精品解析：甘肃白银市2026年九年级第一次诊断考试数学试卷

白银市2026年九年级第一次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列有理数中，最大是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 根据地区生产总值统一核算结果，2025年，白银市地区生产总值为789.23亿元，按不变价格计算，比上年增长，其中数据789.23亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十一边形 6. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析不正确的是（ ） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超6000亿元； ④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超1.5万亿元． A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. 只有② 9. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（ ） A. 12，9 B. 6，6 C. 6，3 D. 12，3 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11 因式分解：______． 12. 当___________时，分式与的值互为相反数． 13. 若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是_______________． 14. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，沿对角线AC翻折，点B的对应点为，与AD交于点E，此时CDE恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为________． 16. 如图，四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第2个正方形，再以正方形的对角线为边作第3个正方形……如此下去，则第5个正方形的边长为______． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 化简：． 20. 如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求残片所在圆的半径． 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 22. 兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 13 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶长宽比 3.74 b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 a 1.95 c 0.0669 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______，______； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）； （3）现有一片长13，宽6.6的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果树、荔枝树中的哪种树？并给出你的理由． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与y轴相交于点C，点D与点C关于x轴对称． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出：不等式的解集是______． （3）求的面积． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，点是上的点，点为的中点.连接，延长到点，且有． （1）求证：是的切线； （2）若点为的中点，，求的长． 26. 在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点． （1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接． ①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是_______，位置关系是_______； ②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形是中点，连接，求的最小值． 27. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市2026年九年级第一次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列有理数中，最大的是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 比较有理数的大小方法比较大小可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的是1． 故选A． 2. 根据地区生产总值统一核算结果，2025年，白银市地区生产总值为789.23亿元，按不变价格计算，比上年增长，其中数据789.23亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式（，n为整数）求解即可． 【详解】解：1亿， ∴789.23亿． 3. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，据此即可解答，解题的关键是掌握：一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 5. 从多边形的一个顶点出发的对角线一共有7条，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十一边形 【答案】C 【解析】 【分析】从边形的一个顶点出发，除去自身和相邻两个顶点，一共可以引出条对角线，据此求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得， 解得， 因此这个多边形是十边形． 6. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，点B在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角板的相关角的度数和平行线的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，连接，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由，，得，又四边形内接于，所以，则，然后通过圆周角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 随着人工智能技术的不断突破，人形机器人行业备受关注，未来行业将持续保持高速发展．如图是某机构对2025～2030年全球人形机器人市场规模预测的数据： 根据预测数据，下列分析不正确的是（ ） ①2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长； ②2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年增大； ③2025～2030年全球人形机器人市场总规模超6000亿元； ④若保持与2030年相同的年增长率，到2032年全球人形机器人市场规模将超1.5万亿元． A. ②③ B. ②③④ C. ①③④ D. 只有② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查条形统计图．根据条形统计图逐项分析即可． 【详解】解：根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模逐年增长，故①正确； 根据增长率的折线统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场规模增长率逐年降低，故②错误； 根据场规模条形统计图可知，2025～2030年全球人形机器人市场总规模为：（亿元），故③正确； 2032年全球人形机器人市场规模为：（亿元），故④正确． 故选：D． 9. 在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在矩形中，，，对角线，动点P从点C出发，沿运动．设点P的运动路程为x（单位：cm），的面积为y（单位：）．若y与x的对应关系如图所示，则图中a，b的值分别为（ ） A. 12，9 B. 6，6 C. 6，3 D. 12，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求出当点P在上运动时的面积即a的值，再根据点沿运动到D时的路程来求b的值即可． 【详解】解：当点P在上运动时， ∴， 由图知，点P沿运动到D时，路程为． ∴， ∴． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 12. 当___________时，分式与的值互为相反数． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了相反数和解分式方程，利用相反数的性质列出方程并熟练解分式方程是解题的关键．利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：分式与的值互为相反数， 去分母，得∶， 解得：． 经检验，是分式方程的解． 故答案为∶0． 13. 若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的系数判断函数图象所在象限，再依据各象限内函数的增减性以及点的横坐标正负，比较纵坐标的大小．本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系以及函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小 ∵ ∴点在第一象限，点在第三象限 ∴， ∴ 故答案为：． 14. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，如解图，根据题意，易得，，，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 15. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，沿对角线AC翻折，点B的对应点为，与AD交于点E，此时CDE恰为等边三角形，则重叠部分（即图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知先证明△AB'E是等边三角形，则有AE=AB'=4，可得阴影部分的面积和△CDE的面积相等，求出△CDE的面积即可求解． 【详解】解：∵平行四边形ABCD，AB=4， ∴AB=CD=4， 由翻折可知AB=AB'， ∵△CDE恰为等边三角形， ∴∠D=∠DEC=60°， ∵AB∥CD， ∴∠B'AE=∠D=60°， ∵∠AEB'=∠CED， ∴△AB'E是等边三角形， ∴AE=AB'=4， ∴阴影部分的面积和△CDE的面积相等， 在△EDC中，过点C作CH⊥ED交点H， ∵∠D=60°，ED=4， ∴DH=2， ∴CH=， ∴S=×4×=， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形、平行四边形、图形翻折，熟练掌握等边三角形的性质，图形翻折的性质，此题证明△B'EA是等边三角形是解题的关键． 16. 如图，四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第2个正方形，再以正方形的对角线为边作第3个正方形……如此下去，则第5个正方形的边长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的对角线等于边长的倍，进行依次求解，然后根据指数的变化求出第n个正方形的边长即可． 【详解】解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴第二个正方形的边长， 第三个正方形的边长， 同理：第n个正方形的边长， ∴第5个正方形的边长为． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先进行乘法运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查分式的运算，掌握因式分解，以及分式的运算法则是解题关键． 20. 如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求残片所在圆的半径． 【答案】（1）见解析 （2）7.5 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆心的位置的确定，勾股定理： （1）作的垂直平分线交的延长线于点O，即可； （2）连接，设圆的半径为r，则，，再由垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，点O即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接， 设圆的半径为r，则，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即圆半径为 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； 【小问2详解】 将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 22. 兰州白塔山，是兰州市的文化地标，建于元代，重建于明代．白塔居白塔寺中，塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽．白塔与兰州黄河铁桥构成雄浑壮丽的画面，成为兰州市的象征之一．某校九年级“综合与实践”小组开展了“白塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如表不完整的项目报告： 测量对象 兰州白塔山塔高 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神 测量工具 无人机、测角仪等 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得白塔的顶端A的俯角为， 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求白塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】白塔的高度约为． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定与性质，延长交的延长线于点，则，，根据解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：白塔的高度约为． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】 同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：），宽x（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 b 4.0 0.0424 荔枝树叶的长宽比 a 1.95 c 00669 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______，______； （2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是______（填序号）； （3）现有一片长13，宽6.6的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果树、荔枝树中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1）， （2）② （3）这片树叶更可能来自荔枝树 【解析】 【分析】本题考查数据分析，涉及平均数、中位数、众数和方差的计算与理解，以及利用统计量进行判断． （1）根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 排序后：3.4， 3.5， 3.6， 3.6， 3.7， 3.8， 3.8， 4.0， 4.0， 4.0 中位数 ， 荔枝树叶的长宽比中，2.0出现次数最多，众数， 故答案：， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴B同学说法合理． 故答案为：②； 【小问3详解】 解：树叶的长宽比为， ∵芒果树叶长宽比的平均数3.74、中位数3.75、众数4.0均远大于1.97 ;荔枝树叶长宽比的平均数1.91、中位数1.95、众数2.0均接近1.97 ∴这片树叶更可能来自荔枝树． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，，与y轴相交于点C，点D与点C关于x轴对称． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出：不等式的解集是______． （3）求的面积． 【答案】（1）， （2）x＜－1 （3）3 【解析】 【分析】（1）先把B坐标代入中求得m值，进而求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点A坐标，再由A、B两点的坐标可得k、b的值； （2）根据图象，求得在x轴上方且一次函数图象位于反比例函数的图象上方部分的横坐标的取值范围即可求解； （3）先求出点C、D坐标，再利用三角形面积公式可求得△ABD的面积． 【小问1详解】 解：将代入中，得：m=－2， ∴反比例函数的解析式为； 将代入中，得：n=2，∴A（－1，2）， 将A（－1，2）、代入中，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当y=0时，x=1，则函数与x轴的交点坐标为（1，0）， 由图可知，当x＜－1时，， 故答案为：x＜－1； 【小问3详解】 解：对于，当x=0时，y=1，∴C（0，1）， ∵点D与点C关于x轴对称， ∴D（0，－1），又A（－1，2）、 ∴△ABD的面积为 =3． 【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，坐标与图形，掌握图象交点的坐标满足两个函数解析式并会利用数形结合思想求解不等式的解集是解题的关键． 25. 如图，是的外接圆，是的直径，点是上的点，点为的中点.连接，延长到点，且有． （1）求证：是的切线； （2）若点为的中点，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、切线的判定和弧长的计算，在圆中构造合适的辅助线是解题的关键． （1）首先根据圆心和圆上一点构造连接半径证垂直，利用圆周角定理进行等角转换，得到角即可证明； （2）首先连接，结合直角三角形斜边的中线是斜边的一般得到等边三角形，利用等边三角形进行角度和线段转化，得到的圆心角为，半径为3，即可求得的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴的长为． 26. 在矩形中，点是射线上一动点，连接，过点作于点，交直线于点． （1）当矩形是正方形时，以点为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接． ①如图1，若点在线段上，则线段与之间的数量关系是_______，位置关系是_______； ②如图2，若点在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由； （2）如图3，若点在线段上，以和为邻边作平行四边形是中点，连接，求的最小值． 【答案】（1）①AE=EH，AE⊥EH；②成立，理由见详解；（2）GM的最小值为． 【解析】 【分析】（1）①由题意易得四边形BEHF是平行四边形，进而问题可求解；②由题意易得△ABE≌△HFC，进而可证四边形BEHF是平行四边形，然后问题可求解； （2）连接EF，由题意易得点C、E、G、F四点共圆，然后可得GM为⊙M的半径，进而只需求出EF的最小值即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴∠FBC+∠AEB=∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠FBC=∠EAB， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE=CF，BF=AE， ∵△是等腰直角三角形， ∴CF=FH，∠HFC=90°， ∴FH∥BE，BE=FH， ∴四边形BEHF是平行四边形， ∴BF=EH，BF∥EH， ∴EH=AE，∠FBC=∠HEC， ∴∠HEC+∠AEB=90°， ∴AE⊥EH； 故答案EH=AE，AE⊥EH； ②成立，理由如下：如图， 同理①可易证四边形BEHF是平行四边形， ∴BF=EH，BF∥EH， ∴EH=AE，∠FBC=∠HEM， ∴∠HEM+∠AEB=90°， ∴AE⊥EH； （2）如图，连接EF， ∵， ∴， ∴点C、E、G、F四点共圆， ∵四边形是平行四边形，M为BH的中点， ∴M是EF的中点， ∴M是四边形GECF外接圆圆心，EF为⊙M的直径，此时GM的最小值为⊙M半径的最小值， 设，则， 由②可得∠CBF=∠BAE，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴当时，y取最小值， ∴EF的最小值为， ∴GM的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质、二次函数的性质、正方形与矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的基本性质、二次函数的性质、正方形与矩形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 27. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． （3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）最大值为4 【解析】 【分析】（1）中把点、的坐标代入函数解析式列出关于、的方程组，通过解方程组可以求出它们的值； （2）根据图形得到：，即，利用三角形的面积公式求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点的横坐标； （3）过点作轴交直线于点，将转化为，则，再将该线段和用关于或的二次多项式表示，再利用配方法求出最值即可． 【小问1详解】 解：把和代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， 即， 令，则， 解得：或3， ， ， ， ， ， 点为第四象限抛物线上的动点， ， 当， 解得， 或． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入：， 解得：， 直线的解析式为， ，， ， 过点作轴交直线于点，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，，， ，， ，， ，， ， ， 当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形面积公式，二次函数与线段和最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $