精品解析：黑龙江绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试数学试卷

绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试卷 高二数学 （适用地区：黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古、新疆、西藏、宁夏、甘肃、青海） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 3. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 4. 在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 7. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴对称点是 D. 点关于原点的对称点是 10. 随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值 C. 若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2 D. 若等差数列，则三点、、共线 12. 在正三棱柱中，，则（　　） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 与侧面所成角正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 抛物线的准线方程为______. 14 若．则___________．（用数字作答） 15. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________． 16. 已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 某机构为了调查平衡力好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 19. 已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 20. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角的正弦值． 21. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绥化市绥棱县第一中学2025-2026学年度第二学期开学测试卷 高二数学 （适用地区：黑龙江、吉林、辽宁、内蒙古、新疆、西藏、宁夏、甘肃、青海） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 2. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.5 【答案】D 【解析】 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 3. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的应用判断选项. 【详解】因为，所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为与有关或有的把握认为与有关． 4. 在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用坐标法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， ∴， ∴， 即异面直线EF与所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果. 【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，. 故选：B 6. 已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（ ） A. 1或-4 B. -1或4 C. -7或3 D. -3或7 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 7. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求值. 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 8. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，若点，则下列叙述正确的有（ ） A. 点关于轴的对称点是 B. 点关于平面的对称点是 C. 点关于轴的对称点是 D. 点关于原点的对称点是 【答案】ABD 【解析】 【详解】由空间直角坐标系对称性知：点关于轴的对称点是， 点关于平面的对称点是， 点关于轴的对称点是， 点关于原点的对称点是. 所以选项ABD正确，选项C错误. 10. 随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项分布的定义，概率及方差公式计算判断各个选项. 【详解】由概率分布直观图可知可以取0，1，2，3，4，所以，故A项错误； 又，所以，故B项正确； 又，所以，故C项错误； ，故D项正确． 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值 C. 若等差数列前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2 D. 若是等差数列，则三点、、共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列及等差数列前n项和的性质，逐项分析判断. 【详解】A项，时，， 时， 时，，所以，不是等差数列； B项，由已知可得，，又 所以，，.所以，有最大值； C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为，所以； D项，设三点分别为A，B，C，，则，，. 则，，，所以三点共线. 故选：BCD. 12. 在正三棱柱中，，则（　　） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 与侧面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示，对各选项逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，依题意，取的中点的中点，连接，如图， 易得，又面，所以面， 又面，所以， 又是正三角形，是的中点，故，则两两垂直， 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 则， 故， 则， 又，所以直线与所成的角为，故正确； 对于B，又， 则， 又，则直线与所成的角不为，故B错误； 对于C，易得平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，取的中点，连接， 因为面，面，所以， 又是正三角形，是的中点，故， 因为面，所以面， 易得的坐标为， 所以侧面的一个法向量为， 所以与侧面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于合理建立空间直角坐标系，熟练掌握向量法求线线角，线面角即可. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 抛物线的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是 考点：抛物线方程 14. 若．则___________．（用数字作答） 【答案】4960 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项公式，进而得到的代数式，再结合组合数运算性质即可计算得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以由题可得． 15. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知列出不等式组，求解不等式组，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 故答案为：. 16. 已知书架的第一层随机摆放了1本语文书，2本不同的数学书，3本不同的英语书.现从中抽取2本书，则在已经确定第一本抽取的是语文书的条件下，第二本抽取的是数学书的概率为__________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】依题意，抽取第二本书有5个不同结果，第二本抽取的是数学书有2个结果， 所以所求概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 某机构为了调查平衡力的好坏与心脏病风险是否有关联（无法单脚站立10秒者，被认为平衡力差，反之，被认为平衡力好），随机邀请了1000名平衡力好和1000名平衡力差的人作为研究对象，在跟踪了这2000人在10年内的健康情况后，统计数据，得到受试者中患心脏病的频率为12.5%，平衡力差的人中患心脏病的频率是平衡力好的人中患心脏病的频率的1.5倍. （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 平衡力差 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断平衡力的好坏与心脏病风险有关联？ 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联 【解析】 【分析】（1）由题意计算填写可得； （2）由卡方的计算可得. 【小问1详解】 列联表如下． 单位：人 平衡力 心脏病 合计 未患心脏病 患心脏病 平衡力好 900 100 1000 平衡力差 850 150 1000 合计 1750 250 2000 【小问2详解】零假设为：平衡力好坏与心脏病风险没有关联． 根据列联表中的数据，经计算得到． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为平衡力的好坏与心脏病风险有关联． 18. 袋中有除颜色外均相同的6个红球，7个黑球，若从中任取3个． （1）求恰有1个红球的概率； （2）设3个球中，黑球的个数为，求的分布列及数学期望； （3）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为黑色的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型结合组合数计算即可求解； （2）依题意求出随机变量的所有可能取值并求出每个取值相应的概率即可求分布列，再由数学期望公式即可计算求解数学期望； （3）先求出从袋中任取3个球为一种颜色的事件的概率、从袋中任取3个球都为黑色的事件的概率，再由条件概率定义即可计算求解. 小问1详解】 设从袋中任取3个球恰有1个红球为事件， 则； 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 ． 【小问3详解】 设从袋中任取3个球为一种颜色为事件，则， 设从袋中任取3个球都为黑色为事件，则， 则所求概率． 19. 已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法即可得解； （2）利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 当时， 满足上式， 所以； 小问2详解】 因为， 所以， 所以. 20. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求二面角. 【小问1详解】 如图，连接．因为侧面为菱形，且， 所以为等边三角形，所以． 又因为平面平面， 平面， 平面平面， 所以平面ABC． 【小问2详解】 由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点， 分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz． 不妨设，由题可知，，，，． 由，可得． 设平面的法向量为， 而，，则有, 取，得． 设平面的法向量为， 而，， 则有， 取，得． 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为． 21. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程； （2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得； （3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； 【小问2详解】 设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故， 所以； 【小问3详解】 直线AB的斜率为， 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $