第二十六章 反比例函数 单元练习-2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十六章 反比例函数 一、单选题 1．下列四个点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．函数是反比例函数，则的值是 A． B．-1 C．1 D． 3．如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．6 4．已知，，是反比例函数的图象上的三点，且，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．如图，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点，，若点、点、点的坐标分别为，，，且，则的值是（    ）    A．7.5 B．9 C．10 D．12 6．对于反比例函数，下列说法中不正确的是（     ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．如果点在它的图象上，则点不在它的图象上 7．如图，△ABO 是等边三角形，点 A 的坐标是（2，0），点 B 在第一象限，若反比例函数y=的图像经过点B，则k 的值是（    ） A． B．- C．2 D．-2 二、填空题 8．某汽车的油箱一次加满汽油升，可行驶千米，设该汽车行驶每千米耗油升，则关于的函数解析式为________． 9．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 10．反比例函数的图象经过、及三个点，则________，______，______． 11．从-1，0，1，3，4这五个数中任选一个数，记为a，则使二次函数的顶点在第四象限且双曲线在第一、三象限的概率是_____________． 12．如图所示，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，则这两个函数图象的另一个交点坐标是_______． 13．如图，点、在反比例函数的图像上，点、在轴上，、均为正三角形，则点 坐标是______. 14．如图，矩形的顶点都在曲线 （常数，）上，若顶点的坐标为，则直线的函数表达式是_. 三、解答题 15．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2）． （1）求它的解析式； （2）在直角坐标中画出该反比例函数的图象； （3）若﹣3＜x＜﹣2，求y的取值范围． 16．已知是的反比例函数，下表给出了与的一些值． … -4 -2 -1 1 3 4 … … -2 6 3 … （1）求出这个反比例函数的表达式； （2）根据函数表达式完成上表； （3）根据上表，在下图的平面直角坐标系中作出这个反比例函数的图象．    17．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．    (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上． 18．推土机的轮子为何要安装又宽又长的履带？通过物理学科的学习我们知道，在压力不变的情况下，压强（单位：）是受力面积（单位：）的反比例函数．已知某推土机对地面压力恒定．当受力面积为时，压强为． (1)求p与S之间的函数关系式； (2)若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为多少？ 19．已知正比例函数（a＜0）与反比例函数的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为4． （1）求这两个函数的解析式； （2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）； （3）利用图像直接写出当x取何值时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据反比例函数的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：将四个点的坐标分别代入反比例函数中， A、∵2×5=10≠-10，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、∵5×2=10≠-10，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵-2×5）=-10，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D、∵（-5）×（-2）=10≠-10，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选C. 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答此题的关键． 2．B 【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴k2−2＝−1，k−1≠0， 解得：k＝−1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的表示形式是解题关键． 3．A 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，△PAO的面积|k|，即可得出结论． 【详解】依据比例系数k的几何意义可得：△PAO的面积|k|==1． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数y中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S|k|． 4．D 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据在每一象限内的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数y=-，中k=-4＜0， ∴此函数图象上的两个分支在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵x1＜0， ∴点在第二象限， ∴y1＞0， ∵x3＞x2＞0， ∴两点在第四象限， ∴0＞y3＞y2， ∴y1＞0＞y3＞y2． 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．B 【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D也用a、b表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a、b，再由点坐标求出k的值． 【详解】解：∵，， ∴A可以看作由B向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的， 根据平行四边形的性质，D也可以看作由C向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的， ∵，∴， ∵，∴，， ∵C、D都在反比例函数图象上， ∴它们横纵坐标的乘积相等，即，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解． 6．D 【分析】由反比例函数的关系式，可以判断出（-2，-1）在函数的图象上，图象位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，在它的图象上，进而作出判断，得到答案． 【详解】反比例函数的关系式为：y=，即xy=2，点（-2，-1）坐标满足关系式，因此A选项不符合题意， 由于k=2＞0，因此图象位于一、三象限，因此B不符合题意， 根据反比例函数的增减性，在每个象限内，y随x的增大而减小，因此C选项不符合题意， 如果点在它的图象上，则有mn=2，所以点也在它的图象上，故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】考查反比例函数的图象和性质，特别是反比例函数的增减性，熟练掌握反比例函数的增减性必须强调在每个象限内是解题的关键. 7．A 【分析】首先过点B作BC垂直OA于C，根据AO=2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式． 【详解】解：过点B作BC垂直OA于C， ∵点A的坐标是（2，0）， ∴AO=2， ∵△ABO是等边三角形， ∴OC=1，BC=， ∴点B的坐标是（1，）， 把（1，）代入y=， 得k=． 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键． 8． 【分析】行驶千米数＝汽油升数×每升汽油可行驶千米数，把相关数值代入即可求解． 【详解】∵汽车行驶每100千米耗油x升， ∴1升汽油可走千米， ∴y＝45×＝． 故答案为y＝ 【点睛】解决本题的关键是找到行驶千米数的等量关系，注意先求得一升汽油所走的千米数． 9． 【分析】由图像可知在第三象限，点在第一象限，所以a-2＜0，a+3大于0． 【详解】∵反比例函数的图象在一三象限，a-2＜a+3,， ∴在第三象限，点在第一象限， 所以a-2＜0，a+3大于0． 解得：−3<a<2 故答案为−3<a<2. 【点睛】本题考查反比例函数图像上的点的坐标特征，解题的关键是列出不等式. 10． 【分析】此题考查求反比例函数解析式，及求函数值或自变量的值，正确掌握函数的性质求出解析式是解题的关键． 【详解】解：由题意知，所以反比例函数的解析式为：， 将代入，则有，解得：； 将代入，，则有， 故答案为 ， ， . 11． 【详解】试题分析：因为双曲线在第一、三象限，所以7-2a＞0，所以a＜3．5，所以a可取4个数，0，1，3，，又因为二次函数的顶点在第四象限，把，0，1，3，分别代入检验知-1,3符合题意，所以所求事件的概率=． 考点：1．二次函数的性质；2．反比例函数的性质；3．概率． 12．(－2， 1) 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是(－2， 1)． 故答案为：（-2,1） 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，学生掌握函数的对称性是解题的关键． 13． 【分析】根据正三角形的性质得出OE=EB=1，设BF=m，进而表示出C点的坐标，代入解析式即可得出m的值，进而得出C点的坐标． 【详解】作AE⊥OB于E，CF⊥BD于F， ∵△OAB,△BCD均为正三角形,A在反比例函数， 设A的横坐标是−1， 则A的纵坐标是−， ∴OE=1,OA=2OE=2,AE=， ∴易求OE=EB=1， 设BF=m， 则C(−2−m, -m)， 代入得： m2+2m−1=0， 解得：m=−1±， ∵m>0， ∴m=−1+， ∴点C的坐标为：. 【点睛】本题考查反比例函数综合题，解题的关键是掌握反比例函数的应用和正三角形的性质. 14． 【分析】利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得到A（，3），C（5，），所以B（，），然后利用待定系数法求直线BD的解析式． 【详解】∵D（5，3）， ∴A（，3），C（5，）， ∴B（，）， 设直线BD的解析式为y=mx+n， 把D（5，3），B（，）代入得 ，解得， ∴直线BD的解析式为． 故答案为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了矩形的性质． 15．（1）y＝；（2）图象见解析；（3）2＜y＜3． 【分析】（1）根据反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），可以求得k的值，从而可以得到该函数的解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以画出该函数的图象； （3）根据反比例函数的性质可以写出当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2）， ∴2＝，得k＝﹣6， 即该反比例函数的解析式为y＝； （2）该函数的图象如下图所示； （3）由图象可知，当x＜0时，y随x的增大而增大， ∵﹣3＜x＜﹣2， ∴2＜y＜3， 即当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是2＜y＜3． 【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象，属于基础题目，比较容易掌握． 16．（1）y=；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）将x=1，y=6代入反比例函数解析式即可得出答案； （2）根据（1）求出的解析式分别代入表中已知的数据求解即可得出答案； （3）根据（2）中给出的数据描点连线即可得出答案. 【详解】解：（1）∵y是x的反比例函数 ∴设y = ∵当x=1时，y=6 ∴6=k ∴这个反比例函数的表达式为 . （2）完成表格如下： x … -3 2 … y … -1.5 -3 -6 2 1.5 … （3）这个反比例函数的图象如图：      【点睛】本题考查的是反比例函数，比较简单，需要熟练掌握画函数图像的方法. 17．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B的坐标，最后把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）先根据题意求出C、D坐标，进而求出直线，直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入中得，解得， ∴， 把，代入中得：， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）证明：∵过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D， ∴， 同理可得直线解析式为，直线解析式为， ∴C，O，D三点在同一条直线上． 18．(1) (2)施工过程中受力面积为 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，利用反比例函数的关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设， 将，代入得，， 解得，， ． 答：p与S之间的函数关系式为． （2）解：当时，即， 解得，， 若该推土机施工时对地面的压强为30000，则施工过程中受力面积为． 19．（1）正比例函数：反比例函数： （2）见解析 （3）或时 【分析】（1）因为两函数图象一个公共点的纵坐标为4，所以令两函数值为4，组成方程组解答即可； （2）根据解析式描出关键点，连线即可； （3）由图象即可直接得到时x的取值范围． 【详解】解：（1）∵交点纵坐标为4， ∴ 解得a1＝－5，a2＝5（舍去） ∴正比例函数：y＝－2x； 反比例函数：y＝−； （2）已知正比例函数y＝－2x过(0，0)，(1，－2)，连接两点即可． 已知反比例函数y＝− 过(1，－8)(2，－4)(4，－2)，(8，－1)； (－1，8)(－2，4)(－4，2)(－8，1)顺次连接各点即可； （3）由图可知y1＞y2时， 在第二象限内，x＜－2； 在第四象限内，0＜x＜2． 当时，x＜－2或0＜x＜2时，y1＞y2． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点,还考查了利用列表法作函数图象，而数形结合求x的取值范围考查了同学们的观察力． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $