数列：累加法、累乘法讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

数列：累加法、累乘法讲义 数列：累加法、累乘法讲义 考点目录 累加法 累乘法 考点一 累加法 【知识点解析】 一、核心原理 针对相邻项差为可求和数列的递推式，通过逐项作差式叠加，消去中间所有项，仅剩首项和第项，转化为求和计 算。 二、解题思路（四步） 1.定类型：递推式为ana1=f(n)(n≥2)，f(n)是等差/等比/裂项可求和的数列； 2.列差式：依次写出n=2,3,…,n的递推式： a2a1=f(2,a3a2=f3),,anan1=f(: 3逐项叠加：左右两边分别相加，消去中间项得。=公，： 4求通项：整车得3n=+-〔)， 化简求和式即可。 【例题分析】 例1.(2425高二下陕西开学考试)已知数列(a,}满足a=1,且a1-a,=n+1(neN). (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)记数列 的前项和为Sn,求Sg. a 【答案】(1)an= (n+1) 2 3,g 501 【详解】(1)a=1,且an1-an=n+1n∈N, 当n≥2时，an=a1+(a2-a)+(a3-a2)+…+(an-a-i) 数列：累加法、累乘法讲义 =1+2+3+…+n=nn+ 2 当n=1时，a=1,满足上式， 故数列{an}的通项公式为an= n(n+1 2 则5=+1++1= a az -行+g小8 例2.(25-26高二下·江西九江·月考)已知等差数列(an}的前项和为Sn（n∈N),且a,+a6=a4,S6=9,数列{bn}满 足b=2,bn-bn1=2"(n22,n∈N) (I)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)求数列{a,bn}的前项和Tn，并求n的最小值 【答案】(1)an=3n-9,b,=2+-2 (2)Tn=(3n-12)22+48+15n-3n2,Tn的最小值为-30 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d,:a,+a6=a4, .a1+a1+5d=a1+3d,.a,+2d=0, S6=9, _6l4+a-3a,=9,a=a+3d=3. .S6= 2 解得：a1=-6,d=3 .an=-6+3(n-1=3n-9. 数列bn}满足b=2,bn-bn-1=2"(n≥2，n∈N) ∴bn=(bn-b-)+(bn-1-b-2)+…+(b2-b)+b=2”+2m-1+…+22+2= 2(2”-1 2-1 =2"+1-2,n22. 当n=1时，b=2满足上式 2 数列：累加法、累乘法讲义 .bn-21-2 (2)a,bn=(3n-9)(21-2=(3n-9)21-(6n-18) 设数列{(3n-9)2+的前n项和为A, 则An=-6×22-3×23+0×24+3×25+…+(3n-9)2+1, 2An=6×23-3×2+0×25…+(3n-12)·2m+(3n-9)2*2, .-A=-6×22+3(23+24+…+2）-(3n-9列22=-24+3 821-0-3n-9-2, 2-1 .An=(3n-12)2m+2+48 记数列6n-18的前顶和为B,则B.--l2+6m-18-3m2-15n 2 ∴.Tn=An-Bn=(3n-12)2+2+48+15n-3n2. T1-Tn=(3n-9)2*3+48+15n+15-3n+1)2-[(3n-122*2+48+15n-3n2] =(3n-6)2*2+12-6n=(3n-6)(2*2-2） 因为2"+2-2≥23-2=6>0恒成立， 所以当n<2时，Tn1-Tn<0,T1<Tn: 当n=2时，Tn1-T,=0,即T=T2: 当n>2时，Tn+1-Tn>0,T1>Tn: 所以：T>T2=T3<T4<T<… ∴.Tn的最小值为T=T=-30 例3.(2026湖北武汉·模拟预测)在数列an}中，a1=6,a3=20,a,=30,且{a1-a}是等差数列. (1)求a2: 11 11 (2)证明：一+一+…+。< aa, a 2 【答案】(1)a2=12 (2)证明见解析 【详解】(1)设b,=a1-a,，则6=a,-4=a,-6,6,=20-4,b,=10, 数列：累加法、累乘法讲义 因为{a1-a}是等差数列，即{bn}是等差数列， 则有b+b=2b2,即a2-6+10=2(20-a2),解得a2=12 (2)由(1)知，b=6,b,=8,则{bn}的公差为2，首项为， 则bn=2n+4,即an+1-an=2n+4, 当n≥2时，an-a1=2n+2 an-1-an-2=2n a2-a1=6 将各式相加，得an-a,=2n+2+2n+…+6, 即a.-6=2m+2+6m=-+3n-4,即a,=m2+3n+2,而4=6满足上式， 2 1 1 1 11 因此a,=n2+3n+2,0r+3n+2(n+n+习n+1n+2, 因为n≥1，则 2>0,则待证 【变式训练】 变式1.(25-26高二上江苏南通期末)己知{an}是公差不为0的等差数列，a=1,且a,a2,a成等比数列 (I)求{an}的通项公式： (2)若b=1,b1-bn=a1,求数列{(-1)”bn}的前20项的和 【答案】(1)am=2n-1 (2)210 【分析】(1)根据等比中项解关于公差的方程得d=2,再求解通项公式即可： (2)先根据累加法得b,=n，再结合等差数列求和公式，根据分组求和法求解即可. 【详解】(1)解：根据题意，设{an}是公差为d,且d≠0， 因为a=1,且a,a2,a成等比数列， 所以a,·a,=a,即1+4d=(1+d)2,即d2-2d=0,解得d=2. 数列：累加法、累乘法讲义 所以an=a,+(n-1)d=1+2(n-)=2n-1,即{an}的通项公式为an=2n-1 （2)解：因为b=1,b1-bn=a1,an=2n-1, 所以h=1,b1-bn=2n+1,bn-bn-1=2n-1，b1-bn-2=2n-3,，b2-b=3, 所以，根据累加法得b,-b=3+5+…+(2n-3)+(2n-1, 所以=1+3+5+…+2n-动+2n-=+20--a≥2到 2 又b=1,满足b。=n2, 所以bn=n2,neN 所以数列{(-1)b}的前20项的和为S20=(-1P+2）+(-32+42）+…+(-192+202) =(22-1P)+(42-32）+…+(202-192）=(2-10(2+1)+(4-3)(4+3)+…+(20-19)(20+19) =3+7+…+39, 这是一个首项为3，末项为39，项数为10的等差数列求和， 所以数列(-b,的前20项的和为5=3+7+…+39=10×3+39-210 2 变式2.(2526高二上江苏南京期末)已知数列{a,}的前项和S,满足三=4，-n+1,nN,且a=1 (1)证明数列{an}为等差数列： (2)若数列{bn}的首项b=-3,且2"(b+1-bn)=an,n∈N,求数列bn}的通项公式 【答案】(1)证明见解析 ②6，-2n+1 2-1 【详解】(1)由题知， =a,-n+1,5.=na,-m+n, n 则SnH=(n+1an1-(n+1)2+n+1, 两式相减得，an41=(n+1a1-nan-2n, 所以nant1-nan=2,an1-an=2,又a1=1, 所以数列{an}为首项为1，公差为2的等差数列. (2)解：由(1)得a。=1+n-1)x2=2n-1, 数列：累加法、累乘法讲义 所以2r--0=2a-1,可符6-么=2-小得： 又b=-3,所以b1-b=bn1+3=(b2-b,)+(b-b2)+…+(bn1-bn) +a-小 所以a+=1+2-小。 两式相减得， -周…2 g…- 1 32n+3 1- 所以b1=- 2n+32(n+1)+1 2” 2，所以6= 2n+1 2-1, 当m=1时，6=-2+-3，适合上式， 20 所以数列{b.}的通项公式为b,= 2n+1 2-1 变式3.(25-26高三上山东德州期末)己知数列an}的首项为2，前n项和为Sn,且S1-1=an+2n+Sm. (1)求数列{an}的通项公式： 1 (2)己知bn= is7<3 0+2n-,记数列b,的前项和为，求证： 【答案】(1)an=n2+1 (2)见详解 【详解】(1)由题得S1-S,=an+2n+1,且Sn1-S。=a41,则有a1-a。=2n+1, a+1-an=2n+1 递推后联立{ an-an-1=2n-1 ，得a1-an+an-an-1+…+a2-a1=(2n+)+(2n-1)+…+3, a2-a1=3 化简得a-4-2n+)+3n=2+2n,即a1=n2+2n+2,故a,=a-+20a-)+2=2+1, 2 6 数列：累加法、累乘法讲义 故数列(an}的通项公式为an=n2+1 (2)由题得6=—1 x0gr日】 31+1 42n+1n+2 因为>0，则2小0，所以< 易尚天为定世藏列数无2-传引-行甲7时 1 ≤<3，得证 3 4 数列：累加法、累乘法讲义 考点二 累乘法 【知识点解析】 一、核心原理 针对相邻项比为可求积数列的递推式，通过逐项作比式叠乘，消去中间所有项，仅剩首项和第项，转化为求 积计算。 二、解题思路（四步） 1.定类型：递推式为是=f(可（口≥2，a1≠0），f()是可约分、能求积的数列（如分式、指数型）； 2.列比式：依次写出n=2,3,…,n的递推式： 器=f(2),爵=f3,…,器=f(: 3逐项叠乘：左右两边分别相乘，消去中间项得等=Π处k): 4求通项：整理得n=a1Π以-z),化简求积式即可。 关键：保证数列各项非零，精准约分，注意求积式的项数对应。 【例题分析】 例1.2526高三下重庆沙坪坝开学考试)记数列a,的前项和为S,若4，=2且S.=2ma n+1 (1)求数列{an}的通项公式： (②)b,=lg,8,b,}的前n项和为T,求集合{kT任500，I∈N}的元素个数 11 【答案】(1)a。=(n+1)2- (2)5个 【详解11)由5.=21g可得5-2+a， n+1 n+2 两式相减，可得an1 2(n+:a1_2na,整理得2n=m0 n+2 n+1 n+1n+2 即01=2.m+2 an n+1 a=2.n+1,0=2.n」 an-1 n’a2n-’ ,=2.3 4,2’4=2, 6 数列：累加法、累乘法讲义 累乘得a=(n+1)2-(n22,而a,=2也符合上式： 故数列{a}的通项公式为a,=(n+1)2- (2)b log2 n+12 -=l0g n n+1+n-1, n 1×号x…xn+l】 23 :.T,=log22 0+1+2+…+(n-1=log,n+l+nn-l n 2 依题意，T=1og,k+1+女-l≤500， 2 因为函数y=1og,x+)+,-)在1，+切)上单调递增，所以数列工为递增数列， 2 又I1=1bg,32+31X30-470,I2=1og,3+32x31=1bg,3+496>5+496>500. 2 2 所以1≤k≤31，k∈N, 又7：=log,k++-eN则存在meN,满足k=2-1, 2 k=1,3,7,15,31,共5个元素 例2.(25-26高三上浙江宁波·期末)已知数列a,}中，32n-a1-(2m+1a,=0,4=3 1 (I)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{a}的前项和Sn 【等案】0a=2a- 【架103--2，可%2 又因为a号即对=1也成立，所以a,=2-得 28=1+3周+5周++2-喝0 5=1周++56+42a-6”@ 0 数列：累加法、累乘法讲义 0-8,-20+2得+2周++2得-(2- -6 1 3 --喝号-+周) 13 例3.(25-26高二上湖北黄冈期末)设数列{an}满足a,=1,na1=(n+2)a.,neN (1)求数列{an}的通项公式an; (2)设b=a2,求数列b,}的前项和S n 【答案】()a,=+ 2 (2)S,=n×2+1 【详解】（1)因为a=1,na=(a+2a,所以型=”+2 an n, 所以a1=0.4.94 an az a =”+2.+1.”…431-a+2+ nn-1n-221 2 所以n≥2时，a=n”2，又4=1也符合， 故数列a,}的通项公式a,=m+)； 2 (2)因为b=21=(m+1-2”, n 于是S。=2×2+3×22+4×2+…+n×2-1+(n+1)×2”, 2S。=2×22+3×23+4×24+…+n×2”+(n+1)×2m+1, 相减得，-Sn=2×2+22+23+…+2”-(n+1×2+ =2+2+22+23+…+2”-(n+1)×2m1 。2×1-21-n+x2 =2+ 1-2 =2+21-2-(n+)×2m+ =-n×2, 10数列：累加法、累乘法讲义 数列：累加法、累乘法讲义 考点目录 累加法 累乘法 考点一 累加法 【知识点解析】 一、核心原理 针对相邻项差为可求和数列的递推式，通过逐项作差式叠加，消去中间所有项，仅剩首项和第项，转化为求和计 算。 二、解题思路（四步） 1.定类型：递推式为ana1=f(n)(n≥2)，f(n)是等差/等比/裂项可求和的数列； 2.列差式：依次写出n=2,3,…,n的递推式： a2a1=f(2,a3a2=f3),,anan1=f(): 3逐项叠训加：左右两边分别相加，消去中间项得aa!=兴z: 4求通项：整辈得3n=+), 化简求和式即可。 【例题分析】 例1.(2425高二下陕西开学考试)已知数列(a,}满足a=1,且a1-a。=n+1(neN). (I)求数列{an}的通项公式： (2)记数列 1 的前项和为Sn,求Sg. 数列：累加法、累乘法讲义 例2.(25-26高二下·江西九江月考)已知等差数列an}的前n项和为Sn（n∈N),且a,+a6=a4,S6=9,数列bn}满 足b=2,bn-bn1=2"(n≥2，n∈N) (I)求数列{a,}和bn}的通项公式； (2)求数列{abn}的前项和T,并求Tn的最小值 例3.(2026湖北武汉·模拟预测)在数列an}中，a,=6,a3=20,a4=30,且{a-a}是等差数列 (1)求a2; 1111 (2)证明：一+一+…+一<。 a az an 2 2 数列：累加法、累乘法讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高二上江苏南通期末)已知{an}是公差不为0的等差数列，41=1，且a,a2,a成等比数列 (I)求{an}的通项公式 (2)若b=1,bn1-bn=a1,求数列{(-1)”bn}的前20项的和. 变式2.(25-26高二上江苏南京期未)已知数列{a,}的前项和S,满足三=a,-n+1,n∈N,且a,=1. n (1)证明数列(an}为等差数列： (2)若数列{bn}的首项b=-3,且2"(bn+1-bn=a.,n∈N,求数列{bn}的通项公式 变式3.(25-26高三上山东德州期末)己知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn,且Sn+1-1=an+2n+Sn, (1)求数列{an}的通项公式： (2)已知6=1 a,+2n:记数列么的前吸和为，求证：7< 数列：累加法、累乘法讲义 考点二 累乘法 【知识点解析】 一、核心原理 针对相邻项比为可求积数列的递推式，通过逐项作比式叠乘，消去中间所有项，仅剩首项和第项，转化为求 积计算。 二、解题思路（四步） 1.定类型：递推式为是=f(可（口≥2，a1≠0），f()是可约分、能求积的数列（如分式、指数型）； 2.列比式：依次写出n=2,3,…,n的递推式： 器=f(2),爵=f3,…,器=f(: 3逐项叠乘：左右两边分别相乘，消去中间项得等=Π处k): 4求通项：整理得n=aΠ-k, 化简求积式即可。 关键：保证数列各项非零，精准约分，注意求积式的项数对应。 【例题分析】 例1.(25-26高三下-重庆沙坪坝开学考试)记数列{口，的前项和为S,若4=2且3，=2mg n+1 (I)求数列{an}的通项公式： (②)b,=lg,,b,}的前n项和为T,求集合{kT任500，I∈N}的元素个数 数列：累加法、累乘法讲义 例2.2526高三上浙江宁波期末)已知数列a中，32n-a-2a+a,=0,a=号 (I)求数列{an}的通项公式： (②)求数列{a,}的前n项和Sn: 例3.(25-26高二上·湖北黄冈期末)设数列an}满足a1=1,na1=(n+2)a,,n∈N. (1)求数列{an}的通项公式a: (2)设b,=.2+,求数列{b,}的前项和Sn 数列：累加法、累乘法讲义 【变式训练】 变式1.(2026吉林长春·一模)已知Sn为数列{a}的前n项和，若S2=6,S6=42,且数列 Sn为等差数列， (I)求数列{an}的通项公式： 2若数列b,}的首项为2，且=a,求数列6，的前项和工 br an2 变式2.(2526高三上河南月考)已知数列a,满足4=2，且-22m+ an 2n-1 (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前项和S· 变式3.25-26高三上湖南长沙月考)记S为数列a,的前n项和，已知4=，S=”+2a 30n (1)求{an}的通项公式： 11 1 (2)证明：一+一+…+<2. a a2 an 6