第九章 解三角形（单元自测·基础卷）数学人教B版必修第四册

2025-2026学年高一数学单元自测 第九章 解三角形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C A D C C B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．BCD 10．AD 11．AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．3． 13．． 14． 四、解答题（共5小题，共77分） 15.【详解】（1）是的中点，则， 故.（6分） （2）由余弦定理得 而， 得，故，得， 的周长为．（13分） 16.【详解】（1）由题意，，则， 因为H是的中点，且，所以，， 所以， 由于，，所以， 所以，即函数的定义域为.（7分） （2）由（1）可知，， 因为，所以，所以，所以， 所以，当或时，即或时，最长为， 故或时，EF最长，此时EF的长度为米.（15分） 17．【详解】（1）解：由题意得且， 可得， 在中，， 由余弦定理可知：， 所以.（7分） （2）解：因为，所以， 又因为且，可得, 在中，由正弦定理知， 所以，即， 可得，即.（15分） 18．【解析】（1）设，由题可知.由，，， 得，，，. 在中，. ，则. 故C与出入口O之间的距离为.（8分） （2）设，则， ，， ， ∴当，即时，公园OACB的面积最大为.（17分） 19．【详解】（1）由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即.（5分） （2）由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 .（11分） （3）点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第九章 解三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接和，如图所示： ∵为直径，， 又有点，，，都在圆上，所以， 在中，， 则， 故选：B. 2．在中，，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【详解】中，， 则，整理得，则， 则的形状为直角三角形， 故选：A. 3．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【详解】如图，在中，，由正弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以解得， 由正弦定理得，故或， 因为，故为锐角，所以， 此时灯塔位于游轮的南偏西方向. 故选：C 4．中，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由余弦定理得，所以， 又因为，且，可得，解得， 所以的面积为. 故选：A. 5．在非直角中，设角，，的对边分别为，，，若，是角的内角平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由已知， 根据正弦定理得， 则， 为非直角三角形，，， 又， ， 即， ，， ，， ， 故选：D. 6．定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度，在观音塔的正北方向找到一座建筑物，高约为22.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，观音塔顶部的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部的仰角为15°，观音塔的高度约为（      ） A．32 B．39 C．45 D．55 【答案】C 【详解】由题意得，在中，， 在中，，， . 由正弦定理得，，得， 在中，. 故选：C. 7．已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且满足，则的最小值为(    ) A．12 B． C． D．30 【答案】C 【详解】由，易得， 因为，故由正弦定理可知，，其中为外接圆半径， 又因为， 所以由正弦定理可知，，即， 故， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：C． 8．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是(    ) A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】，且， ， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， ， 又，即， ， 即最大面积为，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于难题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在中，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】根据余弦定理， 可得， 即， 所以B正确，A错误； 根据余弦定理可得： ， 所以C正确； 根据两角和与差的正弦公式可得： ， 所以D正确； 故选：BCD. 10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（    ） A．的外接圆的半径为 B．若只有一个解，则的取值范围为或 C．若为锐角，则的取值范围为 D．面积的最大值为 【答案】AD 【详解】因为， 所以，， 所以， 因为，所以，解得：，故A正确； B.若只有一个解，则或， 得或，故B错误； C.因为角为锐角，，所以， 所以，， 所以，故C错误； D.，当时，等号成立， 所以， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：AD 11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是 【答案】AD 【详解】令，则，，可得， 所以，由正弦边角关系易知：，A对； 若，则，故，，则， 所以，C错； 由，结合C可得，B错； 由，则，而，故外接圆半径是，D对. 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为______. 【答案】3 【详解】因为，所以由可得，． 根据正弦定理可得，，所以． 故答案为：3． 13．如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为______________千米. 【答案】 【详解】解：在中，千米，， 得中，千米，（千米） 在中，千米， （千米） 千米． 故答案为：． 14．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】由余弦定理可得，则， 由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，则，所以， 又因为函数在内单调递增，所以，可得， 由于为锐角三角形，则，即，解得， 则 ， 因为，所以，则， 因为存在最大值，则，解得． 故答案为：． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）在中，延长到，使，在上取点，使， (1)设，用表示向量及向量． (2)若，且的面积为，求的周长． 【详解】（1）是的中点，则， 故， （2）由余弦定理得 而， 得，故，得， 的周长为． 16．（15分）如图，某公园要在一个矩形景点的区域，水平铺设观光通道直角，其中H是直角，EF越长，观光效果越好．设计要求H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，设． (1)试将EF表示为关于的函数，并写出定义域. (2)问当取何值时，EF最长？并求出此时EF的长度. 【详解】（1）由题意，，则， 因为H是的中点，且，所以，， 所以， 由于，，所以， 所以，即函数的定义域为. （2）由（1）可知，， 因为，所以，所以，所以， 所以，当或时，即或时，最长为， 故或时，EF最长，此时EF的长度为米. 17．（15分）如图，在平面四边形中，，设. (1)若，求的长度； (2)若，求. 【详解】（1）解：由题意得且， 可得， 在中，， 由余弦定理可知：， 所以. （2）解：因为，所以， 又因为且，可得, 在中，由正弦定理知， 所以，即， 可得，即. 18．（17分）为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园如图中四边形OACB所示. （1）若，则C与出入口O之间的距离为多少米？ （2）的大小为多少时，公园OACB的面积最大？ 【解析】（1）当时，设，在中可表示，进而可表示，则在中利用余弦定理即可得结果； （2）设，利用余弦定理得到以三角形的面积公式得到关于的面积表达式，结合三角函数求最值. 【详解】（1）设，由题可知.由，，， 得，，，. 在中，. ，则. 故C与出入口O之间的距离为. （2）设，则， ，， ， ∴当，即时，公园OACB的面积最大为. 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． （1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由已知中，即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. （2）由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，由得： ，整理得， 则 . （3）点为的费马点，则， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第九章 解三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 2．在中，，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰三角形 3．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 4．中，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．在非直角中，设角，，的对边分别为，，，若，是角的内角平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 6．定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度，在观音塔的正北方向找到一座建筑物，高约为22.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，观音塔顶部的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部的仰角为15°，观音塔的高度约为（      ） A．32 B．39 C．45 D．55 7．已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且满足，则的最小值为(    ) A．12 B． C． D．30 8．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是(    ) A． B． C． D．4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在中，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（    ） A．的外接圆的半径为 B．若只有一个解，则的取值范围为或 C．若为锐角，则的取值范围为 D．面积的最大值为 11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为______. 13．如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为______________千米. 14．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）在中，延长到，使，在上取点，使， (1)设，用表示向量及向量． (2)若，且的面积为，求的周长． 16．（15分）如图，某公园要在一个矩形景点的区域，水平铺设观光通道直角，其中H是直角，EF越长，观光效果越好．设计要求H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，设． (1)试将EF表示为关于的函数，并写出定义域. (2)问当取何值时，EF最长？并求出此时EF的长度. 17．（15分）如图，在平面四边形中，，设. (1)若，求的长度； (2)若，求. 18．（17分）为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园如图中四边形OACB所示. （1）若，则C与出入口O之间的距离为多少米？ （2）的大小为多少时，公园OACB的面积最大？ 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第九章 解三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 2．在中，，则三角形的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰三角形 3．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 4．中，，且，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．在非直角中，设角，，的对边分别为，，，若，是角的内角平分线，且，则等于（    ） A． B． C． D． 6．定慧禅寺位于江苏省如皋市，是国家AAA级旅游景区．地处如皋古城东南隅，寺门正对玉带河，东临放生池，西南傍玉莲池，寺院平面布置呈"回"字形，楼堂环绕四周，宝殿坐落中央，形成"水环寺，楼抱殿"独特格局．某同学为测量寺内观音塔的高度，在观音塔的正北方向找到一座建筑物，高约为22.5，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部A，观音塔顶部的仰角分别为30°和45°，在A处测得观音塔顶部的仰角为15°，观音塔的高度约为（      ） A．32 B．39 C．45 D．55 7．已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且满足，则的最小值为(    ) A．12 B． C． D．30 8．的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是(    ) A． B． C． D．4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．在中，则下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（    ） A．的外接圆的半径为 B．若只有一个解，则的取值范围为或 C．若为锐角，则的取值范围为 D．面积的最大值为 11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为______. 13．如图，冠豸山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道，小李在山脚处看索道，测得张角；从处攀登4千米到达处，回头看索道，测得张角；从处再攀登8千米方到达处，则索道的长为______________千米. 14．在锐角三角形中，内角所对的边满足，若存在最大值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）在中，延长到，使，在上取点，使， (1)设，用表示向量及向量． (2)若，且的面积为，求的周长． 16．（15分）如图，某公园要在一个矩形景点的区域，水平铺设观光通道直角，其中H是直角，EF越长，观光效果越好．设计要求H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知米，米，设． (1)试将EF表示为关于的函数，并写出定义域. (2)问当取何值时，EF最长？并求出此时EF的长度. 17．（15分）如图，在平面四边形中，，设. (1)若，求的长度； (2)若，求. 18．（17分）为改善居民的生活环境，政府拟将一公园进行改造扩建.已知原公园是直径为200 m的半圆形，出入口在圆心O处，A为居民小区，OA的距离为200 m，按照设计要求，以居民小区A和圆弧上点B的连线为一条边向半圆外作等腰直角三角形ABC（C为直角顶点），使改造后的公园如图中四边形OACB所示. （1）若，则C与出入口O之间的距离为多少米？ （2）的大小为多少时，公园OACB的面积最大？ 19．（17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且 (1)求； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，，求实数的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $