已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 己知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 考点目录 已知函数单调性求参数 讨论含参函数单调性 考点一 已知函数单调性求参数 例1.(2026海南省直锫县级单位：模拟预测）已知函数了)=ae+血x在区间行2上单调递减，则实数a的最小 值为() A.e2 B.e2 C.2ve D.e 例2.(2026江西吉安.一模)已知函数f(x)= e-alnx,x≥l -x2+2ax,x<1 在定义域R上是增函数，则实数a的取值范围为() A.[1,e] B.1,+c0) c .[d 1 例3.(2026河北承德.一模)己知函数f(x)=lnr+ax+。x2是增函数，则实数a的取值范围是 例4.(2526高二上上海期末)若x)=x+,x2-(b-)x存在单调递减区间，则实数b的取值范围是 2 例5.(25-26高二下…河北张家口月考)已知函数f(x)=ae-x-2. (1)若f(x)在[0,1上单调递增，求a的取值范围： (2)若关于x的不等式f(x)<x-1有解，求a的取值范围. 已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 例6.(2026河南开封模拟预测)已知a为实数，函数f(x)=ln(-2x)+ax-2 sinxcosx,函数 g(x)=xlnx-e*+x+e-2. 若f)在区间[一子0上单调递减，求a的取值范围： (2)求函数g(x)极值点的个数； （6)当a=4时，证明：%∈-受0,3e,+,使x0)g6） 变式1.(25-26高二下.北京月考)己知函数f(x)=x2+ax+在(L,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为（) A.(-0,-1] B.[3,+o∞) C.(-0,3] D.[-1,+0) 变式2.C2526商二下-辙建福州月考)若函数八四=r2a2-2x存在单调递减区间，则实数4的取值范围是() A.（-o,l B.(-o,l] C.-1,+o） D.[-l,+0) 变式3.(25-26高二下·福建福州月考)己知函数f(x)=alnx+ +.x-6x+4在定义域内单调递增，则a的取值范围 是 变式4.(25-26高三下·湖北随州开学考试)已知函数fx=x3-ax在区间0,1上单调递减，则实数a的取值范围 是 2 已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 变式5.(24-25高二下·天津月考)已知函数fx)=e-x-1,gx)=alnx-x. (1)求f(x)的极值： (2)若h(x)=f(x-gx在[1,2]单调递增，求实数a的取值范围； (3)当a<0时，若对任意的x 小，总存在 使得f(x)≤gx),求实数a的取值范围. 变式6.(25-26高=下宁夏中卫-月考)已知函数fx=nx+山左a>0 (1)当a=3时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)在[0，+∞上单调递增，求a的取值范围， 已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 考点二 讨论含参函数单调性 例1.(2026黑龙江一模)己知函数fx=a(x+1)2+x+lnx,(a∈R. (1)讨论fx的单调性； 因当-a<0时，求证：≤20a1 例2.(25-26高三下·安徽月考)己知函数f(x)=lnx-mx2+(1-2m)x+1(m∈R). (I)讨论函数f(x)的单调性； (2)若对定义域内的任意x,f(x)≤0恒成立，求整数m的最小值. 已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 ☒3.226西吉交)已知函数了=bt(a.beR (1)若a=1,求函数f(x在x=0处的切线方程； (2)若b=0,a>0,讨论fx)的单调性； (3)若对任意的x∈(-1,1，fx)≥0恒成立，求b的取值范围. 例4.(2026山东青岛一模)己知函数f(x=ax2-lnx. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在x1,x2∈1,3，x2-x≥1，使得fx,)=fx2)，求a的最大值. 已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 变式1.(25-26高二下…安徽蚌埠月考)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x. (①)当a=-1时，比较f(与f(的大小； (②)讨论∫(x的单调性； 3)当a<0时，证明f≤-3-2. 4a 变式2.(2026·江苏·二模)已知函数f(x)=alnr+x-2a(a∈R). (I)讨论∫x)的单调性； (2)若曲线y=∫(x)经过点A1,-1,且在A处的切线为1.证明：除切点A外，曲线y=∫(x)在直线I的下方. 6 已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 变式3.(25-26高二下·上海·月考)已知函数f(x)=2x3-ax2+b: (1)若函数f(x)在x=1处取得极小值-4，求实数a,b的值； (2)写出当a<0时函数y=∫(x的单调区间； 变式4.(25-26高二下广东惠州月考)己知函数f(x)=n(x+1-ar. (I)讨论∫x)的单调性： (2)设gx=f(x)-asinx+ax,且a>1,证明：gx)在区间(0，π存在唯一的极值点x。.已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 已知函数单调性求参数、讨论含参函数单调性专项训练 考点目录 已知函数单调性求参数 讨论含参函数单调性 考点一 已知函数单调性求参数 例1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D．e 【答案】B 【详解】由已知得，因为在区间上单调递减， 所以在上恒成立，即，得， 令，则，令，得， 当时，，单调递减，当时，单调递增， 又，所以a的最小值为． 例2．（2026·江西吉安·一模）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数在上为增函数，需满足以下条件： （1）在上单调递增， 当时，为开口向下的二次函数， 需对称轴； （2）由在上单调递增， 当时，，， 得：对任意恒成立， 即对任意恒成立，令， 对任意恒成立， 所以在上单调递增，，故； （3）在处的左极限小于等于在处的右极限， 所以，即， 即：.综上：，即. 例3．（2026·河北承德·一模）已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 例4．（25-26高二上·上海·期末）若存在单调递减区间，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】函数的定义域为， ，因为存在单调递减区间， 所以在有解，即在有解， 令，则， 因为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 例5．（25-26高二下·河北张家口·月考）已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知在上恒成立，所以． 因为，所以， 则，所以的取值范围为． （2）由有解，可得有解． 令，则， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，故的取值范围为． 例6．（2026·河南开封·模拟预测）已知a为实数，函数，函数. (1)若在区间上单调递减，求a的取值范围； (2)求函数极值点的个数； (3)当时，证明：，，使. 【答案】(1) (2)0 (3)证明见解析 【详解】（1）函数，求导得， 由在上单调递减，得，恒成立， 函数在上都递增，则函数在上递增， 则当时，取得最小值，因此， 所以的取值范围为； （2）函数的定义域为，求导得， 函数极值点的个数，即在区间上的变号零点的个数， 令，求导得，函数在上都递减， 则函数在上递减，而，， 于是存在，使，即，， 当时，；当时，， 函数在上递增，在上递减， 因此， 而当时，，即，则，函数无零点， 所以函数的极值点的个数为0； （3）当时，函数， 令， 求导得，当时，； 当时，， 函数在上递增，在上递减，则， 即，当且仅当时等号成立； 令，求导得， 函数在上递增， 则当时，，即， 因此， 即， 由（2）得函数在上递减，， 即，， 所以，，使. 变式1．（25-26高二下·北京·月考）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 由题意可得：在恒成立， 则在上恒成立， 又因为在内单调递减， 可得，可得， 所以a的范围为. 变式2．（25-26高二下·福建福州·月考）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， 导函数， 假设函数不存在单调递减区间，则在恒成立， 即在恒成立，即， 令，因为，所以， 则函数在时取得最小值，最小值为， 所以，所以， 根据题意，函数存在单调递减区间， 所以. 变式3．（25-26高二下·福建福州·月考）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】的定义域为， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数， 所以当时取得最大值9， 所以，即的取值范围是. 变式4．（25-26高三下·湖北随州·开学考试）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数在区间上单调递减，所以在区间 上恒成立，而，所以. 故答案为： 变式5．（24-25高二下·天津·月考）已知函数，． (1)求的极值； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为0，无极大值 (2) (3) 【详解】（1），求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． （2）函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. （3）若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 变式6．（25-26高二下·宁夏中卫·月考）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立，所以，又，所以， 即的取值范围为. 考点二 讨论含参函数单调性 例1．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 例2．（25-26高三下·安徽·月考）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若对定义域内的任意x，恒成立，求整数m的最小值. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减 (2)1 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）依题意，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 而，，则，使得，即， 当时，，；当时，，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， ， 则，所以整数m的最小值为1. 例3．（2026·江西吉安·一模）已知函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若，，讨论的单调性； (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，增区间为和，减区间为； (3) 【详解】（1）因为，所以， 所以定义域为，， 当时，，而，所以切线方程为； （2）当，时，， 因为，所以， 若，即时，，此时在上单调递增， 若，即时，令，得或， 令，得，所以在和上单调递增， 在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，增区间为和，减区间为； （3）因为，对，恒成立，且， 故，即， 所以，对，恒成立，当时满足条件； 当时，，即； 当时，，即，所以， ，令得，，所以 ①当时，，， 则在上单调递增，当时，，不满足题意； ②当时，，令，则， 所以在上单调递增，当时，，不满足题意； ③当时，，令得， 所以在上单调递减，当时，，不满足题意； ④当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 令，则， 因此，不满足题意； ⑤当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故，满足题意. 综上可知，的取值范围为. 例4．（2026·山东青岛·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【详解】（1）由题得，. 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由. 所以等价于， 即，化简得：. 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为. 变式1．（25-26高二下·安徽蚌埠·月考）已知函数． (1)当时，比较与的大小； (2)讨论的单调性； (3)当时，证明． 【答案】(1) (2)时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，的定义域为， 则， 故当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 又，故． （2）的定义域为，． 若，则当时，，故在上单调递增， 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； （3）由（2）知，当时，在取得最大值，最大值为， 所以等价于，即， 设，则， 当时，，当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，， 从而当时，，即． 变式2．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】(1)①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【详解】（1）（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. （2）（2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 变式3．（25-26高二下·上海·月考）已知函数； (1)若函数在处取得极小值－4，求实数的值； (2)写出当时函数的单调区间； 【答案】(1) (2)的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题可得，即，所以， 当时，， 当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，所以； 又极小值为，所以，所以， 所以. （2）函数的定义域为， ， 当时，的两根为，且， 所以当或时，；当时，， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 变式4．（25-26高二下·广东惠州·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设，且．证明：在区间存在唯一的极值点． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． (2)证明见解析 【详解】（1）已知函数，其定义域为， 求导得， 当时，在上恒成立， 在上单调递增， 当时令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，在上恒成立，即在上恒成立， 在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）已知，定义域， 当时，单调递减，又，单调递增， 而也单调递增，故在上单调递增，无极值点； 求导得，设， 则， ，在上为增函数， 而，， 故在上存在一个零点，且时，， 时，，故在上为减函数，在为增函数， 而，，故在上存在唯一一个零点， 且时，即，时，即， 在区间上存在唯一的极值点， 在区间存在唯一的极值点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $