精品解析：甘肃白银市2025年九年级第一次诊断考试数学试卷

白银市2025年九年级第一次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 2. 若，则的余角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是U型磁铁示意图，它左视图是（ ） A B. C. D. 4. 浅草芳草凉，五月青山暖，正是出游好时节．“五一”假期，甘肃文旅经济持续升温，全省各地共接待游客2510万人次．数据“2510万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 6. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（ ） A. B. C. D. 8. 白银大碗面中含有丰富的蛋白质和碳水化合物，想要成就一碗香喷喷的，美味的大碗面，靖远牛肉，景泰面粉，平川胡椒，会宁蒜苗缺一不可．为了了解外地游客对大碗面口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 若到白银吃大碗面的人数为，则觉得口味“一般”的人数大约为 9. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11 分解因式__________． 12. 如果单项式与是同类项，那么______． 13. 若点均在一次函数的图象上，如果，那么________．（选填“”或“”） 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为______． 15. 马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在上，点D在上，若，，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为________．（结果保留） 16. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是__________米． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 解不等式组： 20. 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了他提出的有关圆的一个引理，如图，已知是一个半圆的直径，点O是圆心，D是弧上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． ①过点B作半圆的切线； ②过点D作半圆切线与交于一点T； ③过点D作的垂线，与交于点E； ④连接，与交于点F． （1）尺规作图；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）完成的图，直接写出线段与的数量关系． 21. 小华利用假期的时间到甘肃旅游，众多的旅游景点让小华难以抉择，于是小华将扑克牌中“A”的四种花色分别记为莫高窟（红桃A），嘉峪关（梅花A），敦煌雅丹国家地质公园（方片A），崆峒山（黑桃A），随后将这四张扑克牌正面朝下，从中随机抽取一张，作为自己的第一站旅游地点． （1）小华抽中敦煌雅丹国家地质公园的概率为________； （2）小华发现他的朋友也正在甘肃旅游，且他的朋友明天将会从莫高窟、嘉峪关、敦煌雅丹国家地质公园这三个景点中任意选择一个游览．若他们按照各自的旅游线路进行游览，请用列表或画树状图的方法，求小华和他的朋友明天去同一个景点的概率． 22. 某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 四，解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校在全校范围内开展了安全知识大赛，随机从七、八年级各抽取10名参赛学生的成绩（百分制）进行统计，部分信息如下： a．抽取八年级参赛学生成绩频数分布直方图如图（每组含最小值，不含最大值）： b．抽取七年级参赛学生的成绩为：，，，，，，，，，． c．抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数如下表： 平均数 中位数 七年级 84.1 八年级 84 83.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为______； （2）若该校八年级学生共有1000人，估计在本次测试中全校八年级学生成绩在80分及以上的人数； （3）请你结合以上数据对七、八年级学生的安全知识大赛成绩做出合理的评价． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 25. 如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为，时，求的长． 26. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 27. 如图1，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点E，连接，交于点F，已知点D到x轴的距离与的长度相等，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点P的坐标； （3）如图2，连接交于点G，设和的面积分别为，求的最大值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市2025年九年级第一次诊断考试 数学试卷 注意事项： 1．全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解． 【详解】解：因为-+＝0， 所以-的相反数是． 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键． 2. 若，则的余角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余角的定义求解即可． 【详解】∵， ∴∠A的余角为：90°-∠A=90°-47°=43°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了余角的定义，如果两个角的和等于90°，那么称这两个角互余，称一个角是另一个角的余角，熟记余角的概念是解题的关键． 3. 如图，这是U型磁铁示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：左视图是从左边看得到的图形．据此解答即可． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形中下部有一条横向的虚线． 故选：A． 4. 浅草芳草凉，五月青山暖，正是出游好时节．“五一”假期，甘肃文旅经济持续升温，全省各地共接待游客2510万人次．数据“2510万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：2510万， 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 6. 如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据等边三角形的性质可得的半径，进而可得出结论． 【详解】连接，， ∵多边形是正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长是12， ∴， ∴的半径是2 故选：C 【点睛】本题考查是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键． 7. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度和时间x（分钟）变化的部分数据． 时间x/分钟 6 10 15 … 时间 28 40 55 … 则加热18分钟时水的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，设y与x的解析式为，知：当时，； 当时，，将两组数据分别代入解析式得到关于k，b二元一次方程组，求解可得y与x的解析式，然后将代入解析式求解即可．掌握用待定系数法确定y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】解：设y与x的解析式为， 由表格数据知：当时，； 当时，． ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为， 当时， （）， ∴加热18分钟时水的温度是． 故选：B． 8. 白银大碗面中含有丰富的蛋白质和碳水化合物，想要成就一碗香喷喷的，美味的大碗面，靖远牛肉，景泰面粉，平川胡椒，会宁蒜苗缺一不可．为了了解外地游客对大碗面口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意；E不清楚，五者任选其一）．根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 若到白银吃大碗面的人数为，则觉得口味“一般”的人数大约为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图信息相关联，由“C满意”的人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据口味“B一般”的人数占比，即可求得到白银吃大碗面的人数为人中，觉得口味“B一般”的大约人数，从而判断D．掌握用样本估计总体数量等知识是解题的关键． 【详解】解：由条形统计图知：选择“C满意”的人数最多，故A的结论正确，不符合题意； 抽取的人数中，口味“B一般”的人数为人，其占比为， ∴抽取的总人数为：（人）， ∴抽样调查的样本容量是，故B错误，符合题意； ∵“A不满意”的人数为， ∴样本中“A不满意”的百分比为，故C正确，不符合题意； ∵（人）， ∴到白银吃大碗面的人数为人中，觉得口味“B一般”的大约人数为人．故D正确，不符合题意． 故选：B． 9. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为、，斜边为， ∵图中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为， ∴， ∵小正方形的面积为， ∴， ∴， ∵将这四个直角三角形拼成图， ∴图2中最大的正方形的面积为：． 故选：A． 10. 如图①，在中，，D是边的中点，点P从的顶点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D，在运动过程中，线段的长度y随时间x变化的函数图象如图②所示，Q是曲线部分的最低点，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，等边三角形的判定与性质，中位线的性质，含30°的直角三角形等知识．解题的关键在于从函数图象上获取信息． 由图象知，，如图③，过点作，则，此时，最短，，，是等边三角形，点是的中点，是的中位线，进而可求的值． 【详解】解：由函数图象可知，当时，；当时，最小，当时，， ，， 如图③，过点作，则，此时，最短， ， ∴ ，， ∴， ， 是等边三角形， 点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解﹣综合运用提公因式与公式法， 先提取公因数2，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 12. 如果单项式与是同类项，那么______． 【答案】3. 【解析】 【分析】根据同类项的概念相同字母的指数也相同即可得出指数是几再代入求值即可. 【详解】解：由同类项的概念相同字母的指数也相同，可得，， 所以， 故填：3. 【点睛】本题考查同类项的概念及代入求值，熟记同类项的概念是正确解题的关键. 13. 若点均在一次函数的图象上，如果，那么________．（选填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为： 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点A作于点H，连接．若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据菱形面积的计算公式求得，再利用直角三角形斜边中线的性质即可求得答案． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点； 在中，为的中点 ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，根据菱形的面积公式：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键． 15. 马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在上，点D在上，若，，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的求解，熟记扇形面积公式是解题的关键；根据扇形面积的计算公式计算即可 【详解】， ， ， ， 该马面裙裙面的面积， 故答案为：； 16. 有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数表达式，再求出点S和点T的坐标，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴点K的坐标是， 把代入得， 解得， ∴， ∵门高度为1.5米，， ∴点S和点T的纵坐标均为1.5， 当时，， 解得，， ∴ 则， 即横梁的长度是米． 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、求点的坐标，准确求出点S和点T的坐标是解题的关键． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法，然后将二次根式化为最简二次根式，最后进行加减运算即可．掌握相应的运算法则、性质及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】原式先将括号内的进行通分，再把除法转换为乘法，进行约分即可得到结果． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 19. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是先分别求出各个不等式的解集，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 20. 阿基米德是古希腊的数学家、物理学家在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了他提出的有关圆的一个引理，如图，已知是一个半圆的直径，点O是圆心，D是弧上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程． ①过点B作半圆的切线； ②过点D作半圆的切线与交于一点T； ③过点D作的垂线，与交于点E； ④连接，与交于点F． （1）尺规作图；（保留作图痕迹，不写作法） （2）根据（1）完成的图，直接写出线段与的数量关系． 【答案】（1）见详解 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，切线的判定和性质，切线长定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据要求作出图形． （2）利用切线长定理，相似三角形定理证明即可． 【小问1详解】 图形如图所示： 【小问2详解】 结论：． 理由：如图，连接并延长交于点C，连接， ∵，都是的切线， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 21. 小华利用假期的时间到甘肃旅游，众多的旅游景点让小华难以抉择，于是小华将扑克牌中“A”的四种花色分别记为莫高窟（红桃A），嘉峪关（梅花A），敦煌雅丹国家地质公园（方片A），崆峒山（黑桃A），随后将这四张扑克牌正面朝下，从中随机抽取一张，作为自己的第一站旅游地点． （1）小华抽中敦煌雅丹国家地质公园的概率为________； （2）小华发现他的朋友也正在甘肃旅游，且他的朋友明天将会从莫高窟、嘉峪关、敦煌雅丹国家地质公园这三个景点中任意选择一个游览．若他们按照各自的旅游线路进行游览，请用列表或画树状图的方法，求小华和他的朋友明天去同一个景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率计算 （1）根据概率公式计算即可； （2）选择列表或画树状图法计算即可． 【小问1详解】 P（抽中敦煌雅丹国家地质公园）． 【小问2详解】 列表如下： 红桃 梅花 方片 红桃 （红桃，红桃） （红桃，梅花） （红桃，方片） 梅花 （梅花，红桃） （梅花，梅花） （梅花，方片） 方片 （方片，红桃） （方片，梅花） （方片，方片） 黑桃 （黑桃，红桃） （黑桃，梅花） （黑桃，方片） 由列表可得，共有12种等可能的结果，其中抽到相同景点的结果有3种， ∴P（小华和他的朋友明天去同一个景点）． 22. 某学习小组在物理实验结束后，利用实验装置探究几何测量问题． 课题 探究物理实验装置中的几何测量问题 成员 组长：xxx 组员：xxx，xxx，xxx 实验工具 测角仪，皮尺，摄像机等 方案设计 方案一 方案二 测量方案 示意图 （已知） （已知） 说明 点P为摄像机的位置，小车从同一斜面上相同高度处由静止开始沿斜面下滑，点A为小车从斜面到达水平面的位置，点C为木块的位置． 测量数据 米，， ． 米，， ． 请选择其中一种方案计算出摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离.（结果精确到0.1米，参考数据） 【答案】摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，把实际问题抽象为数学问题是关键； 选择方案一：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 选择方案二：在中，有；在中，有，由此建立方程，求得，即可求得的长； 【详解】解：选择方案一：在中，有； 在中，有， 即：， ， （米）； 选择方案二：在中，有； 在中，有， 即， ， （米）； 答：摄像机机位P到小车行驶轴线的竖直距离为米． 四，解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校在全校范围内开展了安全知识大赛，随机从七、八年级各抽取10名参赛学生的成绩（百分制）进行统计，部分信息如下： a．抽取八年级参赛学生成绩频数分布直方图如图（每组含最小值，不含最大值）： b．抽取七年级参赛学生的成绩为：，，，，，，，，，． c．抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数如下表： 平均数 中位数 七年级 84.1 八年级 84 83.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为______； （2）若该校八年级学生共有1000人，估计在本次测试中全校八年级学生成绩在80分及以上的人数； （3）请你结合以上数据对七、八年级学生的安全知识大赛成绩做出合理的评价． 【答案】（1）85.5 （2）700人 （3）七年级学生的安全知识大赛成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义解答即可； （2）用1000乘以样本中成绩在80分及以上的人数所占的百分比即可； （3）结合中位数和平均数的意义分析即可． 【小问1详解】 解：七年级参赛学生的成绩排序为：70，77，78，83，85，86，86，88，92，96， 第5个和第6个数据为85和86， 中位数． 故答案为：85.5； 【小问2详解】 解：（人， 答：估计在本次测试中全校八年级学生成绩在80分及以上的人数为700人； 【小问3详解】 解：七年级学生的安全知识大赛成绩较好， 理由：七年级学生的安全知识大赛成绩的平均数和中位数均高于八年级， 七年级学生的安全知识大赛成绩较好． 【点睛】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，平均数，中位数，用样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题． （2）根据求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，将点A坐标代入得，， 所以反比例函数的解析式为． 将点A坐标代入得，， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 因为，且轴于点D， 则将代入得，， 所以点B的坐标为． 同理可得，点C的坐标为． 又因为点A坐标为， 所以． 25. 如图，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为，时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，得出，根据得出，角平分线的定义得出，等量代换得出，进而得出，即，即可得证； （2）连接，得，则，进而证明，得出，解，得出，则，进而根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 连接，得， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 已知正方形，为对角线上一点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则______． 【模型迁移】 （3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）①为等腰三角形，理由见解析；② （3）．理由见解析 【解析】 【分析】（1）先判断出，，进而判断出，进而得出结论； （2）①根据（1）证明出；②过点作于，先求出，，进而求出，，最后用勾股定理即可求出答案； （3）先判断出，由（1）知，由（2）知，即可判断出结论． 【详解】解：（1）∵是正方形的对角线， ，， ， ∴， ； （2）①为等腰三角形，理由： ∵四边形是正方形， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； ②如图，过点作于， ∵四边形为正方形，点为的中点，， ，，， 由①知，， ， ， ∵，， ∴， ， ∴， ， ， ， 在中，； （3），理由如下： ， ， 在中，， ， 由（1）知，， 由（2）知，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理和三角函数是解题的关键． 27. 如图1，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点E，连接，交于点F，已知点D到x轴的距离与的长度相等，设点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点P的坐标； （3）如图2，连接交于点G，设和的面积分别为，求的最大值 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点，，得出，根据，点D为抛物线顶点，得出，根据点D到x轴的距离与的长度相等，得出，求出结果即可； （2）设点P的坐标为，求出，直线的表达式为，得出，根据，求出结果即可； （3）过点P作轴交的延长线于点H，证明，得出，根据点，求出，得出，说明，根据二次函数的性质，求出最值即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 令，则，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， ∴， ∵，点D为抛物线顶点， ∴， ∵点D到x轴的距离与的长度相等， ∴， ∴. ∴此抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的表达式为， 设点P的坐标为， 令，则， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴交的延长线于点H， 由题知，， ∵轴， ∴， ∴， 由（1）可得，，由（2）可得，直线的表达式为，点， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $