， 故选：B． 7. 下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断．本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了平行四边形的性质． 【详解】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误； B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误； C、菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，所以C选项错误． D、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以D选项正确； 故选D． 8. 一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度（米）与时间（秒）之间的关系由二次函数描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（ ） A. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面 C. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D. 物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象和性质．将化为顶点式，得到当时，有最大值20，再令求解，即可解题． 【详解】解：， ， 当时，有最大值20， 当时， 解得或， 物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在4秒时返回地面， 故选：B． 9. 如图，中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为25，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，线段垂直平分线的性质以及圆周角定理等知识，连接由线段垂直平分线的性质可得，，由得四点共圆，得，从而得，设，则，由勾股定理得，由列方程求出的值即可得出结论． 【详解】解：：连接， ∵是斜边上的中线，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴, 故选：B． 10. 如图，中，，，，为边上一动点，且满足，点在边上，点在边上，连接，以下结论： ①若为的中点，则的最小值为；②若，则的最大值为；③若，则的值为4；④若，则当时，有最小值．其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形三线合一的性质和直角三角形的性质，结合等面积法可判断①结论；证明，设，利用相似三角形对应边成比例得到二次函数，利用配方法求最值，可判断②结论；利用相似三角形对应边成比例，可判断③结论；过点作于点，设，通过解直角三角形，得到，，利用勾股定理构造二次函数求最值，可判断④结论． 【详解】解：若为的中点，连接， ，为的中点， ， 在中，， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， , 即若为的中点，则的最小值为，①结论正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 设，则， ， ， ， 当，即时，有最大值为， 即若，则最大值为，②结论正确； ， ， ， ，, ， ， ， 即若，则的值小于4，③结论错误； 当时，如图，过点作于点， 设，则， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 令， 则， ， 当时，有最小值，则有最小值， 即当时，有最小值，④结论正确 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，二次根式的计算，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值问题等知识，掌握相关知识点是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 2025年总台春晚分会场花落无锡，无锡迅速成为国内外游客的旅行首选地．据统计，春节假期8天，无锡市共接待游客约15560000人次，15560000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13. 命题“如果，，那么”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据有理数乘法法则进行判断即可． 【详解】解：如果，，那么，是真命题， 故答案为：真． 14. 定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及对“方程”的理解，解题的关键在于理解“方程”．先求出的解，再结合“方程”概念求解，即可解题． 【详解】解：， 解得， 互为“方程”的两个方程解之和为2， 方程的一个“方程”解为， 方程的一个“方程”为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于，直角三角形的两个锐角互余，圆的内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径得，进而求得，再根据圆的内接四边形对角互补得，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转性质、等边三角形判定与性质以及全等三角形判定与性质．解题关键是利用旋转性质构造等边三角形和全等三角形，进而得出角的数量关系． 连接，由旋转性质知， ，．，得是等边三角形，再证由全等三角形的性质即可得出结论答案． 【详解】解：连接， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ，． ∴是等边三角形 ， ∴， 在和中， ∴． ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：30． 17. 如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合，延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，由菱形沿轴向上平移得到菱形，可得轴，，，，由点在反比例函数的图像上，可得，，，，，再由，得到，求出，最后根据平移前后两个菱形重叠部分的面积为． 【详解】解：延长交轴于，将菱形沿轴向上平移得到菱形，则点落在反比例函数的图像上，延长交于，则 ∵菱形沿轴向上平移得到菱形， ∴轴，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴平移前后两个菱形重叠部分面积为， 故答案为：． 18. 如图，正边长为1，为上一动点（不与A、C重合），过作，垂足为E，M为线段上一点，且，过作交于．设，．当时，__________；在点运动的过程中，关于的函数表达式为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，得到，结合等边三角形的性质，直角三角形的性质，得到，代入解答即可；延长交于点G，利用三角形相似的性质，直角三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】解：设， ∵正边长为1， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 延长交于点G， ∵正边长为1， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形相似的判定和性质，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查绝对值、零指数幂、乘方运算、平方差公式及合并同类项．按正确运算顺序是解题的关键． （1）先进行绝对值、指数运算，再加减； （2）先运用平方差公式展开，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题综合考查了一元二次方程与分式方程的解法．解题的关键点在于：一元二次方程通过通过判别式判断根的情况并运用公式求解；分式方程需通过去分母转化为整式方程，同时必须检验解是否使原分式有意义． （1）直接通过判别式判断根的情况并运用公式求解即可； （2）通过去分母转化为整式方程，再解方程并检验解的合理性即是否为增根． 【小问1详解】 解：， 二次项系数，一次项系数，常数项， 判别式， ，方程有两个不等实根，由求根公式得： 即； 【小问2详解】 解： 两边同乘得：， 展开并整理得， 移项后得， 将代入原方程分母和，均不为零， 故是方程的解． 21. 如图，四边形中，点在上，连接、，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据角的和与差得，然后利用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质得，，然后利用勾股定理求得，然后利用线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中 ； 【小问2详解】 解： ， ， 中， ． 22. “探险家”是历史上的探险先驱，他们的故事激励着无数人勇往直前．小明购买了“四大探险家”（马可·波罗、哥伦布、麦哲伦、大卫·利文斯通）的纪念卡片各1张，分别记为A卡、卡、卡、卡．小明打算将其中两张纪念卡片送给小刚，他将这些卡片背面朝上放在桌上（卡片背面设计完全相同）． （1）小刚随机抽取一张卡片，抽到A卡的概率是__________； （2）小刚先随机抽取一张卡片（不放回），然后再随机抽取第二张，求抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率，理解题意、掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）列表或画树状图，得到所有的等可能结果，然后找到满足条件的结果，再利用概率公式求概率即可求得答案． 【小问1详解】 因为一共4张卡片，随机抽取一张，每张卡片被抽取的概率是一样的，都是， 因此，抽到A卡的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 由树状图可知， 共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是一张是A卡，一张是B卡的结果有种， ∴（一张是A卡，一张是卡）． 23. 某中学准备开展春学期社会实践活动，学校给出：梅园，：鼋头渚，：锡惠公园，：拈花湾，共四个目的地．为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中对应扇形圆心角度数是__________； （4）已知该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图，求扇形的圆心角度数，用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用目的地的人数除以其所占的比例即可求解； （2）用总人数减去其它三个目的地的人数算出目的地的人数，补全条形统计图即可； （3）用乘以目的地的人数所占的比例即可； （4）用乘以该校最喜欢去鼋头渚的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生共有（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：目的地人数为（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：扇形统计图中对应的扇形圆心角度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 解：（人）， 答：根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数有人． 24. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）画出以为直径的圆以及的平分线，取其交点即可； （2）连接，，，过点作交于，根据勾股定理求得，根据含角的直角三角形的性质得，，再根据角平分线的定义知，再根据等边对等角知，所以，然后根据解直角三角形的知识得，，，最后根据直径、弦、围成的封闭图形的面积为即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：连接，，，过点作交于，如图所示： ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ，，，， ，， 到、的距离相等， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， 直径、弦、围成的封闭图形的面积为． 【点睛】本题考查了基本作图—角平分线，角平分线的定义，扇形的面积公式，解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 25. 如图，中，，点在上，过点，分别与、交于、E，是的切线交于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若与相切于点，的半径为3，，求的长． 【答案】（1）；理由见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是解答本题的关键． （1）连接OD．证明，得，得由切线的性质得，从而可得结论； （2）连接．证明四边形是正方形，得，设，则，，在中，由勾股定理可求出,从而可求出． 【小问1详解】 解：猜想：； 证明：连接OD． ， ． ， ， ， ， ∴ 是的切线， ， 【小问2详解】 解：连接． ∵与相切于点， ， ． 四边形是矩形． ， ∴四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， ， ， ∴， ． 26. 某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示： 种纪念品（件） 种纪念品（件） 合计金额（元） 第一次 第二次 （备注：，两种纪念品的进价保持不变） （1）求、两种纪念品的进价； （2）销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进、两种纪念品共件，且进货资金不超过元，将其中的件种纪念品和件种纪念品按进价销售，剩余的种纪念品按元/件，种纪念品按元/件销售．若第三次购进的件纪念品全部售出后，获得的最大利润为元，求的值． 【答案】（1）元/件，元/件 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式与一次函数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件，根据“两次购进纪念品的情况”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品，根据“进货资金不超过元”，列出一元一次不等式，解出的取值范围，设获得的利润为元，列出关于的一次函数，根据一次函数的性质确定出的值，进而可得到答案． 【小问1详解】 解：设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件， 由题意，得， 解得， 答：种的进价为元/件，种的进价为元/件； 【小问2详解】 解：设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品， 由题意，得， 解得：， 设获得的利润为元， ， ， ， 随的增大而减小， 时，的值最大，最大值为 由题意，得， 解得， 的值为． 27. 综合与实践：设计灯笼串悬挂点的方案 素材1：图1是圆形建筑物底部大厅，图2是底部大厅圆弧形顶部的平面示意图． 素材2：为欢度新春佳节，拟在图2的圆弧上设计一些灯笼串悬挂点．为了美观，要求每两个灯笼串悬挂点之间的距离不小于2米但不大于3米并且相等，同时，圆弧上符合条件处都要挂上灯笼串，且挂满后成轴对称分布． （1）任务1：求图2中圆弧所在圆的半径； （2）任务2：通过计算，设计灯笼串悬挂点的最大数量及最小数量的方案．（参考数据：，，） 【答案】（1）圆弧所在圆的半径为； （2）灯笼串悬挂点的最大数量的方案是7个；最小数量的方案4个． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，弧长公式． （1）根据垂径定理结合勾股定理求解即可； （2）先分最小和最大距离求得两个灯笼串悬挂点所对的圆心角，整个圆弧所对的圆心角，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，，设圆弧所在圆的半径为， 由题意得，，拱高， 由垂径定理得在同一直线上， ∴，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴圆弧所在圆的半径为； 【小问2详解】 解：设两个灯笼串悬挂点所对的圆心角为，两个灯笼串悬挂点的距离为， 由弧长公式得， ∵， 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设悬挂点的数量为， ∴， 由题意取整数， ∴，， ∵， 当时， ∴， ∴， ∴， 由题意取整数， ∴， 综上，灯笼串悬挂点的最大数量的方案是7个；最小数量的方案4个． 28. 已知二次函数的图像与轴交于、两点，且点，其对称轴为过点且平行于轴的直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线与二次函数图像交于点M、N，点为直线上一动点，点为二次函数图像上一动点（不与重合），连接、、，将沿直线翻折得到． ①当点在对称轴左侧，点与点重合时，求点的坐标． ②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②，，， 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出抛物线的对称轴为直线，求出a的值，然后把代入求出c的值即可得出抛物线的解析式； （2）①连接，交于点Q，根据折叠得出垂直平分，，设点E的坐标为，根据勾股定理得出，求出，根据中点坐标公式得出，求出直线的解析式为：，联立，求出点P的坐标为； ②先说明当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，为直角三角形，只能，一定是矩形的对角线，证明为等腰直角三角形，，过点B作于点H，过点P作于点G，证明，得出，，设点，，点，得出，，，，得出，分类讨论，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为过点且平行于轴的直线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为： 【小问2详解】 解：①连接，交于点Q，如图所示： 把代入得：， 解得：，， ∴，， ∴， 根据折叠可知：垂直平分，， 设点E的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：，， ∴此时点P的坐标为； ②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，为直角三角形， ∵沿直线翻折得到， ∴，， ∴当或时，或， ∴当或时，点E、P、或E、B、在同一条直线上， ∴当或时，以点、E、P、为顶点不可能组成四边形， ∴只能， ∴一定是矩形的对角线， ∴以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，， ∴， ∵，， ∴，， ∴为等腰直角三角形，， 过点B作于点H，过点P作于点G，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设点，，点， ∴， ，，， ∴， ∴， Ⅰ．当时，， 把代入得： ， 即， 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴， ∴此时点E与重合，不符合题意； 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； 当时，， 解得：（舍去）或（舍去）； 当时，，解得：（舍去）或， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； Ⅱ．当时，， 把代入得： ， 即， 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； 当时，，解得：或（舍去）， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴（舍去，不是直角三角形）； 当时，，解得：（舍去）或， ∴此时，，， 根据中点坐标公式得：， 解得：， ∴； 当时，，解得：（舍去）或（舍去）； 综上分析可知：点的坐标为：，，，． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，轴对称的性质，求二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，中点坐标公式，矩形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期九年级教学质量监测 数学试题 2025.03 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上，考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 4的算术平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，计算错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列字母中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的每个外角都等于60°，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 已知一组数据：34，34，32，37，31，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 34，32 B. 34，34 C. 35，32 D. 34，31 7. 下列结论中，菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 8. 一个物体从地面被竖直向上抛出，其上升高度（米）与时间（秒）之间的关系由二次函数描述．关于该物体的运动，下列选项正确的是（ ） A. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为40米，并在4秒时返回地面 B. 物体在2秒时到达最高点，最高高度20米，并在4秒时返回地面 C. 物体在2秒时到达最高点，最高高度为20米，并在2秒时返回地面 D. 物体在4秒时到达最高点，最高高度为40米，并在8秒时返回地面 9. 如图，中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若的面积为25，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 10 10. 如图，中，，，，为边上一动点，且满足，点在边上，点在边上，连接，以下结论： ①若为的中点，则的最小值为；②若，则的最大值为；③若，则的值为4；④若，则当时，有最小值．其中正确的为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 2025年总台春晚分会场花落无锡，无锡迅速成为国内外游客的旅行首选地．据统计，春节假期8天，无锡市共接待游客约15560000人次，15560000用科学记数法表示为__________ 12. 因式分解：______． 13. 命题“如果，，那么”是__________命题．（填“真”或“假”） 14. 定义：若两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：______ 15. 如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为__________ 16. 如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为__________． 17. 如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，点在轴上，且四边形为菱形．将菱形沿轴向上平移，使点落在反比例函数的图像上，则平移前后两个菱形重叠部分的面积为__________． 18. 如图，正边长为1，为上一动点（不与A、C重合），过作，垂足为E，M为线段上一点，且，过作交于．设，．当时，__________；在点运动过程中，关于的函数表达式为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19 （1）计算：； （2）化简：． 20. 解方程： （1）； （2）. 21. 如图，四边形中，点在上，连接、，，，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. “探险家”是历史上的探险先驱，他们的故事激励着无数人勇往直前．小明购买了“四大探险家”（马可·波罗、哥伦布、麦哲伦、大卫·利文斯通）的纪念卡片各1张，分别记为A卡、卡、卡、卡．小明打算将其中两张纪念卡片送给小刚，他将这些卡片背面朝上放在桌上（卡片背面设计完全相同）． （1）小刚随机抽取一张卡片，抽到A卡的概率是__________； （2）小刚先随机抽取一张卡片（不放回），然后再随机抽取第二张，求抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 某中学准备开展春学期社会实践活动，学校给出：梅园，：鼋头渚，：锡惠公园，：拈花湾，共四个目的地．为了解学生最喜欢哪一个目的地，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）扇形统计图中对应的扇形圆心角度数是__________； （4）已知该校共有学生人，根据调查结果估计该校最喜欢去鼋头渚的学生人数． 24. 如图，中，． （1）尺规作图：请在图的内作一点，使点在以为直径的圆上，且点到、的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则直径、弦、围成的封闭图形的面积为__________（如需画草图，请使用备用图） 25. 如图，中，，点在上，过点，分别与、交于、E，是的切线交于点． （1）试判断与位置关系，并说明理由； （2）若与相切于点，的半径为3，，求的长． 26. 某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示： 种纪念品（件） 种纪念品（件） 合计金额（元） 第一次 第二次 （备注：，两种纪念品的进价保持不变） （1）求、两种纪念品进价； （2）销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进、两种纪念品共件，且进货资金不超过元，将其中的件种纪念品和件种纪念品按进价销售，剩余的种纪念品按元/件，种纪念品按元/件销售．若第三次购进的件纪念品全部售出后，获得的最大利润为元，求的值． 27. 综合与实践：设计灯笼串悬挂点的方案 素材1：图1是圆形建筑物底部大厅，图2是底部大厅圆弧形顶部的平面示意图． 素材2：为欢度新春佳节，拟在图2的圆弧上设计一些灯笼串悬挂点．为了美观，要求每两个灯笼串悬挂点之间的距离不小于2米但不大于3米并且相等，同时，圆弧上符合条件处都要挂上灯笼串，且挂满后成轴对称分布． （1）任务1：求图2中圆弧所在圆的半径； （2）任务2：通过计算，设计灯笼串悬挂点的最大数量及最小数量的方案．（参考数据：，，） 28. 已知二次函数的图像与轴交于、两点，且点，其对称轴为过点且平行于轴的直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点作轴的平行线与二次函数图像交于点M、N，点为直线上一动点，点为二次函数图像上一动点（不与重合），连接、、，将沿直线翻折得到． ①当点在对称轴左侧，点与点重合时，求点的坐标． ②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $