精品解析：福建泉州第五中学2025-2026学年高一下学期数学单元测试一

泉州五中2025级高一下数学单元测试一 一、单选题 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法则化简即可得答案. 【详解】因为. 故选：C 2. 已知，，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 3. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线，可得，列方程即可求得答案. 【详解】因为向量共线， 所以存在实数 ，使得， 所以，解得，则. 故选：D. 4. 在中，内角的对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 5. 已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】由题意得，所以，即， 于是，又，. 故选：C 6. 已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】设，，则， 点D，E分别是边AB，BC的中点，， ，， 则， ． 故选：B. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理和得到，然后利用外心的结论和得到的方程，最后解方程即可. 【详解】∵， 由余弦定理有：， ∴，解得， 由得，， 即， ， 即， 即：，，解得，， ∴. 故选：A． 8. 已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由条件可得，再建立平面直角坐标系得，再进一步判断点A在优弧上，落在角的终边上，再用三角函数来解决取值范围问题. 【详解】由，所以点为的外心，又因为，所以. 设，再以点为原点，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，所以， 又因为，所以，即. 又因为，所以点A在优弧上，所以落在角的终边上， 由三角函数的定义有，即， 所以，又因，所以， ，，所以. 故选：C 二、多选题 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算可判断A，根据两向量垂直的坐标表示可判断B，根据模长的坐标表示可判断C，根据两向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B错误； 对于C，，解得，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 10. 如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量的几何运算及数量积逐一计算判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：，B正确； 对于C：，C正确； 对于D： ，D正确. 故选：BCD. 11. 已知中，，点为内的一个点，且始终满足，则下列说法正确的有（ ） A. 有最小值，且为 B. 取最小值时， C. 点的运动轨迹应为圆 D. 当取最小时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】建系标点，设，结合题意可得，消去参数即可分析点的运动轨迹，进而判断C；代入可得，分析其最值，进而判断ABD. 【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，设， 可得，，， 则， 因为，则， 消去参数可得，所以点的运动轨迹应为直线，故C错误； 因为， 则， 由可得，则， 可得， 若，则， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 综上所述：当且仅当，即时，取到最小值，故A、B正确； 且，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12. 一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为________km/h． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，在直角三角形中求河水的流速即可. 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度， 则为船的实际航行速度． 由图知，，，则． 又， 所以． 即河水的流速是 km/h． 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件及余弦定理得，再由数量积的定义，即可求解. 【详解】由余弦定理可知， 由，得， 即，所以， 故答案为：. 14. 已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件建立平面直角坐标系，判断出对应坐标满足的轨迹，由此确定正确答案. 【详解】依题意，， 在平面直角坐标系中，设，对应向量， ，对应向量，则，则， 由于，所以对应终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 依题意，恒成立，两边平方并化简得恒成立， 所以，整理得， 设，则， 所以对应点的轨迹是直线. 则表示圆上的点和直线上的点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解向量问题可以有两个方向，一个是利用几何法来求解，另一个是利用坐标法来求解.用坐标法来求解，是根据题目的已知条件，建立适当的平面直角坐标系，然后用坐标表示向量，由此来对问题进行求解. 四、解答题 15. 已知向量，，，满足，且，，． （1）求与的夹角； （2）是否存在实数使与垂直？ 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可 【小问1详解】 ， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； 【小问2详解】 若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． 16. 在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． （1）试用，表示向量； （2）在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【小问1详解】 设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； 【小问2详解】 由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式计算求解； （2）根据三角形面积公式及余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 则， 在中，，则且， 所以，即，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长. 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）9 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间的关系，计算可得，代入数据计算即可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 所以，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则， 所以， ， 所以， 又， 所以； 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是9． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助所给定义及三角函数间的关系，计算得到. 19. 如图所示，、、、、、、、都是等腰直角三角形，且按照顺序，每一个三角形的斜边都是它后一个等腰三角形的一条腰，，，．据此回答下列问题： （1）求值； （2）P、Q、M、N分别是线段OC、OI、OG、OE上动点（包含端点），且，． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）85； （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）9 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算所求式子种各向量的模长，再根据平面向量的模长公式计算即可； （2）（Ⅰ）以为原点，为轴正向，为轴正向建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算求解即可； （Ⅱ）由题意，再检验时取最大值即可得解 【小问1详解】 由题意得：，，，， ，，，， 所以 . 【小问2详解】 （Ⅰ）以为原点，为轴正向，为轴正向建立平面直角坐标系， 则，，. ，，. 故，，，， 则 . 又，则，故. （Ⅱ）令四边形的面积为S， 则 ， 当且仅当时等号成立， 故四边形的面积最大值为9. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2025级高一下数学单元测试一 一、单选题 1. 化简：（ ）． A. B. C. D. 2. 已知，，则与方向相同单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角对边分别为，则一定为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形 5. 已知向量是非零向量，且满足在方向上的投影向量为，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点为所在平面内一点，，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图是《易・系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头．洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形，，其中为这两正方形的中心，，，，分别为，，，的中点，若正方形的边长为2，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知中，，点为内的一个点，且始终满足，则下列说法正确的有（ ） A. 有最小值，且为 B. 取最小值时， C. 点运动轨迹应为圆 D. 当取最小时， 三、填空题 12. 一条渔船距对岸3km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为6km，则河水的流速为________km/h． 13. 在中，角的对边分别为，若，则______． 14. 已知平面向量满足，且对任意的实数t ，均有，则的最小值为________. 四、解答题 15. 已知向量，，，满足，且，，． （1）求与的夹角； （2）是否存在实数使与垂直？ 16. 在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． （1）试用，表示向量； （2）在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题， （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 19. 如图所示，、、、、、、、都是等腰直角三角形，且按照顺序，每一个三角形斜边都是它后一个等腰三角形的一条腰，，，．据此回答下列问题： （1）求值； （2）P、Q、M、N分别是线段OC、OI、OG、OE上动点（包含端点），且，． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $