第二十六章 反比例函数 单元练习-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章 反比例函数 一、单选题 1．已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象具有下列特征：在每个象限内，的值随的增大而增大，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 4．若正比例函数（为常数，）与反比例函数（为常数，）图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．若，则反比例函数的图象分布在（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 6．如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．4 7．下列关于反比例函数的描述中，正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．点在反比例函数的图象上 C．当时，或 D．若点、都在反比例函数的图象上，则 8．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为，剪去部分的面积为 ，若，则关于的函数图象是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图是反比例函数的图象，那么实数m的取值范围是 ________． 10．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，那么k值是______． 11．位于第一象限的点在直线上，过点作轴，交双曲线于点，若点与点关于轴对称，则点的坐标为__________． 12．蓄电池的电压为定值．使用此电源时，用电器的电流与电阻之间的函数关系如图所示．若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，原电路中已经有一个的定值电阻，则至少应再串联一个_______的电阻才可以保证电路安全． 13．如图，点是轴上一点，过点作轴交反比例函数于点，点是轴上的两点，，若四边形的面积是，则的值为 _______ ． 14．如图矩形的边与y轴平行，顶点A和C的坐标分别为，，反比例函数的图象同时经过点B与点D，则k的值为____． 三、解答题 15．已知和是同一个反比例函数图象上的两个点． （1）求m的值； （2）画出这个反比例函数的图象； （3）将A，B两点标在函数图象上． 16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 17．如图，反比例函数的图象经过点，连接，直线垂直平分线段交轴正半轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)直线与（2）中所作的角平分线相交于点，连接．求证：． 18．某公园“水上滑梯”侧面图，建立平面直角坐标系，其中段可看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米，其中点，，均在坐标轴上，且轴． (1)求的值； (2)求出口点到的距离的长； 19．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点D为点B关于所在直线的对称点，反比例函数的图像经过点D． (1)求证：四边形为菱形； (2)求反比例函数的表达式． 20．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上． 21．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点．    (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是x轴上的点，若的面积等于6，则点P的横坐标为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】此题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．设反比例函数的解析式为把点代入即可求出的值，然后把代入解析式即可求出的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把点代入得，， 故此反比例函数的解析式为， 当，， 故选：． 2．C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内，的值随的增大而增大， ∴， ∴， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查反比例函数的性质，运用解析式计算坐标是解题关键． 通过计算反比例函数上各点的纵坐标值，直接比较大小． 【详解】解：当时时时h，故； 当时，，故； 当时，，故． ∵， ∴． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称的点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象的性质是解题的关键． 因为正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以它们的交点也关于原点对称，据此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴它们的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标为， ∴另一个交点的坐标为． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据，得到，进而得到反比例函数的图象经过的象限，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限； 故选：D． 6．D 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质． 根据反比例函数的性质和矩形的性质可得，，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即轴，轴， ∵， ∴点的横坐标为2，点的纵坐标为1， ∵反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴或， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查反比例函数的性质，包括图像位置、点是否在图像上、不等式求解及函数值比较． 【详解】解：∵，∴图像在第二、四象限，A错误． 对于B，当时，，∴点不在图像上，B错误． 对于C，解，即． 当时，，两边乘，得，∴，结合，得． 当时，，两边乘，不等号方向改变，得，∴． ∴当时，或，C正确． 对于D，，，∴，D错误． 故选C． 8．A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由题可得剪去的是两个一样的矩形，两个矩形的面积和为， 则有， 然后根据即可求解， 解题关键是正确的列出函数的关系式． 【详解】解：∵剪去的是两个一样的矩形，两个矩形的面积和为， ∴， ∴是的反比例函数， ∵， ∴函数图象为选项， 故选：． 9． 【分析】根据反比例的函数图象经过第一、三象限，得，直接解答即可．本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：∵反比例的函数图象经过第一、三象限 ∴， 故． 故答案为：． 10．36 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．先由电流是电阻的反比例函数，结合点在函数图象上，利用待定系数法求出这个反比例函数的解析式即可． 【详解】解：把代入反比例函数式， ． 故答案为：36 11． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数综合问题，用到了关于一条直线的两个点的坐标关系，熟知对称点坐标的关系是解决问题的关键．设点A坐标为，则点B的坐标为，将点B坐标代入，解出x的值即可求得A点坐标． 【详解】解：∵位于第一象限的点A为直线上一点， ∴设点A坐标为， ∵点与点关于轴对称， ∴点B的坐标为， ∵点B在双曲线上， 将代入中， 得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系，可先设出，代入已知点求解析式，再求解电流为时用电器的电阻，从而可得答案． 【详解】解：由图可知电流与可变电阻之间符合反比例函数关系， 设， 代入得， 解得：， ∴解析式为； 当时，， ∴至少应再串联一个的电阻才可以保证电路安全； 故答案为：4． 13． 【分析】本题主要考查反比例函数图形与几何图形的综合，掌握几何图形面积的计算方法，反比例函数的基础知识是解题的关键． 根据题意，设，可得，则，根据几何图形的面积的计算方法可得，再根据反比例函数的知识即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， 则， ∵四边形的面积是， ∴， 解得：， ∵点在反比例函数图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 14．9 【分析】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，反比例函数的图象与性质，掌握图形与坐标的表示方法，矩形的性质，反比例函数解析式的计算方法是解题的关键．根据矩形的性质，由点A，C的坐标可确定点B，D的坐标，再代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，且边与y轴平行， 轴，，，， ，， 反比例函数的图象同时经过点B与点D， ， 解得 ． 故答案为：9． 15．（1）-6；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）利用反比例函数解析式列方程，解方程即可； （2）先求出点A，再求反比例函数解析式，然后列表描点，连结平滑曲线即可； （3）在反比例函数图像上标出点A，点B即可． 【详解】解：（1）设反比例函数解析式为， ∵和是同一个反比例函数图象上， ∴， 解得； （2）点A（-3，2），点B（3，-2）， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为， 列表： x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1 在平面直角坐标系中描点（-6，1），（-3，2），（-2，3），（-1，6），（1，-6），（2，-3），（3，-2），（6，-1）， 用平滑曲线连结，可得的图像， （3）点A，B如图所示． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，列一元一次方程与解方程，用描点法画函数图像， 掌握待定系数法求反比例函数解析式，列一元一次方程与解方程，用描点法画函数图像是解题关键． 16．(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 17．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，角的平分线的基本作图，线段垂直平分线的性质 （1）把过点的坐标代入解析式，计算即可． （2）根据角的平分线的基本作图解答即可． （3）根据角的平分线，线段的垂直平分线证明即可． 【详解】（1）反比例函数的图象经过点， ， ∴反比例函数的表达式为． （2）根据基本作图的基本步骤，画图如下： （3）直线垂直平分， ， ， 又平分 ， ． 18．(1)的值为3 (2)的长为4米 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解分式方程，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数的性质是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值； （2）先求出点C的纵坐标，然后将其代入反比例函数解析式，得到关于x的分式方程，解方程即可求出x的值，进而得出点C的坐标，于是即可求出的长； 【详解】（1）解：由题意可得：（米），（米）， 点B的坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， 解得：； （2）解：（米）， 点的纵坐标为， 由①得：反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 点的坐标为， （米）． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据，，即可得，，根据D点为B点关于所在直线的对称点得，，可得，即可得； （2）根据四边形为菱形，得，根据，得， 把代入得，即可得． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∵D点为B点关于所在直线的对称点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， 又∵，， ∴， 把代入得， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的判定与性质，反比例函数的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 20．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先根据题意求出C、D坐标，进而求出直线，直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得，解得， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）证明：∵过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D， ∴， 同理可得直线解析式为，直线解析式为， ∴C，O，D三点在同一条直线上． 21．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： （1）先把A、B坐标代入反比例函数解析式求出A、B坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）设直线与x轴交于C，，则，则，再根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， 把代入中得：，解得， ∴， 把，代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：设直线与x轴交于C，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的横坐标为或， 故答案为：或．    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $